行星的运行轨迹毕达哥拉斯、托勒密：行星的运行轨迹是圆的（和谐、同速）。哥白尼写道：“一想到它不是圆形，就怕得身上的汗毛都竖了起来。这是因为
对至高无上的创造去设想有那种不完整的东西。”第谷、开普勒对火星的运行轨迹进行多年的观察，发现差了8分（1度=60分）。开普勒
写到：“可是，这个差是谁也不能忽视的。这八分之差指给了我们一条完全改变天文学的道路。”硬币如果假定硬币是均匀的，则推断出
现正面和反面可能性的大小均为1/2。这是数学或者是概率论的方法。统计学的方法是，掷此硬币并纪录出现正面的次数，以比值估计（
不是定义）出现正面的可能性的大小。如果这个比值接近1/2，则推断这个硬币可能是均匀的。道理是：首先假定一个模型：做一个实验
只有两个结果，成功或失败。用0表示成功，用1表示失败。成功的概率是p，则失败的概率是1－p。称这样的模型为Bernoulli
模型。在这个实验中，反复取样本，比如n次，其中成功k次，则我们用比值来估计p这个概率。nk举例2这
些也许就是“过程的教育”，让学生自己探索答案，而不一定是通过讲道理分析出答案。通过“道理”直接给出公式固然是好的，但是通过有
规律的计算寻求这个规律是得到一般结果的有效手段，特别是能够帮助学生更直观地理解“道理”。这是归纳推理的手法，也是我们过去的数
学教育忽视的地方。数学教育改革与创新人才培养六、如何改变标准数学教育改革与创新人才培养人人学有价值的数学人人都能获得
必需的数学不同的人在数学上得到不同的发展人人都能获得良好的数学教育不同的人在数学上得到不同的发展六、如何改变标准数
学教育改革与创新人才培养基础知识基本技能“双基”基础知识基本技能基本思想基本活动经验“四基”课程标准与创新人
才培养史宁中东北师范大学，长春，130024一、关于课程标准二、创新能力的基础三、我国教育的现状四、还缺少什么？五、
如何培养归纳能力六、如何改变标准数学教育改革与创新人才培养一、关于课程标准《教学大纲》：具体内容的规定1
.《课程标准》与《教学大纲》的区别数学教育改革与创新人才培养以知识为本《教学大纲》是一维目标：知识技能目标
（规定的内容教师是否教了，学生是否掌握了）数学教育改革与创新人才培养《课程标准》
是三维目标：知识技能目标过程性目标（能力、经验、智慧）
情感、态度、价值观《课程标准》：基本理念的阐述以人为本（人的全面发展）知识在本质上是一
种结果，可以是经验的结果，也可以是思考的结果。结果的教育、知识的积累。从受教育者的角度考虑问题
智慧表现于过程，表现于经验的过程，表现于思考的过程。过程的教育、经验的积累。《数学课程标准》的若干思考
教育是生存的需要。接受教育的欲望是人的本能。教育的本质应当保持、加强这个本能，激活学生的潜能。知识智慧=知
识+经验我们必须清楚，世界有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历。智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验
，你只能让学生在实际操作中磨练。“过程的教育”不是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方
式。而是，探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程，等等。《数学课程标准》的若干思考数学教育
改革与创新人才培养2.要建立创新性国家、要培养创新性人才创新性人才培养的根本在基础教育成为创新性人才需要三个条件：
意识、能力、机遇二、创新能力的基础创新能力依赖于：知识的掌握、思维的训练、经验的积累。(现
在的数学教育100分、50分、0分）思维的训练：演绎能力、归纳能力。爱因斯坦：西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，
那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里德几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。（见《爱
因斯坦文集》第一卷）数学教育改革与创新人才培养三、我国教育的现状杨振宁：我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学
习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。（见《我的生平》）演绎能力：能够熟练使用演绎推理的能力。
演绎推理来源于亚里士多德，他在《工具论》提出了著名的三段论理论，即大前提、小前提、结论。数学教育改革与创新人才培养三段论
包括四个格，最为本质的是第一格。第一格有下面四种形式：全称肯定形：凡人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。
全称否定、全称肯定、全称否定形：没有一条鱼是有理性的，所有的鲨鱼都是鱼，所以没有一条鲨鱼是有理性的。全称肯定、特称肯
定、特称肯定形：凡人都有理性，有些动物是人，所以有些动物是有理性的。全称否定、特称肯定、特称否定形：没有一个希腊人是黑色
的，有些人是希腊人，所有有些人不是黑色的。就数学而言，演绎推理是基于公理、定义和符号，按照规定的法则进行命
题证明或者公式推导。除三段论外，还有数学归纳法、反证法、计算等。就欧氏几何而言，在公理和公设的基础上：“已知A求证
B”，其中A和B都是确切的命题。演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。克莱因说：逻辑可以是数学的标准和约
定，但不是它的本质。数学教育改革与创新人才培养这与“数学双基教育”的目的是一致的。基础知识（概念记忆与命题理解）
扎实；基本技能（证明技能与运算技能）熟练。绵延千年的科举：基本功扎实、知识的记忆、八股文的写作；重视操作技能
：熟能生巧。数学教育改革与创新人才培养四、还缺少什么？根据情况“预测结果”的能力；根据结果“探究成因”的能力。
拉普拉斯：甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。庞加莱：数学推理的性质是什么？真是我们通常
所信为演绎的吗？把它仔细分析一下，可知并不是如此，数学推理在一些情况下含有归纳推理的性质。数学教育改革与创新人才培养现代归
纳推理来源于培根，他在《新工具论》认为就“帮助人们寻求真理”而言，三段论的“坏作用多于好作用”。休谟利用这个思想研究了因果关系
，已经成为现代科学的动力。穆尔在他的著作中系统地总结了归纳推理。就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统
计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。特别是，近代广泛使用的蒙特卡罗（计算机模拟）方法。归纳能力为熟
练使用归纳推理的能力。数学教育改革与创新人才培养借助归纳推理可以培养学生“预测结果”和“探究成因”的能力，是演绎推
理不可比拟的。从方法论的角度考虑，“双基教育”缺少归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。与演绎推
理相反，归纳推理是一种“从特殊到一般的推理”。数学教育改革与创新人才培养归纳：在一个集合中，如果观察到的每一个元素都具
有某一个性质，则猜想这个集合中的所有元素都具有这个性质。高斯：用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。（哥德巴赫猜想、费尔
玛大定理）五、如何培养归纳能力数学教育改革与创新人才培养代数的例子在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共1
6个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？这是“鸡兔同笼”的问题，但是椅子和凳子相差一条腿，有利
于学生进行“尝试”。210凳子数4×14﹢3×2﹦62144×15﹢3×1﹦63154×16
﹦6416腿的总数椅子数数学教育改革与创新人才培养到了高年级，可以仍然用尝试的方法列出方程：这样，合题意的方程为
4×a﹢3×(16-a)=60。16-a=216-a=116-a=0凳子数4×a﹢3×(16-a
)=62a=144×a﹢3×(16-a)=63a=154×a﹢3×(16-a)=64a=16腿的总数椅子数数
学教育改革与创新人才培养毕达哥拉斯发现了和谐、天籁之音（cosmom)。类比：发现具有性质ABC的事件都
具有性质D，设想所有具有性质ABC的事件都具有性质D。开普勒：我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示
自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的。《数学课程标准》的若干思考这样的问题答案是无所谓对错的，只要分类的结果与分类
的标准一致就可以。可以让学生感悟到，标准是可以自己订的，这种思维是创新的根本思维。教师要帮助学生理清思路。可以给小学三年级以下
的学生出这样的题目：自己选择某一个标准将全班同学分成两类，并与同学交流分类的标准和分类的结果。集合：具有同样性质的元素组成
的类。分类：抓住事物的本质特征（罗素悖论）。数学教育改革与创新人才培养对于三年级以上的学生，问题可以提得更为深入一些：
如图所示，桌上散落着一些扣子，请同学们想一想可以把这些扣子分成几类？分类的标准是什么？然后，数一数每一类各有多少颗扣子，
并用文字、图画或者列表等方式把结果纪录下来。这个问题要复杂一些，因为可以逐渐加多分类的标准，把类分得更细。开始可能不一
样，结果会“殊途同归”。数学教育改革与创新人才培养这个问题就十分复杂了，涉及到不同年龄段以及这个年龄段的居民所占比例
；涉及到不同文化背景及其所占比例；涉及到不同类型的人看电视的时间；涉及到需要调查的人数，等等。但是，这个问题的核心还是在于标准
和结果的关系。某电视台希望了解本地区居民喜欢电视节目的类型，请同学帮助设计一个调查方案。学生通过类似这样的贯穿始终
的训练，是能够逐渐领悟归纳的思想的。到了初中阶段，问题就可以更复杂了：数学教育改革与创新人才培养地球是圆的。行
星运行的轨道是椭圆的。万有引力。抽象1.抓住问题的本质，用简洁的语言描述。2.用概念与符号描述。
数学教育改革与创新人才培养开普勒《世界的和谐》行星沿着以太阳为一个焦点的椭圆形而运动（焦点定律）。行星在相等的时间里描绘
相等的面积（面积定律）。行星沿轨道运行一周所需要的时间的平方与该行星和太阳平均距离的立方成正比（正比定律）。统计学与数学的区
别统计学广泛用到数学，包括概念、符号、运算法则等。但是，数学只是统计学的工具之一，统计学的研究
需要各个领域的专业知识，可以利用各种工具，比如DataMining、Bayes网等。因此，统计学与数学是有本
质差异的，只有清楚这些差异，才可能使统计学有较好地发展。研究方法数学统计学对与错好与坏评价方法定义和公理出发
点归纳演绎数据一所小学的学生，对于香港男演员，不是喜欢周星驰就是喜欢成龙。用x表示学生，用y=f(x)表示学生x所喜欢的演员。用0表示周星驰，用1表示成龙。函数、概率、统计的表示如下。举例1函数关系：一至三年级的同学都喜欢周星驰，四至六年级的同学都喜欢成龙，可以表示为：y=0，当x=1，2，3时；1，当x=4，5，6时。概率关系：一至六年级的同学中，有1/3的同学喜欢周星驰，2/3的同学喜欢成龙，可以表示为：PY=0=31PY=1=32统计关系：在学校随机调查了n名同学，有k名同学喜欢周星驰，则学生喜欢周星驰的概率的估计是：kn |
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