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2015届高三“四校”联考数学（文科）试题
命题学校颍上一中考试时间2015年5月2日
试题说明：本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分，共150分，时间120分钟。
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.）
1.设是虚数单位，是复数的共轭复数.若复数满足，则（）
A.B.C.D.
2.抛物线的准线方程为（）
A.B.C.D.
3.设集合A=,B=,则AB子集的个数是（）
A．1B.2C.3D.4
4.问题方法Ⅰ、随机抽样法Ⅱ、分层抽样法III、系统抽样法其中问题与方法配对的是
A.①Ⅰ，②ⅡB.①III，②ⅠC.①Ⅱ，②IIID.①III，②Ⅱ
5.命题：“”，则命题的否定是（）
A.
B.
C.
D.
6.要得到的图像，只需将的图像（）
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
7.已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()
A．3,23,69B.4,24,70C.4,23,70D.3,24,70
8.设满足约束条件，则目标函数的最小值为（）
A.B.11C.D.13
9.已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是（）
A.B.C.D.
10.设函数，若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置）
11.函数的定义域是；
12.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体所有棱长的
取值集合为；
13．已知实数满足则的最大值
为；
14.运行如右图的程序框图，若输出的随着输入的的增大而减
小，则的取值范围是；
15.如图所示，在四面体中，截面平行于对棱和(1)若⊥，则截面与侧面垂直；
(2)当截面四边形面积取得最大值时，为
中点；
(3)截面四边形的周长有最小值；
(4)若⊥，存在一点P到四面体ABC六条棱的中点的距离相等三、解答题：
16．(本题满分12分)
已知函数．函数）在中，为锐角，且角所对的边分别为，若，,求面积的最大值.
17．(本题满分12分)
为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：
（I）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；
（II）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；III）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．
18．(本题满分12分)
如图，在四棱锥中，为正三角形，
⊥平面，⊥平面，为棱的
中点，.
（I）求证：∥平面；
（II）求证：平面⊥平面．
19．(本题满分13分)
已知正项数列的前项和为，且满足，.
（I）求、的值，并求数列的通项公式；
（II）设，数列的前项和为，证明：.
20．(本题满分13分)
已知函数.
（I）若函数在处的切线与轴平行，求值；
（II）讨论函数在其定义域内的单调性；
（III）定义：若函数在区间D上任意都有，则称函数
是区间D上的凹函数.设函数，其中是的导函数．根据上述定义，判断函数是否为其定义域内的凹函数，并说明理由.
21．(本题满分13分)
设椭圆:过，两点，其中为椭圆的离心率为坐标原点.
（I）求椭圆的方程；
（II）过椭圆右焦点的一条直线与椭圆交于两点，若，求弦的长.
2015届高三“四校”联考数学（文科）参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B C C D B C A B 二、填空题
11.12.13.14.15.②④
三、解答题
16、解：=
…………………3分
（1）y==-+1=2
令得
所以y=的单调递减区间是……6分
（2）∵∴
又∵A为锐角∴又∵a=，∴…8分
∴∴当且仅当b=c=时,bc取得最大值
∴ΔABC的面积最大值为……………12分
17、解：（）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则高三年级学生总数
……………………………………………3分
（）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小.所以，乙校学生的成绩较好.…………………………………………7分
（III）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为:1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6.则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1,2）、（13）、（1,4）、（1,5）、（1,6）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、（3,4）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4,6）、（5,6），总共有15个基本事件.其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为,则包含9个基本事件，如下：（1,5）、（1,6）、（2,5）、（2,6）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4,6）、（5,6）.…………………10分
所以，…………………………………………………12分
18、解：（1）取AC中点N，连接MN,BN
由于M、N分别是AE、AC的中点，∴EC，又BDEC
∴MNBD从而MNBD为平行四边形
∴DM//BN,又
所以DM//面ABC………………6分
(2)由（1）及ABC为等边三角形，∴BN丄AC，
又BD丄面ABC∴BD丄AC,BN∩BD=B
从而AC⊥面BDN，即AC丄面BDMN
而AC在平面AEC内，∴面EAC上面BDMN,即面ECA丄面BDM………12分
19、解：（1）当时，，又，则.
同理求得，.…………………2分
由，时，，即，又易知，则，即，所以是以1为首项1为公差的的等差数列.
所以，代入得，.…………………6分
（2）由（1）知，
所以,………9分
则.
所以.…………………13分
20、解：（1）由题意又处切线与轴平行
从而……………………………………4分(2)由
当内单调递增……..6分
当时，令得而方程有二根
，且在上递增上递减，……..8分
综上，在时在上递增上递减……………………9分
(3)由题意…………………10分
令任意则
所以=……………12分
也即
故是其定义域内的凹函数………….13
………………..6分
（2）因为，得………………..7分
若直线斜率不存在时直线方程为此时A（2，），B（2，）不满足………………..8分
若直线斜率存在时不妨设直线方程为，A，B
联立
又∵
∴………………..11分
………………..13分
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(第１2题图)
(第１5题图)
(第１4题图)
(第１8题图)
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