几何概型的常见解法
江苏省宝应中学姚翔
古典概型、几何概型是高中阶段重要的知识点，古典
概型常用枚举法处理，相对较简单，但是几何概型对“测
度”的把握要求较高，常有：长度，面积，体积三种类型，下
面举例说明。
一
、“测度”为长度型
例1：已知等腰RtAABC中，C=90。(图1)(1)在线
段BC上任取一点，求使CAM<30。的概率；(2)在一
CAB内作射线AM，求使CAM<30。的概率。
图1
分析：
(1)中“试验”：在线段BC上任取一点M，“结果”：点
M是等可能的(不是CAM)其测度是线段，所求概率为
IX-CM
一、／3
‘CB3
(2)中“试验”：在LCAB内作射线AM，“结果”：射线
AM(不是)，在CAB内以点为端点的所有射线
集中是等可能的(可以看成以AC为始边逆时针方向等角
速度旋转)，所求概率为尸=等=}
例2：有一车队在公路上行驶，车距20米，车长4米，
车宽2米，车速36km／h。一人从路上以2m／s的速度横穿公
路，问此人安全通过的概率是多少?
分析：人只能在相邻两车间通过，只要考虑人相对相
S2
邻两车的距离即可。
解：以车距加一辆车的车长为研究范围，即：基本事件
“空间”的测度为24米，人可以安全通过的范围是与后一
辆车的距离在(10，20)内，即人安全通过的测度为10米，
所以概率为2l
4
O
=
二、“测度”为面积型
例3：甲乙两人约定在6～7时在某处会面，并约定先
到者应该等候另一个人一刻钟，过时可以离去，求两人会
面的概率。
解：以和Y分别表示到达的约会地点的时刻，则两
人能够会面的条件是k—yl≤15，在平面坐标系中(图2)阴
影部分所示。
图2
两人会面的概率=
0U‘lO
例4：在线段AD上取两点B，C，在B，c处折断得三条
线段，求“这三线段能构成三角形”的概率。
分析：所求三条线段的长度和是定值，所以等可能取
值的线段只能是两条，所求概率与三线段的长有关系。
解：设线段AD的长为z，折断后第一条线段长为，第
二条线段长为Y，则第三条线段长为f．实数，Y，所满
足的条件就是动点M(x，y)所在的平面区域，动点M(，y)
一
活数外学司．高中数学教学一
·解题秘笈·2014年第ll期
满足的条件是：
O
O
O<——r
即
>f一—
x+l—x一，1)y
y+Z．y
所求概率：1
O
0<+v
，(图3)
>
2>2r
f>2
V
＼＼N
＼＼
c
刁＼＼
OB＼x
图3
例5：桌面上有一组相距4cm的平行线，把直径为
2cm的硬币投掷在这个桌面上，求硬币不与任意一条平行
线相交的概率。
解：不妨设桌面长为b，桌面上有n+l条相距4em的
平行线，第一条与第n+l条直线段与桌面边线距离分别为
d，，，桌面宽为4n+d+，从硬币落在桌面上而不掉下分
析，只要硬币的重心(圆点)落在桌面上即可，“硬币落在桌
面上”对应的测度为D=b·(4n+d。+)“硬币不与任意一条
平行线相交”对应的测度为d=b·2n。
所求概率为p=d：2n
例6：(2007海南卷)设关于的方程+2僦+6z=0，(1)
若n是从0，1，2，3，4四个数中任取的一个数，6是从
0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实数根的概率；
(2)若a是从区间[o，3】中任取的一个数，b是从区间【0，2]
中任取的一个数，求方程有实数根的概率。
分析：(1)基本事件有有限个，是古典概型；(2)基本事
件有无限个，是几何概型。
解：(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，
(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，
(3，2)’
方程有实数根A>10得0≥6。
包含9个基本事件，所以概率为JD=—苦=3。
(2)实数o，b，所满足的条件就是动点M(a，b)所在的
平面区域(图4)。
、『解隶n
3×2一×22
所以概率为—～=争
6
2
／3a
图4
三、“测度”为体积型
例7：有一杯2L的水，其中含有1个细菌，用一个小
杯从这杯水中取出0．1L水，求小杯中含有这个细菌的概率。
解：本题是与体积有关的几何概型。
P_=0．05。
四、和其他知识(算法)相交汇
例8：(苏教版必修3第24页例4改编)抛掷枚硬
币，既可能出现正面，也可能出现反面，预先做出确定的判
断是不可能的，但是假设硬币质量均匀，那么当抛掷次数
很多时，根据算法的伪代码(用大于0．5的随机数表示出
现正面，不大于0．5的随机数表示出现反面。)可以计算出
抛掷中出现正面的概率。如果输入n=10000，输出s=5100，
则出现正面的概率为=0_51。
：一…一……………………………’
：S+_0：
：：
Readni_
I
iForiForm1Ton
‘_
IfRnd>0．5The+1i
iEndF。，
f：
：PrintSj
总之，对于概率要分清“基本事件”及“事件总数”，在
高中阶段，当事件数是可数的，即为古典概型，而事件数是
无限的，即为几何概型，几何概型必须分清测度。
(责任编辑：冯光庭)
涪数外司．高中数学教学Ⅲ_
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