Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
1
高考数学压轴题中的几种特殊函数
数学与应用数学（金融数学）2009189934黄霜指导老师：黄汉那
摘要：随着课程改革的不断深入，素质教育的全面实施，近几年来高考数学
命题创造性地把数学教育的新思想，新观点融合其中，相继出现了立意新、情境
新、构思精妙的特殊函数，常常处于压轴题的位置。为高三的教师和学生复习备
战高考提供帮助，这篇论文结合近几年的高考数学试题，分类列举了高考中出现
的几类特殊函数，如：补函数、耐克函数、伪二次函数、单峰函数、特征函数，
并对这些特殊函数的概念及相关题型做出了适当的分析，挖掘出特殊函数在高考
压轴题中的题型规律并给出相应的解决方法。
关键词：高考数学；压轴题；特殊函数
引言
随着课程改革的不断深入，素质教育的全面实施，能力立意仍然是各省市高
考试题强调的核心理念，同时，高考数学压轴题的命题视角呈多元化的趋势，命
题者往往会结合能力、素质、应用以及创新等几个方面综合考查进行设计。因此
高考中出现很多具有立意鲜明、构思精妙、情景新颖、表达方式鲜活的特殊函数，
它不拘泥于课本材料，注重考查学生的阅读能力、理解能力、提炼数学问题和信
息的迁移能力。为了适应新课程标准不同层次的要求，每年高考结束之后，每个
省市的研究人员都会针对当年本省的数学试题进行详细的探讨，如分析试题的难
度及分值、题型规律等。而这篇论文全局分析研读高考数学试题中的函数创新题，
挖掘出隐含其中的函数题型规律以及给出相应的解题方法，并在文后指出了一些
复习备考建议。这对提高高考备考效率具有非常积极的指导作用，值得广大中学
教师和参加高考的学生仔细研读和深入思考。
Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
2
1.试题创新特点及函数命题趋势
1.1高考数学压轴题的命题趋势
为了顺应新课程改革的实施，高考试题的命题趋向也在不断的发生变化，新
课程改革的程理念必将体现在高考的试题中。数学高考题强调“能力立意”和必
要的区分度，以利于高校对人才的选拔。因此各省市的压轴题综合题、灵活性、
探索性都很强，具有挑战性和思考性。近几年，在高考压轴题的设计上更注重对
考生知识的灵活运用能力、信息的分析处理能力、创新意识和应用意识的考查，
因此所设计的压轴题既不受课本教材的约束，又不超越教学大纲，所设计的题目
具有新颖的情景、巧妙的构思、富有时代气息而且又切合实际，这些压轴题主要
有一下特点：
1.1.1立意的鲜明性
高考数学试题以能力立意为核心理念，以数学思想、数学基础知识、基本
方法为指导思想，它体现了新课程理念的基本要求，试题的立意呈多元化的趋
势，如考查学生的抽象思维能力、在新情境下知识的迁移能力、提炼信息的能
力、创新意识和应用意识等。而以特殊函数为背景的试题是近几年高考试题中
出现的一类创新型函数题。特殊函数的出现更符合我们现阶段中学实施素质教
育的需要和实际，具有高考数学“鲜明的立意、灵活的设问、新颖的情景、清
晰的层次”的特点。这有利于高校选拔对人才的选拔。
1.1.2背景的深刻性
以高等数学的基本概念、基本思想、基本方法渗透到高考压轴题中，为高考
压轴题提供了深刻的背景，命题专家构思十分巧妙，使得这类题目给人有一种常
考常新的感觉。而高中的竞赛数学是处在初等数学与高等数学的中间位置，以竞
赛数学为背景来命制压轴题，成为高考数学压轴题的一个新趋向，为各个高校选
拔优秀人才提供了良好的素材。这类题目在课本练习、各种复习资料或模拟题中
Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
3
难以找到，解题思路独特、解决方法新颖，从而使得这类题目有很好的区分度，
因此，背景新颖的压轴题十分受到命题者的青睐。
1.1.3情景的新颖性
情景新颖的压轴题，一般包括新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、
新的规则等，这类题目可以考查学生在新情景下知识的灵活运用能力和理解新知
识的能力。这些题目构思精妙、立意新、解题方法新，靠题海战术和解题套路一
般难以解决，对广大考生来说是十分公平的。近几年来，高考命题对这类题目比
较热衷。
1.2高考函数的命题趋势
函数作为高中数学最广泛的知识点，它易于其他知识点相结合，是贯穿高中
数学的一条主线，是连接初等数学和高等数学的纽带，最能体现学生的能力和水
平。随着数学试题的不断创新，函数问题的创新题型必定会成为高考数学命题的
重点和热点内容。以对函数概念的深化理解与函数的基本性质及图象做为命题的
核心，这是对函数考查的一个基本特点。随着新课程理念的全面实施和数学试题
的不断创新，高考函数的命题趋势有以下特点：
（1）注重各个知识点间的交汇
函数的广泛性使函数与其他知识点的内在联系非常的紧密，新课改强调能力
立意的命题理念决定了函数与其他知识进行交汇仍然是一个热点。新教材引入了
向量、概率、统计、数列、极限等内容，扩大了函数问题的命题空间，因此在高
考中出现了很多新的交汇题型，例如：函数与向量、函数与解析几何、函数与概
率等交汇题常常受到命题者的喜爱。预计在今后的高考中将会设计得更加灵活，
更能体现与其他知识点间的紧密联系。
（2）高等数学知识为背景
以高等数学为背景，通过给出新的概念，新的定理或设置新的情景，考查学
生的创新意识、应用意识、阅读理解新知识的能力。高考是为了向高校输送人才，
而高中数学与高等数学相互衔接，而且函数又是高中数学的主干知识，所以函数
与高等数学知识在高考中创新交汇就显得合乎情理了，这是高考命题的又一个新
Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
4
走向。
（3）抽象函数久热不冷
抽象函数通常只给出了一些条件，例如：函数的值域或者定义域、函数的性
质等，而没有给出具体的解析式。抽象函数的概念和性质都具有抽象性，所以理
解和研究起来都比较困难，富有思考性和挑战性，它既是中学数学教学的重点和
难点，又是今年来各地模拟题和高考的热点。抽象函数对培养学生观察、联想、
类比猜测、理性思维等探索能力,增强用数学的意识,有着十分重要的作用，在
近几年的高考中占的比重越来越大。
其中以特殊函数为背景的创新型函数题压轴题在高考数学试题频繁出现，旨
在提高试题的区分度，在试卷中充当把关的角色。
2.高考数学压轴题中的几类特殊函数
2.1以函数的图像和性质为背景——伪二次函数、耐克函数
形如2()=(0,0)fxaxbxcInxac????的函数有人称为“伪二次函数”。
例题1：（2011广东文科）设>0k，讨论函数2()=(1-)-2(1-)+Infxkkxkxx的单调性.
解：2=4(1-)-8(1-)=4(3-1)(-1)kkkkk?
（1）当0??时，即(3-1)(-1)0kk?，即113k??时，=(1-)>0akk，所以()fx在(0,+)?
上为增函数.
（2）0??即10<<3k或>1k时
①若10<<3k时，=(1-)>0,=-2(1-)<0,=1>0akkbkc，()fx的图像如图1，所以()fx
在12(0,),(,+)xx?上为增函数，在12(,)xx上为减函数.
②若>1k时，=(1-)<0akk，=1>0c，()fx的图像如图2，
所以1()(0,)fxx在上为增函数，在2(,+)x?上为减函数。
综上所述，()fx的单调区间如下表：
Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
5
10<<3k113k??>1k
1(0,)x12(,)xx2(,+)x?(0,+)?1(0,)x2(,+)x?
耐克函数的概念及性质：耐克函数是指形如：2
121=+(>0,>0,>0)xyxx????
，函数
在12=x??处取得最小值，且该函数在12(0,]x???上单调递减，在
12[,+)x????上单调递增.
例题2（2006年上海卷.理）已知函数=+ayxx有如下性质：如果常数>0a，那么
该函数在(0,]a上是减函数，在[,+)a?上是增函数.
（Ⅰ）如果函数2=+(>0)byxxx的值域为[6,+)?，求b的值；
（Ⅱ）研究函数2
2=+(c>0)cyxx常数
在定义域内的单调性，并说明理由；
解：（1）由所给函数)0(???axaxy性质知，当x>0时，ax?时函数取最小值.2a
所以对于函数,222,2bbbxxxy时取最小值当???所以,92,622??bb∴b=
log29.
（2）设cttctytxt?????由条件知在则)0(,2时为单调增函数，ct??0时
为单调递减函数，而t=x2在（0，+∞）为单调增函数，在（－∞，0）上为
单调减函数，
所以由复合函数单调性知在
22
22
00xcxyxcxxcx????
?
????
?
??时和
均单调递增，
解得,044????xccx和
即????.0,,44
22c、cxcxy?????的单调增区间为
当
xcxyxcxxcx????????????时和00
22均单调递减，解得440cxcx???和
Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
6
即函数????.,,044
22c、cxcxy?????的单调减区间为
小结：纵览历年高考试题，伪二次函数和耐克函数在试卷中频繁出现，主要
考查它们的图像，单调性、最值等性质，以考查学生灵活运用所学过的知识解决
新问题的能力。（1）了解了伪二次函数2()=(0,0)fxaxbxcInxac????的图像与
系数abc、、的关系，就可以快速地画出它的函数的图像，从而研究它的性质。
形如：2()=(0,0)fxaxbxcInxac????的函数在高考试题中屡见不鲜，如2008年
湖北卷第21题(理科)、2010年辽宁卷第21题（理科）、2011年辽宁卷第21题
（理科）、2011年浙江第21题(文科)等，这些题目用伪二次函数的图像来解答
让人眼前一亮。（2）耐克函数在近几年高考中也经常出现，特别是它的单调性及
其应用尤为广泛.如2006年安徽卷第20题。
2.2以高等数学的基本概念为命题背景——补函数、单峰函数
例题1：（2012年江西理科）若函数h(x)满足
（1）h(0)=1，h(1)=0；
（2）对任意，有h(h(a))=a；
（3）在（0,1）上单调递减。
则称h(x)为补函数。已知函数11-()=()(>-1,>0)1+pp
pxhxpx??
（1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；
（2）略
解：函数()hx是补函数.证明如下：
①111-01-1(0)=(=1(1)==01+01+pphh?），（）
②对任意[0,1],a?有
??0,1a?
Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
7
1
11
1-1-
1-(1+)1+(())=(())==()=
1-1+1+1+
1+
p
p
p
ppp
p
pp
p
a
aaahhaha
aa
a
??
???
?
??
??
??
??
③令()=(())gxhx、，有-1-1-1
22-(1+)-(1-)-(1+)()==(1+)(1+)
ppppp
pppxxxpxpxgxxx?????、
因为?>-1,p>0,所以当(0,1)x?时，()0gx?、，所以函数()(0,1)gx在上单调递
减，故函数()hx在(0,1)上单调递减。
因此函数()hx是补函数。
例题2：（2005年北京理科）设()fx是定义在[0,1]上的函数，若存在(0,1)x??，
使得()fx在[0,]x?上单调递增，在[,1]x?上单调递减，则称()fx为[0,1]上的单峰
函数，x?为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
对任意的[0,1]上的单峰函数()fx，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（I）证明：对任意的1212122,(0,1),<,()()0xxxxfxfxx??若，则（，）为含峰区间；
若12()()1fxfxx??，则（，）为含峰区间；
（II）对给定的(0<<0.5)rr，证明：存在12,(0,1)xx?，满足12-2xxr?，使得由
（I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；
证明：（I）证明：设为()fx的峰点为x?，由单峰函数的定义可知，()fx在[,1]x?
上单调递减，在[[0,]x?上单调递增．
当12()()fxfx?)时，假设2(0,)xx??，则12<
这与12()()fxfx?矛盾，所以2(0,)xx??，即2(0,)x是含峰区间.
当21()()fxfx?时，假设2(,1)xx??，则12xxx???，从而12()()()fxfxfx???，
这与12()()fxfx?矛盾，所以1(,1)xx??，即1(,1)x是含峰区间.
Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
8
（II）证明：由（I）的结论可知：
当12()()fxfx?时，含峰区间的长度为12=lx；
当12()()fxfx?时，含峰区间的长度为21=1-lx；
对于上述两种情况，由题意得
1
2
1-0.5+0.5+xr????
?
①
由①得211+-1+2xxr?，即21-2xxr?
又因为21-2xxr?，所以21-=2xxr②
将②代入①得
120.5-0.5-xrxr??，，③
由①和③解得120.5-0.5+xrxr??，
所以这时含峰区间的长度12==0.5+llr，即存在12xx，使得所确定的含峰区间的长
度不大于0.5+r．
小结：像以补函数、单峰函数等特殊函数为背景的函数创新题，通过设置新情景，
给出函数的新概念，旨在考查学生的理解能力和信息的迁移能力，难度较大，只
要充分理解函数的定义，以函数的定义为突破口，就能寻找出问题的解决方法。
2.3以函数不动点为载体——特征函数
特征函数的概念：若函数()yfx?的定义域为D，0xD?，且00()fxx?，则称0x
为函数()yfx?的一个不动点。若数列{}na满足1()nnafa??，则称函数()yfx?为数
列{}na的特征函数
例题：（2009陕西.理）已知数列?}nx满足，
1111,21nnxxnNx??＋’＝＝
.
???猜想数列{}nx的单调性，并证明你的结论；
Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
9
(Ⅱ)证明：1
112|()65nnnxx??-|≤
。（略）
解：由递推关系
111nnxx?＋＝
得特征函数1()=1+fxx，再由其特征方程1=1+xx得
不动点-1+5-1-5=,=22
ABxx
，
当(-1,)nAxx?时，则
111>=11+nAnAxxxx?＋＝
；
当(+)nAxx??，时，则
111<=11+nAnAxxxx?＋＝
；
于是当1(-1,)Axx?时，1352-1,,,,nAxxxxx…，…，
222
22-122
2+12
2
+-111-=-=-=>0
11+2+1+
1+
nnnnnn
nn
n
xxxxxx
xxx
，
22-12-1
2-12+12-122-1+-11-=-=<01+2+nnnnnnnxxxxxxx
因为
11=(-1,)2Axx?
，所以数列??2nx单调递减，而数列??2-1nx单调递增。
小结：本题根据特征函数的不动点与数列单调性的界定来命题，是一道综合
性很强的压轴题。这类题目可以很好的将函数、数列、不等式融合在一起，数列
是一种特殊的函数，而不等式是连接函数与数列的重要工具，将三者相结合的求
证题所显示的代数推理是近几年来数学高考题的新的热点，经常在压轴的位置上
出现，例如09年安徽高考第21题（理科卷），07年四川高考卷第21题（理科），
06年山东理科卷,05年江西高考第21题（理科卷），05年辽宁第19题。
3.结合几类特殊函数的命题规律给出几点复习建议
3.1掌握课本基础知识，深入理解掌握教材内容。
教材包含丰富的基础知识和丰富的数学思想方法，因此要深入理解并掌握
教材的相关知识点。其中函数、导数、空间向量、概率、解析几何等内容是高中
Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
10
数学的核心知识点，只有熟悉并记住相关的知识，才能融会贯通、综合运用。对
于教材中的函数部分，要理解并记住函数的概念、基本性质和图象，许多创新型
函数题都能在课本上找到它的生长点，因此在复习函数时可以精选一些有创新的
题目作为范例。
3.2应加强知识转化能力的训练，并提高数学应用意识。
导数、方程、不等式、数列、概率等知识都与函数联系紧密，因此在复习时
要注重知识点间的内在联系，重点提升知识的转化能力和自学能力，具有很强学
习能力的学生，之所以不会害怕新情景下的新问题，因为他们具备了快速分析并
解决问题的能力。而创新型函数压轴题的命题背景十分的丰富，在备考时，选择
一些背景新颖的函数作为范例，以提高自身的数学应用意识。
3·3重视数学思想的深化，提高解决实际问题的能力。
（1）函数与方程的思想：
数学思想与方法是高中数学的精髓，它蕴含着函数观点和方程观点。函数
是反应客观实践中量与量之间的相互依存、相互制约的关系，在一定条件下，
方程是这种关系的具体形式。
（2）变换与转化思想：
转化思想是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的
思想方法，通过不断的变换，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转
化为具体的问题。在解特殊函数的题型时，题目给出的往往是我们不熟悉的函数
知识，我们可以通过这种转化的思想方法，把新问题转化为我们熟悉的问题来处
理，这样可以提高解题速度。常见的转化方法有：参数转化法、换元转化法、构
造模型转化法等。
（3）数形结合思想：
数形结合思想把代数方法和几何方法都集中起来，是一把双韧的解题利剑，
既发挥了代数方法的一般性，又发挥了几何思想的形象直观性。在解特殊函数压
轴题时，使抽象的数量关系和形象直观的图形结合起来，对我们解题起到很好的
辅助作用。
Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
11
数学思想方法是数学学科的灵魂，只有在平时的练习中不断地深化数学思想，
并将数学思想贯穿在数学解题中，特别是对解决函数问题，才能使问题得到迅速
解决。
总结
随着高考数学命题不断的创新，函数作为高中数学的核心内容也必定会不断
创新。随着函数创新而相继出现在高考试题中的特殊函数，成为了高考关注的焦
点及专家讨论的热点。上文通过简单介绍高考数学试题的创新特点及高考函数的
命题趋势，重点结合分析近几年的高考数学试题，分类列举了高考压轴题中的几
类特殊函数，并结合典型事例予以剖析，挖掘出题型中的规律，并根据题型规律
给出了相应的复习建议。一方面帮助考生全面了解高考数学的创新特点以及函数
的命题趋势，另一方面帮助考生认清特殊函数在压轴题中的题型规律及解题技
巧，。如果这篇论文能够对特殊函数在高考压轴题中的布局如：题型的种类及分
值、知识点所占的比重、试题难度要求和分布情况加以研讨，在题型分析研究上
增加实例进行验证，将会使这篇文章更趋完善。
致谢
最后要感谢在整个论文写作过程中帮助过我的每一位人。首先，也是最主
要感谢的是我的指导老师：黄汉那老师。在整个过程中他给了我很大的帮助，在
论文题目制定时，他首先肯定了我的题目大方向，让我在写作时有了具体方向。
在论文提纲制定时，我的思路不是很清晰，经过老师的帮忙，让我具体写作时思
路顿时清晰。在完成初稿后，老师认真查看了我的文章，指出了我存在的很多问
题。同时，感谢四年中陪伴在我身边的同学和朋友，感谢他们为我提出的宝贵意
见，感谢他们一直以来的支持与鼓励。
主要参考文献：
[1]吴斌.李新越,魏春强.高等数学背景下的高考数学试题探究[J].价值工
程,2011(14).
[2]王勇.活跃在高考中的几种特殊函数[J]数理化学习,2004(18).
Gothedistance
地址：重庆杨家坪兴胜路32号盾安九龙都13-4电话：13627608211QQ/微信：972802274
12
[3]王勇.异军突起的特殊函数[J].求学文科,2010(12)
[4]杨劲.研读信息，把握特殊[J].中学数学教学,2010(1)
[5]黄福有.新课标背景下高考函数综合函数的新趋向.教学与管理,2006(5).
[6]方秦金.高考数学压轴题的命制方法探秘[M].中学教学杂志,2004(1).
[7]谢广喜.值得关注的几种特殊函数[J].试题与研究（高中版）,2007(2).
[8]李邵平.透视高考函数问题的几大新趋势[J].上海中学数学,2007,(Z1)
[9]杨锦义.楼可飞.对几类特殊函数的理解及应用[J].中学数学教学,2009—3.
[10]林建森.马雪波.例析高考题中的高等数学背景[J].考试(高考数学
版),2010(Z5).
[11]徐祝庆.抽象函数题型与高考走势[J].中学教研,2008(2)
[12江西高考题(理科).2012.
|
|
