2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（理科）
2015.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．已知，则满足，则的最小值为．
3．设是虚数单位，复数满足，则．的反函数．的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
．
6．若正四棱柱的底面边长为，高为，则异面直线与所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示）
7．设数列的前项和为，若，，则的通项公式为．
8．若全集，不等式的解集为，则=．
9．已知圆，方向向量的直线过点，则圆上的点到直线的距离的最大值为．
10．如图：在梯形中，且，与相交于，设，，用表示，则=．
11．已知函数，将的图像向左平移（）个单位后得到函数的图像．若的图像上各最高点到点的距离的最小值为，则的值为．
12．已知函数，其中．
当时，的零点依次记作，则．
13．在平面直角坐标系中，对于函数的图像上不重合的两点，若关于原点对称，则称点对是函数的一组“奇点对”（规定与是相同的“奇点对”）．函数的“奇点对”的组数是．
14．设集合，则集合A中满足条件“”的元素个数为．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
15．“”是“实系数一元二次方程有虚数根”的（）
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件
16．已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出的是（）
（A）且（B）且
（C）且（D）且
17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有类，分别编号为，买家共有名，分别编号为．若，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）
（A）（B）
（C）（D）
18．对于方程为+=1的曲线给出以下三个命题：（1）曲线关于原点中心对称；（2）曲线既关于轴对称,也关于轴对称，且轴和轴是曲线仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q都在曲线上，则四边形MNPQ每一条边的边长都大于2．其中正确的命题是（）(A)（1）（2）(B)（1）（3）(C)（2）（3）(D)（1）（2）（3）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．
已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若，，求．
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数．
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）若函数在上为减函数，求的取值范围．
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
如图所示，某传动装置由两个陀螺组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且的轴相互垂直，它们相接触的直线与的轴所成角．若陀螺中圆锥的底面半径为．
（1）求陀螺的体积；
（2）当陀螺转动一圈时，陀螺中圆锥底面圆周上一点转动到点，求与之间的距离．
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆（常数）的左顶点为，点，为坐标原点．
（1）若是椭圆上任意一点，，求的值；
（2）设是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
（3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”．例如数列：满足，则其序数列为．
（1）写出公差为的等差数列的序数列；
（2）若项数不少于5项的有穷数列、的通项公式分别是()，()，且的序数列与的序数列相同，求实数的取值范围；
（3）若有穷数列满足，，且的序数列单调递减，的序数列单调递增，求数列的通项公式．
理科参考答案
填空题：（每题4分）
1.2.3.4.5.
6.7.8.9.
10.11.12.13.14.
选择题：（每题5分）
15.B16.C17.C18.B
解答题
19、解：（1），……………………..2’
;……………………..4’
（2），
，……………………..6’
，，……………………..8’
又，，……………………..10’
．……………………..12’
20、解：（1）对一切的成立，……………………..4’
所以……………………..6’
（2）若，则函数在单调递增（舍）……………………..8’
当时，令，……………………..9’
则函数在上单调递减……………………..10’
所以，……………………..13’
即……………………..14’
21、解：（1）设陀螺圆锥的高为，则，即……………………..2’
得陀螺圆柱的底面半径和高为……………………..3’
……………………..5’
……………………..7’
……………………..8’
（2）设陀螺圆锥底面圆心为，
则，……………………..10’
得……………………..12’
在中，……………………..14’
22、解：（1），
得……………………..2’
，即……………………..4’
（2）设，则
……………………..5’
……………………..6’
由，得……………………..7’
∴当时，最大值为；……………………..8’
当时，最小值为；……………………..9’
即的取值范围为……………………..10’
（3）（解法一）由条件得，，……………………..11’
平方得,
即……………………..12’
……………………..13’
=
……………………..15’
故的面积为定值……………………..16’
（解法二）①当直线的斜率不存在时，易得的面积为……………………..11’
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为
……………………..12’
由，可得，
又，可得……………………..13’
因为，……………………..14’
点到直线的距离……………………..15’
综上：的面积为定值……………………..16’
23、解：(1)当时，序数列为；……………………..2’
当时，序数列为……………………..4’
(2)因为，……………………..5’
当时，易得，当时，，
又因，，，，
即，
故数列的序数列为，……………………..8’
所以对于数列有，
解得：……………………..10’
(3)由于的序数列单调递减，因此是递增数列，故，于是，
而，所以，从而，
(1)……………………..12’
因为的序数列单调递增，所以是递减数列，同理可得，故(2)……………………..14’
由(1)(2)得：……………………..15’
于是……………………..16’
……………………..17’
即数列的通项公式为()……………………..18’
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