返朴归真—历史对数学教育的启示中科院数学与系统科学研究院李文林2013年8月济南《义务教育数学课
程标准》（2011版)关于义务教育数学的课程目标提出了基本的纲领性要求:“人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的
发展”.什么是良好的数学教育?这是理解新课标关于义务教育数学的课程目标的核心问题.我想从数学发展的历史来谈谈对这个问题的
认识.I.数学的历史—以两大倾向为线索统观数学的历史将会发现，数学的发展包括了两大主要活动：创造算法、解决问题和演绎推理
、证明定理。算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向；定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾
向的脊梁。算法倾向—算法创造活动(特别是与解方程
相关的算法)演绎倾向—定理证明活动
我们将会发现，数学的发展呈现出算法倾向与演绎倾向交互繁荣、交替取得主导地位的螺旋式上升过程。下面就以此线索略微展开地
介绍古往今来数学的发展。一、原始算法积累时期这时期形成的初等算法，包括整数与分数的算术运算规则，简单代数方程(包括一元二次
方程)的解算，以及各种简单几何图形的面积、体积计算公式等。这一过程主要发生于古埃及、古巴比伦及古代印度与中国（史称河谷文明）。这些
地区保存下来的古代文献(包括埃及纸草书、巴比伦泥版文书和中国商代甲骨文献等)，记载了大量正确但未加证明的算术、代数及几何公式，并且
这些公式与法则往往是用程序性很强的语言来表示的。美国计算机专家Knuth曾撰文分析古巴比伦数学的算法特征，并指出关于古代中国和印度
的算法内容更为丰富。在这一时期，几何学作为独立的学问并不存在，而仅仅是一种应用算术而已。巴比伦泥板文书六十进位值制记数
法,方程—一元二次方程算法,面积,体积计算,句股定理计算十进制记数,分数运算,句股定理,二、希腊演绎几何时期古代实用算
法积累到一定阶段，对它们进行系统整理与理论概括必然形成趋势，但这一任务并不是由早期河谷文明本身来担当的。向理论数学的过渡，是
大约公元前6世纪在地中海沿岸开始的，历史学家常称之为“海洋文明”，“海洋文明”带来了初等数学的第一个黄金时代，即以演绎几何为主
的希腊数学时代。欧几里得是这方面的最终集大成者,他在公元前300年左右，建立起人类历史上第一个公理化体系。欧几里得<原本
>公理体系13卷119条定义5条公理,5
条公设465条定理1482第一个拉丁文印刷本(威尼斯)1607中译本<几何原本>(徐光启,
利玛窦)阿基米德(公元前287－前212)阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190）希腊数学之花在公元初即趋凋谢。亚历山
大城的学术著作几经兵火，焚毁殆尽。欧几里得的《原本》原作亦失传，个别经他人修订过的转抄本被逃亡学者携至拜占庭帝国的首都才得以幸存，
到很晚才重新唤起欧洲人的重视。希腊几何的演绎精神，也随着整个希腊文明的衰微而隐没不彰。三、算法的繁荣数学史上继希腊几何兴盛时
期之后是一个漫长的算法繁荣的时期。按本质来讲，这个时期一直延续到17～18世纪，其间又分为两个在地域和程度上都不同的发展阶段。
1中世纪的东方算法中世纪时，算法精神在中国和印度得到了高度发扬。此时中国和印度的算法时代比原始算法时期有质的提高。这时期所创
造的算法，不都是简单的和平易的算法了，有许多算法即使按现代标准衡量也达到了很高的水平。这里仅以我们熟悉的中国数学史为例。从汉代以来
，中国数学家创造了解多元一次方程组的“遍乘直除”算法，计算圆周率的割圆术算法；隋唐天算家创造了内插公式“招差术”算法；秦九韶创造了
解一次同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”算法，以及宋元之际李冶、朱世杰等创造的设未知数列方程的方法（“天元术
”、“四元术”）及相应的多元高次方程组消元算法等。线性方程组与“方程术”中国古代最重要的数学经典《九章算术》（约公元前2世纪）
卷8的“方程术”，是解线性联立方程组的算法。以该卷第1题为例，用现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次联立方程组：《九章
》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x,y,z的系数和常数项排列成一个（长）方阵：“方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本
例中演算程序如下：用右行的系数（3）“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与
左行的系数化为0。反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出方程。“遍乘直除”算法，实质上就是我们今天所使用的解线性联立方程组的消
元法，以往西方文献中称之为“高斯消去法”，但近年开始改变。这些算法所表达的数学真理有些在欧洲要到18世纪以后运用近代数
学工具才能重新获得：高次代数方程数值求解的“正负开方术”（秦九韶程序），与1819年英国数学家W.霍纳重新导出的“霍纳算法”基
本一致；多元高次方程组的系统研究在欧洲也要到18世纪末才开始在E.别朱等人的著作中出现；解一次同余组的剩余定理（中国剩余定理
）则由欧拉与高斯分别独立重新获得；朱世杰的“招差术”（高次内插公式），实质上已与现在通用的牛顿-格列高里公式相一致这类复杂
的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则了，而是高度的概括思维能力的产物，这种能力与欧几里得几何的演绎思维风格截然不同，但却在数学
的发展中起着完全可与之相媲美的作用。东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯地区传播到欧洲，对近代数学的兴起产生了深刻影响。2无穷小
算法时期算法精神在文艺复兴之前就通过阿拉伯人传播到欧洲，被欧洲学者所吸收，并结出了最丰硕的成果，这就是作为近代数学两大标志的解
析几何和微积分的诞生。解析几何首先来看解析几何的诞生。如果我们去阅读笛卡儿的原著，就会发现贯串于其中的彻底的算法的和代数的精神
。《几何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语，以便使自己变得更加聪明”。笛卡儿的
《几何学》是他的哲学著作《方法论》的附录。而笛卡儿在《方法论》中曾明确表现出他对经院哲学特别是亚里士多德三段论法则的怀疑与批判，认
为三段论法则不能帮助我们发现未知的事物.笛卡儿在另一部生前未公开发表的方法论著作<指导思维的法则>中说得更明白,他批判“古人的几何
学所思考的只限于形相;近代的代数学则太受法则与公式的束缚”;主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西”,“互相取长补短”。这终
于导致了笛卡儿解析几何的诞生。。微积分从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果。有学
者把这些问题概括为四大类：（1）决定物体的瞬时速度（2）求极大值与极小值（3）求曲线的切线、曲率（4）求物体的重心及相互引
力、面积与体积计算、曲线求长等。从16世纪中开始100多年间，许多大数学家（开普勒、卡瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯…）都致
力于获得解决这些问题研究并创造了许多适用于不同类问题的特殊算法。牛顿与莱布尼茨的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微
分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系，完成了微积分的制定。因此，综上所述，作为近代数学发生的标志的解析几何与微积分，从方法论角
度看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。当然，17～18世纪的无穷小算法与中世纪算法相比绝不可同日而语，而是有了质的飞跃。无论
是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有认真的演绎推导。牛顿的流数术在逻辑上的缺陷是众所周知的。对当时的学
者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世纪。L.欧拉(1707-1783)18
世纪数学家们创造的一些分析方法，如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是作为有效的算法而广泛地被数学
家们所采用，但却充满了争论。正如冯·诺依曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认
为是第一流的。并且反过来，要是当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认他们的新算法的合理性，那恐怕就不会有今天的微积分和整
个分析大厦了。四、现代数学与演绎倾向数学中重大真理的发现往往是探寻新算法的结果，微积分的建立为此提供了令人信服的例子.算法
的积累同时也总是形成进一步演绎推理的基础。正如古代埃及、巴比伦的算法引导了希腊的演绎几何，从开普勒、费马到牛顿、莱布尼茨的无穷小算
法的发展也引导了一个演绎数学的新的黄金时代。这个新的发展时期从19世纪20～30年代发其端，70年代以后进入全盛时期而一直绵延至今
。这个新的演绎时代与古希腊的一个显著的不同，是演绎方法的运用远远超出了几何学而扩展到其他领域.与微积分为代表的无穷小算法
时代不同，这个新的演绎时代发展的动力，是数学中内部矛盾的积累。事实上,数学的发展有两大方面的动力对自然的探
索,生产实践与社会需求对现实世界的相对独立性--自身逻辑需求18世纪数学内部矛盾的积累(1)微积
分基础的严格性(2)高次代数方程的根式可解性(3)欧几里得第五公设的可证性
分析的严格化首先是分析。如前所述，微积分运算开始并无严格的逻辑基础。到18世纪末，这一知识领域的内部矛盾已
积累到如此程度，使数学家们迫切需要并有可能用演绎的方法对以往的学说进行系统的整理，于是就导致了从柯西极限论到魏尔斯特拉斯算术化和康
托尔集合论这样贯穿了整个19世纪的分析严格化运动。尤其是魏尔斯特拉斯之后，现代分析几乎完全改变了牛顿、莱布尼茨乃至欧拉、拉格朗日时
代的风貌而成为抽象的演绎科学了。代数的抽象化如果说17～18世纪将代数算法运用于几何而发展出解析几何，那么19世纪则反过来将几
何演绎运用于代数而产生了抽象代数。这个倾向是由代数方程的根式可解性问题引发的。1846年，刘维尔的数学杂志第一次正式发表了伽罗瓦关
于代数方程根的研究工作。这是群论的开始，从而也是抽象代数的开始，而现代抽象代数学可以说是从头至尾浸透了演绎的精神。伽罗瓦发现的群
的概念比他借以解决的代数方程根式可解性问题远为重要和影响深远。伽罗瓦的群是具体的（方程根的置换的全体构成的群），后经其他数学
家推广为抽象群和更一般的代数结构（域，环，等等）：一个集合A,及其元素间的一个或几个运算，满足用公理定义的一些性质。代数学
的新面貌研究方程和具体的数的运算?研究抽象集合(群,域,等等)元素
(广义的数)的运算规律抽象代数在20世纪发展为数学的核心领域。几何学的非欧化19世纪开辟的新的演绎数学
，在几何领域本身更是远远超越了希腊时代。直到18世纪初，几何王国一直是欧几里得几何一统天下，欧几里得几何一向被看作演绎科学的典范。
但逐渐地人们发现，这个号称严密的演绎体系竟然也存在漏洞。对平行公理的长期的逻辑考察孕育了高斯、罗巴切夫斯基与鲍耶的新几何学。
三位数学家都证明了平行公理不能是其它公理和定理的推论，用数学家的术语就是说，平行公理是独立的！在欧几里得公理系统中用其否命
题代替（过已知直线外一点能作至少两条直线与已知直线平行），同时保持所有其它公理不动，几位数学家推导出了全新的几何,称为非欧几
何，这个名字是非欧几何发明人之一高斯起的，但高斯没有公开发表他的发现。19世纪中叶以后,通过否定欧氏几何中这样或那
样的公理,进而产生了形形色色的新几何.非欧几何的发明打破了欧几里得的一统天下,引起了几何领域的巨大变革，展现出无限广阔的前景.
高斯波约罗巴切夫斯基19世纪数学发展中
的上述三个重要趋势——分析的严格化、代数的抽象化以及几何的非欧化，汇合成强大的潮流，使数学中的演绎倾向在沉沦近两千年之后不仅东山再
起，而且又迅速占据了统治地位。这三大成就都是数学内部矛盾推动的结果，因此，数学摆脱了对自然以及力学的依赖而宣告了真正的独立，这就是
所谓纯数学的时代。在这种独立运动中，演绎方法始终是中流砥柱。至此，我们已经可以比较清楚地看到，数学发展中两种倾向的交替繁荣与互动
过程。至于说20世纪，至少是到前半世纪为止，数学中演绎的倾向是有增无减，只是从40年代中开始，局面已有所变化。这主要是由于电子计算
机的发明及应用而引起的。电子计算机极大地提高了算法传统的地位，预示着一个算法倾向的新时代。20世纪数学的发展是空前的，情况也是复杂
的,我们不作详述。这里只是强调一下:19世纪演绎数学三大成就,在20世纪都获得了重大应用.非欧几何与广义相对论罗巴切夫斯基:坚
信他的新几何总有一天”可以象物理学一样用实验来检验”;高斯则称他的几何为“星空几何”.20世纪爱因斯坦建立广义相对论过程中
,为寻求引力理论的数学结构曾徘徊徬徨了3年时间，最后借助以黎曼几何为基础的张量分析(绝对微分学)，导出了广义相对论的引力场方
程.非欧几何终于有了现实世界的原型.爱因斯坦拉东变换与CT扫描仪1979诺贝尔医学生理学奖
A.M.Cormack,G.N.Hounsfield群论与基本粒子理论两位数学家的对话
—D.Mumford致丘成桐(摘录)对于我和其他许多人来说，Panani似乎是一位重量级人物，他将印度科学家引
导到算法倾向，特别是递归算法，而不是证明的技能。事实上，印度哲学家拒绝接受排中律。作为中国数学的亮点，我想应该强调祖暅关于球体积
的计算以及李冶、朱世杰关于等价结式的发明。II.历史的启示—理解良好的数学教育我们已经比较清楚地看到，数学发展呈现两种倾向的交
替与互动。对数学的发展而言，算法倾向与演绎倾向都起着不可或缺的作用，二者此起彼伏，却又相辅相成。正如吴文俊院士指出的：数学发展的这
两种主流“对数学的发展都曾起过巨大的作用，理应兼收并蓄，不可有所偏废”。从教育的角度看,数学发展历史上的两大倾向,揭示了数学作
为人类文化的重要组成部分,它所具有的本质特征,从而帮助我们认识数学在培养人的思维能力方面的特殊文化功能,进一步凝炼地理解良好
的数学教育最本质的要素.关于数学的本质，我想认识数学的本质,最关键的就是要认识数学与人类其它
文化领域的区别与联系。说到数学最本质的特点,人们首先会说到它的抽象性。但抽象性并非数学独有，数学的抽象不同于其
它科学之处是在于，它舍弃了事物的其他一切方面而仅保留数量关系和空间形式。数学的抽象从数与形等原始概念的形成中发其端，经过一系列阶段
而达到了现代数学的程度。现代数学研究各种可能的、抽象的数量关系和空间形式，以揭示和描述现实世界或数学自身的抽象世界所具有的特定关系
与结构。这样就产生了诸如群、环、域、范畴，无穷维空间、分形几何、拓扑空间、微分流形、随机过程、计算复杂性，…等等层出不穷的高度抽象
的概念或结构，表征着现代数学各个领域的前沿。以上是就数学研究对象而言。相应地，也许更重要的是：数学的抽象反映
到思维方式上，则赋予其对于人类社会的一项重要的文化功能，就是培养发展人的思维能力特别是理性思维能力。培养思维能力
不能说是数学独有的功能，人们也可以并需要通过其他知识部门的学习和实践来培养自己的思维能力。问题的焦点是：什么是数学思维？数学
思维在培养发展人的思维能力方面与其它学科有何区别？有何特殊意义？数学的思考方式包括很多方面，计算、证明、归纳、类比、建模（
建立模型）等等。但仔细考量，与人类其它知识领域相比较，数学思维最基本的两大方面是精确的定量化方法和严密的逻辑推理。自古以来，数学追
求解决问题的一般算法。从初等的三角形面积算法到描述各种自然和社会现象的复杂方程的解算，从简单的数据分析到现代统计推断，定量化的方法
已经深入到各行各业。另一方面，数学运用特有的逻辑手段来组织知识，使之系统化、条理化和严格化；数学运用特有的逻辑证明来达到确定无疑
的结论，提供正确性的标准。这种严密的逻辑论证方法已超越数学自身的范围，日益渗透到其它知识领域如物理学、经济学甚至政治学中。数
学思维区别于其它学科的上述特征，质言之，可以用两个字来概括，就是：“算”(构造算法,实施算法)与
“证”我们前面关于数学发展的历史分析恰恰充分反映了数学作为一门独立的知识领域所具有的这种品
质与特征。综上所述，我想强调的是：数学区别于其它学科的两大特征，赋予数学以无可比拟的精确性和严密性，使数学在培养人的理性思
维能力方面发挥着无可替代的作用。数学思维方式对于从事各种职业的公民在自己的岗位上获得成功与发展都是重要的智力保障。正因为如此
，数学一直是传统教育的重要组成部分，并将继续成为培养有素养的现代公民和各个领域的创新人才的基础教育科目。当前,我国的教育改
革正在向纵深推进,《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出了“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的
数学教育目标。对于什么是“良好的数学教育”已经有多方面的解读。而了解数学的本质、特征和价值，对于理解并实现基础教育数学课程的基本目
标，具有根本的意义。我今天的发言是想强调数学发展的历史倾向所反映的数学特征，在某种程度上决定了其在人类文明中的地位，同时也决定了其教育功能。当然，数学是一个内涵极其丰富的领域，数学教育是一个多元的复杂过程。但事物有时需要返朴归真，在我们讨论的场合，所谓“朴”与“真”，应该就是数学的本源特征，它们提供了实现数学教育的基本目标--“良好的数学教育”的坐标。牢牢把握基本坐标，我们的数学教改就会少一些摇摆反复，我们的数学教育就会稳步地走向实现“良好的数学教育”的未来！伽罗瓦(E.Galois,1811-1832)莱茵德纸草书(1650B.C.)(大英博物馆)古埃及莱茵德纸草书(84个数学问题)十进记数法,算术运算—加法为主,分数—以单位分数为基础,一次方程,面积,体积计算—周公测景台(河南登封)欧几里得，约公元前3001642.12.25(儒略历)1661入剑桥大学;1665.8—1667春,家乡躲避瘟疫;1667.10三一学院成员;1703皇家学会会长1727逝世莱布尼茨（1646-1716） |
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