演绎推理要关注命题所蕴含的数学思想、把握数学内容的本质。比如课标。空间与图形→图形与几何。统计：数据分析观念。比如方程。我们把含有未
知数的等式叫做方程。等式是符号表达，有两种表达功能：等量、递推。
表达等量关系的等式：加法、方程。表达递推关系的等式：2x–x=x。
方程是含有未知数的等式。比如函数。x与y为两个变量，如果x的值确定，必有唯一的一
个y值与之对应，则称y为x的函数。初中讲变量说、高
中讲对应说。比如三角函数。初中在直角三角形中，高中在单位圆中。归纳推理要注重培养数学的直观数学的结果是看出来
的、而不是证出来的。直观中蕴含着智慧，不是“教”出来的、而是“悟”出来的思维方法的
确立是经验的积累。要有意识地创设出合理地教学情境，让学生感悟。想象结论（小学：空间想象力；初中：角平分
线）归纳结论（小学：先乘除后加减；初中：平方差公式）类比结论（小学：乘法与除法分配律、交换律）验证结
论：演绎推理2.落实素质教育、提高数学素养所有学科小学：浓厚的学习兴趣、良好的学习习惯、良好的身心素
质中学：向上的精神、学习的兴趣、创造的激情、社会的责任感数学学科精神：勤于思考、敢于质疑、统筹规划、一丝不苟
（习惯）能力：知识技能+思维方法（现在的四基）感悟基本思想：抽象、推
理、模型积累基本活动经验：思维、实践素养：是重要的、非显性的，需要创新教
学、创新评价与课程目标“四基”关联：分析问题、解决问题的能力+发现问题、提出的能力发现问题：与创新意识关系
密切，勤于思考、敢于思考。提出问题：与创新能力关系密切，数学视角、数学思维。代数发现问题：课标例28利用计算器计算
15×15，25×25，……,95×95，探索规律。提出问题：课标例50利用公式证明例28所发现的运算规律。
(a×10+5)2=a×(a+1)×100+25拓展问题：尝试计算15×25，25×35，……几何发现问
题：三角形周长给定时，是否存在面积最大的三角形？四边形？五边形？……提出问题：多边形面积给定时，正多边形面
积最大。证明正三角形：海伦公式、几何平均小于算术平均。周长为a+b+c=p，海伦公式
（秦九韶三斜求积术）s2=p(p-a)(p-b)(p-c)令A=p
-a,B=p-b,C=p-c,几何平均小于算术平均ABC≦[(A+B+C)/3]3=(
p/3)3拓展问题：周长给定的所有图形中，圆面积最大。圆是对称图形的终极、数学的美。函数、概率、统计的
区别某一小学的男同学，对香港男演员，不是喜欢成龙就是喜欢周星驰。设：成龙=1，周星驰=0。函数：已知1
-3年级喜欢周星驰，4-6年级喜欢成龙。f(x)=0,x=1,2,3
;=1,x=4,5,6.概率：已知喜欢周星驰1/4，喜欢成龙3/
4。p(y=0)=1/4，p(y=1)=3/4.统计：随机调查n名同
学，喜欢周星驰m名同学。估计p(y=0)=m/n.随机抽样：避免系统误差
；避免人为因素。误差模型x=μ+ε.估计μ.抽取n个样本，得到
x1=μ+ε1，……
xn=μ+εn.等号两边相加得到x1+…+xn
=nμ+ε1+…+εn，因为是随机抽样：ε1+…+εn=0，用样本平均估计：μ
=(x1+…+xn)/n.康德（Kant,1724-1804）人类的一切知识都是从直观开始，
从那里进到概念，而以理念结束。欧拉（Euler,1707-1783）今天人们知道的数的性质，几乎都是由观察发
现的，早在严格证明其真实性之前就被发现了，甚至到现在，还有许多关于数的性质是我们熟悉而不能证明的，只是通过观察使我们知道这些性质。
……这类知识是通常所说的归纳获得的。波利亚（Polya,1887-1985）一位名副其实的科学家应致力于从
已知的经验中引出最正确的信念来，并为了建立关于某个问题的正确信念而积累最正确的经验。科学家处理经验的方法，通常称为归纳法。爱
因斯坦（Einstein,1879-1955）想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切
，推动着进步，并且是知识进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。卡尔文（Calvin）我曾经对一群
高智商的人做过一次餐后讲演，虽然每一位听众在智商的测试中都得到高分，但他们中的一位想象力之差实在令我惊诧。那时我突然意识到，以前我
一直以为智商与想象力是并行的，……其实，智商只能度量那些普遍理解为智力行为的某些方面，本质上并不包括对计划能力的测试。(2
+3)×3=5×3=152+3×3=2＋9=11？第一个实例：操场上有一队同学，每行2名男同学、3名女
同学，共3行，问操场上共有多少同学？从头想问题：操场同学数=每行同学×行数第二个实例：操场上原有2名同学
，又来了一队同学，每行3名同学，共3行，问操场上共有多少同学？从头想问题：操场同学数=原来同学＋后来同学
混合运算是讲两个以上的故事，括号、先乘除是在完成故事。先乘除后加减高中课程标准的修改基础性与选择性（不是
知识的选择而是人生志向的选择）理科、文科、社会、艺术、大专不是知识多少的差异，需要的基
本数学素养。理科：必要的人文素养（基本知识、形象思维、辩证思维）文科：必要的数学素养（基本知识、逻辑思维）社会：必要的数学素
养（基本知识、逻辑思维、模型思想）艺术：必要的数学素养（基本知识、多样与和谐、对称与周期）大专：必要的数学素养（基本知识、直觉
判断、动手与想象力）乘法分配率（a＋b)×c=a×c＋b×c除法分配率？（a＋b)÷
c=a÷c＋b÷c乘法交换律a×b=b×a除法交换律？a÷b=b÷
a化简，令b=1，
变化a得到：22–1=4-1=3
32–1=9-1=842–1=16-1=15
52–1=25-1=2462–1
=36-1=35因为8=2×4，15=3×5，24=4×6，35=5×7可以想到a2–1
=(a-1)(a+1)，然后考虑一般的b。(a-b)(a+b)得到公式：a2–b2=
数学基础教育的愿景一方面保持“数学双基教学”合理的内核，一方面添加“基本思想”和“基本活动经验”
，出现既有“演绎能力”又有“归纳能力”的培养模式。就必将会出现“外国没有的我们有、外国有的我们也有”的局面，那一天，
我们就能自豪地说，我国的基础教育领先于世界。谢谢各位！?2008史宁中第3讲初中数学教师素养中西部
农村义务教育学校教师国家级远程培训第3讲中西部农村义务教育学校教师国家级远程培训?2008史宁中
数学教育与数学教育研究的未来发展东北师范大学
史宁中一、数学教育研究如何走向科学二、基础阶段数学教育发展愿景一、数学教育研究如何走向科学
世界上的学问分两种：科学与艺术科学：结论是一般的（与时间、地点、人物无关）艺术：结论
是个性的（因时间、因人、因地而异）世界上的思维分三种：形象思维、逻辑思维、辩证思维
形象思维：依赖直觉（观察、联想、想象）逻辑思维：重视推理方式、重视命题关联（等价、传递）
辩证思维：否定同一律、强调矛盾的对立统一（周易、老子）学科分类自然学科：科学
（数学、物理、化学、生物、地质、天文）逻辑思维+形象思维人文学科：艺术（语言、文学、
历史、美术、音乐、影视）形象思维+逻辑思维+辩证思维社会学科：艺术+科学→
科学+艺术（心理、经济、金融、社会、教育、政治、管理）
辩证思维+形象思维+逻辑思维→辩证思维+逻辑思维+形象思维教育研
究走向科学需要一个前提和两个要素一个共同前提教育理念+教育伦理尊重认知规律、尊重教育规律、尊重受教育者的
人格人性现代教育伦理基于科学心理学+认知神经科学唯心（笛卡尔-莱布尼茨-康德）+唯物（培根-洛克-休谟）
儿童教育：使用大脑还是开发大脑？教育是社会的需要还是生存的需要？是知识灌输还是智慧启迪？（关
于教育的哲学，《教育研究》1998年10期）教育应当充分彰显人与动物的区别：想象能力、抽象能力 （试论教育的本原，《
教育研究》2009年8期）两个要素：1.清晰研究的对象，建立共同的研究起点。不同的
话语体系下的争论是无意义的（课标修改）。2.建立科学性合理的评价准则。评价准则可以不同，但要清楚
所依赖于教育伦理、教育理念是什么。3.共同的思维过程（科学）。公理、同一律、矛盾律、排中律、三
段论。举例：10国基础教育数学教材难度比较。第一个问题：什么是教材难度？涉及要素：广度（知识含量，包括习题）
深度（逻辑层次，区分概念与命题）表达（描述方式，包括例题）时间（
单位时间授课进度）教材难度：广度、深度、表达、时间的函数（线性、对数线性）第二个问题：基本研究单位是什么？知识团
：具有明确逻辑关系的知识点的集合。函数、立体几何、三角函数、集合第三个问题：共同的评价准则是什么？
知识团包括若干知识点（广度）知识点分两类：知识和技能（传统的双基）知识：概念和命题概念的深度分三个层次：白描、归纳、抽象。
以三角形的概念为例。白描：画出三角形，定义“这样的图形为三角形”。归纳：画出一些包括三角形在内的多边形，定义“由三条
边构成的多边形为三角形”。抽象：直接给出定义“由三条线段首尾相接所组成的平面图形为三
角形”。把命题的深度分为三个层次：了解、理解（掌握）、应用。以命题“三角形内角和为180度”为例。了解：知道“三角形
内角和为180度”。理解：还知道“一个三角形不能有两个钝角”、“四边形的内角和为360度”。应用：还
知道“三角形外角和为360度”、“所有多边形外角和都为360度。教育质量监测，取消计算速度的要求：数学是需要
思考的。二、基础教育阶段数学发展愿景1.落实课程标准，把握“四基”教学改变传统理念：传授知识为本（教）→
学生发展为本（学）重视认知规律：如何认识3和4（如何抽象）荷叶上的青蛙（
思维过程）感悟数学思想：数学的产生与发展所依赖的思想学习过数学与没有学习数学的思
维差异抽象、推理、模型（终身受益）积累活动经验：思维、实践创新性人才依赖三个要
素：知识、机遇、思维方法就学科教育而言，一个良好的思维方法的养成，依赖于学科的基本思想，学
科的基本活动经验物理学：描述自然现象自由落体：亚里士多德，为什么会有引力，
伽利略，加速度g的函数，s=vt=gt2/2建立数
学模型，通过观察或者实验验证化学：表述物质结构原子：不可切割（古希腊，中国《墨经
》）化学变化的最小单位（道尔顿）建立结构模型，通过测试或者实验
验证语文：描述事物与心情听、说、读、写；不要急于写作文（农民工调查）理解别人说了
些什么，知道自己说了些什么形象的抽象，心理的抽象，事物的想象社会：规范行为、给予自由、规范自由
两个社会契约：伦理与法律思想政治的范围在两个社会契约之间哲学：寻求终极形态
伦理学（人际关系）、形而上学（思维与存在）、逻辑学（思维形式）、政治学（社会管理形态）、
美学（心理与感官）感悟数学思想：不能脱离基础知识和基本技能概念的教学：抽象情境教学的目的，不光是知道数学与生
活的联系，更本质的教学目的是感悟数学的抽象。抽象：对应与定义。自然数的认识对应（起名）
□□←→2，□□□←→3，定义（皮亚诺算术公理：自然数与加法）2=1+1，
3=2+1，4=3+110000的认识：数与数位教科书解释加法：□□□←□，因此3+1=
4。为什么？由对应到定义：加法的认识□□□□□□□哪一组多？
□□□←□□□□□哪一组多？3+1=4
感悟“加”的意义，感悟“相等”的意义由对应到定义：负数的认识教科书有两种方法
认识负数：减法、相反数然后用生活中的例子说明负数的存在由对应的方法认识负数，绝对
值则完全是定义出来的。改编于《九章算术》中《方程》篇第八题。汉朝的时候，有一个人做了三次牲畜买卖，收支
情况如下：第一次卖牛收入24钱，卖羊收入25钱，买猪支出39钱，合计收入10钱；第二次卖牛收入
36钱，买羊支出45钱，卖猪收入90钱，合计收支相当；第三次买牛支出60钱，卖羊收入30钱，卖猪收入24
钱，合计支出6钱。如何表达？文字形式牛羊猪合
计第一次收入24收入25支出39收入10第二次收入36支出
45收入90收入0第三次支出60收入30收入24支出6
数字形式牛羊猪合计第一次24
25-3910第二次36-4590
0第三次-603024-6负数
与正数：数量相等、意义相反。绝对值：表示数量。感悟数学思想命题的教学：推理。命题是一个提供对错判断的陈述句。数学命题必须提供
判断：这个三角形很白。数学命题只能提供判断：三角形内角和180度。三角形内角和120度。数学命题大体有两种形式性质命题（一个对象）：…是…三角形内角和是180度。关系命题（多个对象）：如果…那么…两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。逻辑推理：命题之间具有传递性有逻辑凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。无逻辑苹果是酸的。酸是一种味道。苹果是一种味道。演绎推理：命题内涵由大到小、由一般到特殊。代数的基本事实因为等量的等量相等，如果a=b、b=c，那么a=c。因为等量的等量相等，如果a＞b、b＞c，那么a＞c。归纳推理：命题内涵由小到大、由特殊到一般。哥德巴赫猜想。庞加莱猜想。?2008史宁中第3讲初中数学教师素养中西部农村义务教育学校教师国家级远程培训第3讲中西部农村义务教育学校教师国家级远程培训?2008史宁中 |
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