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2015届高三“四校”联考数学（理科）试题
命题学校颍上一中考试时间2015年5月2日
试题说明：本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.）
1.设是虚数单位，是复数的共轭复数.若复数满足，则（）
A.B.C.D.
2.设集合,B=,则子集的个数是（）
A.B.C.D.
3.已知命题：“存在，使得”，则下列说法正确的是（）
A.是假命题；“任意，都有”
B.是真命题；“不存在，使得”
C.是真命题；“任意，都有”
D.是假命题；“任意，都有”
4.等差数列中，，.若的公差为某一自然
数,则的所有可能取值为()
A．3、7、9、15、100B.4、10、12、34、100
C.5、11、16、30、100D.4、10、13、43、100
5.已知函数，则函数在区间上的零点
个数为（）
A．3B．4C．5D．6
6.如图所示的茎叶图（图一）为高三某
班50名学生的化学考试成绩，图（二）
的算法框图中输入的为茎叶图中的
学生成绩，则输出的分别是（）
A.B.
C.D.
7.已知平面向量，，.要得到的图像，只需将的图像（）
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度Ｄ.向右平移个单位长度
8.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.若直线与圆C相切，则实数的取值个数为（）
A.0B.1C.2D.3
9.设不等式组表示的平面区域为，若函数（）的图像上存在区域上的点，则实数的取值范围是（）
A．B.C.D.
10.设，函数满足，若，则最小值是（）．
A．4B．2C．D．
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置）
11．现有五张连号的电影票分给甲、乙、丙三人，每人至少一张,其中有两人各分得两张连号的电影票，则不同的分法有种（用数字作答）.
12.已知双曲线Ｃ：的离心率为，若曲线
与双曲线Ｃ有且仅有2个交点，则实数k的取值范围.
13.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.
14.如图,在直角梯形中，，,，
.点是直角梯形内任意一点.若，则点
所在区域的面积是.
15.在正方体中，点为正方形的中心.
下列说法正确的是（写出你认为正确的所有命题的序号）.
①直线与平面所成角的正切值为；
②若,分别是正方形,的中心，则；
③若,分别是正方形,的中心，则；
④平面中不存在使成立的点.
三、解答题：已知函数．）求函数在上的单调区间；
（）在ΔABC中，A为锐角，且角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=，,求△ABC面积的最大值.
17．(本题满分12分)
国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数的图像）．每队有３人“成功”获一等奖，２人“成功”获二等奖，１人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．
（）求某队员投掷一次“成功”的概率；
（）设为某队获奖等次，求随机变量的分布列及其期望．
18．(本题满分12分)
已知：函数（）.
（I）求在点处的切线方程；
（II）当时，求函数的单调区间.
19．(本题满分12分)
已知四边形是边长为的菱形，对角线．分别
过点向平面外作3条相互平行的直线
，其中点在平面同侧，，且平面
与直线相交于点，，,连结．
（I）证明：；
（II）当点在平面内的投影恰为点时，求四面体
的体积.
20．(本题满分13分)
设椭圆E:（）过M（2，2e），N(2e,)两点，其中e为椭圆的离心率为坐标原点.
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由.
21．(本题满分14分)
已知数列满足（），，记数列的前项和为，
.
（I）令，求证数列为等差数列，并求其通项公式；
（II）证明：（i）对任意正整数，；
（ii）数列从第2项开始是递增数列.
2015届高三“四校”联考数学（理科）参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C B C B D C A C 二、填空题
11.12.或13.14.15.①②③④
三、解答题
16、解：=.
.…………………3分
（）y==-+1=2.
令得.
令得.
所以在内y=的单调递增区间是,单调递减区间是.…………………6分
（）∵∴.
又∵A为锐角,∴
又∵a=，∴.…………………8分
∴
∴当且仅当b=c=时,bc取得最大值
∴ΔABC的面积最大值为.…………………12分
17、解：（）由题意知：，
………………………….2分
记某队员投掷一次“成功”事件为A，
则……………………………………….5分
（）因为为某队获奖等次，则取值为1、2、3、4.
，，
，…….9分
即分布列为：
1 2 3 4 …………10分
所以，的期望………12分
18、解：由已知，=，.
。
所以，………4分
当时，，
此时
此时，
①、
此时，
②、
此时，
……………１２分
19、解：（I）证明,平面，CF面BDGE
CF//面BDGE----------3分
又CF面ACF,面BDGE面ACF=OP,CF//OP---------------5分
又CF//GDOP//GD-------------6分
（II）VF-ACE=VE-ACF---------7分
BE//CF,VE-ACF=VB-ACF=VF-ABC=SABCOF----------10分
SABC=ACOB=，OF==-------11分
VF-ACE=VF-ABC＝=-------1２分
20、解：（）……5分
（II）假设满足题意的圆存在，其方程为，其中
设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A，B两点
当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为①
联立方程得
要使,需使,即,
所以,②…………………9分
,,所求的圆为,……………10分
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,…………………12分
综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.………………13分
21、解：（I）由得，
所以且，故是以为首项为公差的等差数列.
所以………４分
（II）（i）由（I）知，，要证，只需证.
下面用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立.
②假设当时结论成立，即.
那么，当时，
，即结论成立.
由①②可知，结论对一切正整数都成立.…………………９分
（ii）由，则
.…………………11分
令，且，则，因为，
所以在单调递增，则，即，.
故数列是递增数列.…………………14分
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(图二)
（图一）
(第１３题图)
D
C
B
A
(第１4题图)
(第１7题图)
(第１9题图)
A
B
C
D
F
E
G
O
P
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