9有理数的乘方
1．乘方的意义
(1)乘方的定义
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a叫做底数，n叫做指数，an读作：a的n次幂(a的n次方)．
乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是相同因数，指数是相同因数的个数．
(2)乘方的意义
an表示n个a相乘．
即an＝.
如：(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)表示3个(－2)相乘．
(－a)n与－an的区别
①(－a)n表示n个－a相乘，底数是－a，指数是n，读作：－a的n次方；②－an表示n个a乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作：a的n次方的相反数．
如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作负3的3次方，表示3个(－3)相乘．(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.
－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.
(3)乘方的书写
①一个数可以看成这个数本身的一次方．如5就是51，通常指数1省略不写．
②负数或分数做底数时，应用括号把负数或分数括起来，再在其右上角写指数，指数应写小一点．如(－1)2不能写成－12，2不能写成2.
【例1】填空：(1)式子(－1.2)10表示__________，其中底数是__________，指数是__________．
(2)写成乘方的形式是__________，读作__________．
解析：(1)乘方表示几个相同因数的积，相同的因数是底数，指数即相同因数的个数；(2)把n个相同因数的积写成乘方的形式，相同因数写成底数，本题中是底数，相同因数的个数2013写成指数．
答案：(1)10个－1.2相乘－1.210
(2)2013负的2013次幂
2．乘方运算的符号法则
乘方运算的符号法则
乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算．如：33＝3×3×3＝27.
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数；
③负数的偶次幂是正数；
④0的奇次幂、偶次幂都是0.
任何一个有理数的偶次幂都是非负数，即a2n≥0(n为正整数)；若用n表示正整数，则2n表示偶数，而用(2n＋1)表示奇数，则(－1)2n＝1，(－1)2n＋1＝－1.
【例2】下列说法不正确的是()．
A．(－2)2013是负数
B．－4200是正数
C．0的任何次幂(指数不为0)都等于它本身
D．－1的38次幂等于它的相反数
解析：－4200表示4的200次方的相反数，是负数，故B错误．
答案：B
3．有理数乘方的运算
乘方运算的方法如下：
与有理数的加、减、乘、除四种运算一样，有理数的乘方也是一种运算，其运算的方法是：
①确定幂的符号；
②进行乘法的运算．
对于乘方的理解
①乘方是一种运算，是特殊的乘法(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果．
②因为an表示n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算，即将乘方转化成乘法运算．
4．绝对值与乘方非负性的综合运用
(1)平方、立方及平方的非负性
在an中，若n＝2，则为a2，读作a的2次幂，也读作a的平方；当n＝3时，a3可读作a的3次方，也可读作a的立方．平方、立方是乘方中最常见的．
①根据乘方与乘法的关系可知：正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方等于0.也就是任何一个有理数的平方都是非负数．
②平方等于它本身的数：0,1；立方等于它本身的数：0,1，－1.
(2)绝对值的非负性
任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
(3)非负数的性质
性质：若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0.
比如：若|a|＋b2＝0，则a＝0，且b＝0.
【例3】计算：
(1)(－2)4；(2)－34；(3)3；
(4)2；(5)－；(6)(－1)2014.
分析：根据乘方的意义和符号法则求解．(1)(－2)4表示4个(－2)相乘；(2)－34表示34的相反数；(3)3表示3个相乘；(4)2表示2个相乘；(5)－表示4除以7的2次方的相反数；(6)(－1)2014表示2014个(－1)相乘．
解：(1)(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16；
(2)－34＝－(3×3×3×3)＝－81；
(3)3＝××＝；
(4)2＝×＝；
(5)－＝－＝－；
(6)(－1)2014＝＝1.
【例4－1】下列说法正确的有()．
①负数的平方是负数；②正数的平方是正数；③平方是它本身的数是0和1；④1的立方等于它本身；⑤－1的平方等于它的倒数；⑥任何一个有理数的平方都是非负数．
A．3个B．4个C．5个D．2个
解析：① × 乘方是特殊的乘法运算，两数相乘，同号得正，异号得负，故①，②都为正数 ② √ ③ √ 0的平方等于0,1的平方等于1 ④ √ 1的立方是1 ⑤ × －1的平方是1，－1的倒数是－1，所以不相等 ⑥ √ 0的平方是0，正数和负数的平方都是正数 答案：B
【例4－2】若x，y为有理数，且(5－x)4＋|y＋5|＝0，则2013的值为()．
A．1B．－1C．2D．－2
解析：因为(5－x)4和|y＋5|都是非负数，且(5－x)4＋|y＋5|＝0，所以由非负数的性质得(5－x)4＝0，|y＋5|＝0，即5－x＝0，y＋5＝0.解得x＝5，y＝－5.
所以2013＝2013＝(－1)2013＝－1.故选B.
答案：B
5．有理数乘方规律探究及应用
(1)有理数乘方规律探究
①观察给出的一组数字或式子，分析所包含的乘方运算，结合连续偶数、连续奇数等知识，探究其中的规律．
②根据其规律，按要求进行计算或解答．
(2)乘方的应用
生活中乘方的应用主要是裂变和对折．
①裂变：将某一物体一分二、二分四、四分八、八分十六……像这样以倍增的速度发生变化就是裂变．
裂变规律：裂变一次即原来的数量乘21，裂变两次乘22，裂变三次乘23，…，裂变n次乘2n.
②对折：一张纸对折，对折次数与纸的层数、折痕数、单层纸占整张纸的面积比例之间有一定的关系，具体情况如下表：
次数 1 2 3 … n 层数 2 4 8 … 2n 折痕数 1 3 7 … 2n－1 单面占
的比例 … 【例5－1】我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2，(1011)2换算成十进制数应为：
(101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝4＋0＋1＝5；
(1011)2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝11.
按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是__________．(说明：20＝1)
解析：从例子中可以看出，把二进制数转换成十进制数要通过乘方运算．二进制数的进率是2，右边第一位数字0或1就是十进制中的0或1，右边第二数位代表21，右边第三位代表22，右边第四位代表23，依此类推，相加即可转化为十进制数．所以(1001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝8＋0＋0＋1＝9.
答案：9
【例5－2】面积是128平方分米的一张纸片，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，第三次再将剩下的一半剪去，…，如此下去，剪完第6次后剩下的面积还有多少平方分米？
分析：
剪的次数 剪后剩下部分的面积 第一次 平方分米 第二次 平方分米 第三次 平方分米 … … 第六次 平方分米 解：128×6＝128×＝2(平方分米)．
答：剪完第6次后剩下的面积还有2平方分米．
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