参考答案及评分标准（第1页共4页）
2015年全国高中数学联赛（四川）初赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的
评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、C2、B3、B4、D5、C6、A
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、38、09、
3
4
10、1?11、012、0
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、已知数列{}
n
a满足：
123
,1,aaa+成等差数列，且对任意的正整数n，
均有
1
13
2
22
n
nn
Sa
+
=?+成立，其中
n
S是数列{}
n
a的前n项和．
（1）求
123
,,aaa的值；
（2）求数列{}
n
a的通项公式．
解：（1）由
123
,1,aaa+成等差数列知，
213
2(1)aaa+=+①
由
1
13
2
22
n
nn
Sa
+
=?+，取1n=知
12
13
2
22
aa=?+②
取2n=知
123
13
4
22
aaa+=?+③………5分
联立①、②、③解得：
1
1a=?，
2
1a=?，
3
1a=．………10分
（2）当2n≥时，由
1
13
2
22
n
nn
Sa
+
=?+，
1
1
13
2
22
n
nn
Sa
?
?
=?+知，
1
1
11
2
22
n
nnn
aaa
?
+
=??，即
1
32
n
nn
aa
+
=+，………15分
故
1
1
23(2)
nn
nn
aa
+
+
+=+
于是，当2n≥时，有
22
2
2(2)3
nn
n
aa
?
+=+?，即
1
32(2)
nn
n
an
?
=?≥．
又
1
1a=?也满足
1
32
nn
n
a
?
=?．
所以，数列{}
n
a的通项公式为
1
32
nn
n
a
?
=?．………20分
参考答案及评分标准（第2页共4页）
14、已知函数
4
()sinfxx=，
（1）记()gx=()()
2
fxfx
π
+?，求()gx在
3
[,]
68
ππ
上的最大值与最小值；
（2）求
238889
()()()()()
180180180180180
fffff
πππππ
+++++"的值．
解：（1）
44222222
1
()sincos(sincos)2sincos1sin2
2
gxxxxxxxx=+=+??=?，
………5分
因为
3
[,]
68
x
ππ
∈，则
3
2[,]
34
x
ππ
∈，故
2
sin2[,1]
2
x∈
从而
2
113
1sin
224
x≤?≤，即
13
()[,]
24
gx∈．
所以，()gx在
3
[,]
68
ππ
上的最大值为
33
()
84
g
π
=，最小值为
1
()
42
g
π
=．………10分
（2）注意到
238889
()()()()()
180180180180180
fffff
πππππ
+++++"
4
2445
()()()sin()
180180180180
ggg
ππππ
=++++"………15分
22224
124682
44[sin()sin()sin()sin()]()
21801801801802
ππππ
=?+++++"
11
4422
24
=?×+
133
4
=．………20分
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15、过双曲线
2
2
1
4
y
x?=的右支上任意一点P(x
0
，y
0
)作一直线l与两条渐近线交于点A、
B，若P是AB的中点．
（1）求证：l与双曲线只有一个交点；
（2）求证：△OAB的面积为定值．
证明：（1）双曲线两条渐近线方程为y=±2x．
当y
0
=0时，易得直线l的方程为x=x
0
，此时l与双曲线只有一个交点．
当y0≠0时，显然直线l存在斜率，故可设直线l的方程为y?y
0
=k(x?x
0
)，
与y=2x联立，解得A点坐标为(
00
2
kxy
k
?
?
，
00
22
2
kxy
k
?
?
)．
与y=?2x联立，解得B点坐标为(
00
2
kxy
k
?
+
，
00
22
2
kxy
k
?
?
+
)．………5分
因为P是AB的中点，所以
00
2
kxy
k
?
?
+
00
2
kxy
k
?
+
=2x
0
，解得k=
0
0
4x
y
．
故直线l的的方程为
0
00
0
4
()
x
yyxx
y
?=?．
与双曲线方程联立，得
220
00
0
4
4[()]4
x
xyxx
y
?+?=，………10分
即
22222
00000
4[4()]4yxyxxxy?+?=，①
又因为P(x
0
，y
0
)在双曲线
2
2
1
4
y
x?=上，所以
2
20
0
1
4
y
x?=，得
22
00
44yx=?，
所以方程①可化为
2222
000
4(44)4yxxxy??=，
化简得，
22
00
4840xxxy?+??=，
所以
22
00
6416(4)xyΔ=?+
22
00
641664xy=??0=．
所以l与双曲线只有一个交点．………15分
（2）S△
OAB
=
1
2
|OA|·|OB|·sin∠AOB，故只需证明|OA|·|OB|为定值即可．
因为|OA|
2
=(
00
2
kxy
k
?
?
)
2
+(
00
22
2
kxy
k
?
?
)
2
=
5
4
(2x
0
+y
0
)，
|OB|
2
=(
00
2
kxy
k
?
+
)
2
+(
00
22
2
kxy
k
?
?
+
)
2
=
5
4
(2x
0
－y
0
)，
所以|OA|
2
·|OB|
2
=
22
00
25
(4)
16
xy?=
25
4
．故得证．………20分
参考答案及评分标准（第4页共4页）
16、已知a为实常数，函数()sin([0,2])
x
fxexaxxπ
?
=+∈．
（1）记()fx的导函数为()gx，求()gx在[0,2]π上的单调区间；
（2）若()fx在(0,2)π的极大值、极小值恰好各有一个，求实数a的取值范围．
解：（1）()sin
x
fxexax
?
=+，故()()(sincos)
x
gxfxaexx
?
′==??，
于是()2cos
x
gxex
?
′=?，由()0gx′=知
2
x
π
=或
3
2
π
；
由()0gx′<解得，0
2
x
π
<<或
3
2
2
x
π
π<<；由()0gx′>解得，
3
22
x
ππ
<<．
所以，函数()gx在[0,2]π的单调递增区间为
3
[,]
22
ππ
，
单调递减区间为[0,)
2
π
，
3
(,2]
2
π
π．………5分
（2）由（1）知()gx在
2
x
π
=处取得极小值，在
3
2
x
π
=处取得极大值．
又因为(0)1ga=+，
2
()
2
gae
π
π
?
=?，
3
2
3
()
2
gae
π
π
?
=+，
2
(2)gae
π
π
?
=+．
一方面，显然
3
(0)()(2)()
22
gggg
ππ
π>>>．………10分
①若()0
2
g
π
≥，则''()0fx>，故()fx在(0,2)π内单调递增，从而()fx在(0,2)π内
无极值．矛盾！所以()0
2
g
π
<．
②若(2)0gπ≤，当
3
()0
2
g
π
≤时，()fx在(0,2)π内至多有一个极值点，矛盾！
当
3
()0
2
g
π
>时，()fx在(0,2)π内至少有3个极值点，矛盾！
所以，(2)0gπ>．………15分
另一方面，当()0
2
g
π
<且(2)0gπ>时，''()fx在(0,)
2
π
与(,2)
2
π
π内各有一个极值点．
所以()fx在(0,2)π的极大值、极小值恰好各有一个的充要条件是：
2
2
(2)0
()0
2
gae
gae
π
π
π
π
?
?
?
=+>
?
?
?
?
=?<
?
?
解得：
2
2
eae
π
π
?
?
?<<．所以，所求的实数a的取值范围是
2
2
(,)ee
π
π
?
?
?．………20分
|
|
