点直线与圆的位置关系
如图，已知A、B两点的坐标分别为(－2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，－1)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（▲）
A．3B．C．D．4
如图，⊙的半径为1，点到直线的距离为2，点是直线上的一个动点，切⊙于点，则的最小值是
A．1B．C．2 D．如图，P是⊙外一点，PA是⊙的切线，A为切点，PO与⊙相交于B点，已知∠P=28°，C为⊙上一点，连接CA，CB，则∠C的值为（）
A．28° B．62° C．31° D．56°
C
5(2015?山东东营?一模)如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（）
A． （2，2） B．（2，3） C．（3，2） D．（4，）
答案：C
．?山东济南?网评培训)如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，则直线与的位置关系是
A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能
B
7(2015·江苏无锡崇安区·一模)如图，AB是半圆的直径，点C是的中点，点是的中点，连接交于点，则………………………………………………………………………(▲)
A．B．C．D．2015·无锡市新区·期中）已知⊙O的半径为5，直线l上有一点P满足PO=5，则直线l与⊙O的位置关系是（▲）
A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交
答案：D
二.填空题
1.（2015·江苏常州·一模）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线相切，设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当时，＝▲.
2.（2015·湖南岳阳·调研）如图，Rt△中，，，，是以为直径的圆，如果与相内切，那么的半径长为；
答案：14.
3．如图，以点P（2，0）为圆心，为半径作圆，点M（a，b）是⊙P上的一点，则的最大值是____．；
4.（2015·江西省中等学校招生考试如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B为轴正半轴上一点，点C是第一象限内一动点，且的长始终为2，则的大小的取值范围为．
答案：．命题思路：考查圆的定义与圆的切线性质的运用，培养用动态的眼光分析数学问题的能力．
5.（2015·广东中山·4月调研）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是°．35
.（2015·广东从化·一模）如图5，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，若BG＝1，则△ABC的周长为
6.(2015·江苏无锡北塘区·一模)如图，等边△ABC中，AB＝4，O为三角形中心，⊙O的直径为1，现将⊙O沿某一方向平移，当它与等边△ABC的某条边相切时停止平移，记平移的距离为d，则d的取值范围是▲．
答案:≤d≤
三.解答题
1.（2015·湖南永州·三模）（8分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2，求⊙O的半径．
答案：23．（1）证明：（4分）连结OC，如图，∵，∴∠FAC=∠BAC（1分），
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（1分），∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF（1分），
∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线（1分）；
（2）解：（4分）连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°（1分），
∵，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°（1分），
在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4（1分），在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=4，∴⊙O的半径为4（1分）．
2.（2015·江苏高邮·一模）（本题满分10分）（1）如图1，已知⊙O的半径是4，△ABC内接于⊙O，AC＝4.
①求∠ABC的度数；
②已知AP是⊙O的切线，且AP=4，连接PC.判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知□ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O内，延长BC交⊙O于点E，连接DE.求证：DE=DC
解：（1）①∠ABC=45°；………………………3分
②直线PC与⊙O相切证明略………………………3分
（2）证明略……………………4分
如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
答案：解：（1）证明：连接OC，因为点C在⊙O上，OA=OC，所以
因为，所以，有.因为AC平分
∠PAE，所以所以
又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线.
（2）解：过O作，垂足为F，所以，
所以四边形OCDF为矩形，所以
因为DC+DA=6，设,则
因为⊙O的直径为10，所以，所以在中，由勾股定理知
即化简得，
解得或x=9.由，知，故.
从而AD=2，
因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以
(2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)如图，AB是的切线，B为切点，圆心O在AC上，，D为的中点.
（1）求证：AB＝BC.
（2）试判断四边形BOCD的形状，并说明理由
答案：（1）∵AB是的切线，∴，.
∵OB＝OC，∴，，
∴AB＝BC.…………………………………………5分
（2）四边形BOCD为菱形，理由如下：………………………………………6分[中
连接OD交BC于点M，
∵D是的中点，∴OD垂直平分BC.
在中，∵，∴OC＝2OM＝OD
∴OM＝OD，
∴四边形BOCD为菱形.………………………………………10分
5.(2015·合肥市蜀山区已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是⊙O的直径，DE切⊙O于点D，且DE⊥MN于点E.
（1）求证：AD平分∠CAM.
（2）若DE=6，AE=3,求⊙O的半径.
解：（1）连接OD，
DE与⊙O相切于D∴OD⊥DE又DE⊥MN∴OD∥MN……………………2分
∴ODA=∠DAE.又OD=OA∴∠ODA=∠OAD.∴∠OAD=∠DAE.………………4分
∴AD平分∠CAM.………………5分
（2）DE=6，AE=3∴AD=……7分
AC是⊙O的直径∴ADC=90°∴∠ADC=∠DEA
又OAD=∠DAE.∴△ADE∽△ACD…………10分
∴∴⊙O的半径为7.5…………………12分如图M1-10，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE.
(1)求证：AG与⊙O相切；(2)若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求线段OE的长．
(1)证明：如图124，
图124
连接OA，∵OA＝OB，GA＝GE，∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE.
∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°.∴∠ABO＋∠BEF＝90°.又∵∠BEF＝∠GEA，
∴∠GAE＝∠BEF.∴∠BAO＋∠GAE＝90°.∴OA⊥AG，即AG与⊙O相切．
(2)解：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°.∵AC＝6，AB＝8，∴BC＝10.
∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC，∴△BEF∽△BCA.
∴＝＝.∴EF＝1.8，BF＝2.4，∴OF＝OB－BF＝5－2.4＝2.6.∴OE＝＝.
7.（2015·广东高要市·一模）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（1）证明：连接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，……2’
∵∠CDB=∠OBD，∴CD∥AB，
又∵AC∥BD，∴四边形ABDC为平行四边形，
∴∠A=∠D=30°，∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC……4’
又∵OC是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；……5’
（2）解：由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，∴OC⊥BD，∴BE=DE，……6’
∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，∴BE=OBcos30°=3，……8’
∴BD=2BE=6；……9’
8.（2015?山东滕州东沙河中学?二模）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．解：（1）相切（2）如图，在ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，∠BAD=60°，点P从点A出发，以2cm／s的速度沿A—B—C运动，点Q从点A出发，以acm／s的速度沿A—D—C运动，点P，Q从A点同时出发，当其中一点到达点C时，另一点也停止运动，设运动的时间为ts．
（1）求证：BD⊥AD；
（2）若a=1，以点P为圆心，PB为半径画⊙P，以点Q为圆心，QD为半径画⊙Q，当⊙P和⊙Q相切时，求t的所有可能值；
（3）若在点P，Q运动的过程中总存在t，使PQ∥BD，试求a的值或范围．解：（1）略．（2）9－33－39．（3）1≤a<2．
如图，已知点在的边上，，的平分线交于点，且在以为直径的⊙上．
（1）证明：是⊙的切线；
（2）若，求圆心到AD的距离；
（3）若，求的值．（本题满分10分）
（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠DAC，∴AC∥OD，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，
即BC是⊙O的切线。…4分
（2）在Rt△ADC中，∠ACD＝90°，由勾股定理，
得：
作根据垂径定理得
可证△AOF∽△ADC
∴∴
∴………3分
（3）连接ED∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，
∵AE为直径，∴∠ADE=90°
∴又∵
∴,又∵,
∴△BED∽△BDA,∴………3分如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，求S△ABE的面积．解:（1）连接
∵∴∠B∠ODB……………………2分
∵∠ADC=∠B（已知）
∴∠ODB=∠ADC………………………4分
∴∠ODB+∠ADO=∠ADC+∠ADO
即∠∠……………5分
∵是直径
∴∠90
∴∠=90
∴CD切⊙O于点D……………6分
（2）在RT△ADB和RT△EAB中∠B∠B
∴RT△ADBRT△EAB
∴AB=BDBE即BE===……………8分
在RT△ABE中：AE==
∴S△ABE==……………10分
如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC＝∠CAD．
（1）若∠ABC＝20°，则∠OCA的度数为；
（2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若OD⊥AB，BC＝5，AB＝8，求⊙O的半径．解：（1）70°
（2）相切…………2分．
理由如下：法一：连接OA，∠ABC＝∠AOC……3分．
在等腰△AOC中，∠OAC＝90°－∠AOC∴∠OAC＝90°－∠ABC……5分．
∵∠ABC＝∠CAD，∴∠OAD＝∠OAC＋∠CAD＝90°－∠ABC＋∠ABC＝90°……6分．
即OA⊥AD，而点A在⊙O上，∴直线AD与⊙O相切．…………8分．
法二：连接OA，并延长AO与⊙O相交于点E，连接EC．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ECA＝90°，…………4分．
∴∠EAC＋∠AEC＝90°．又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，∴∠EAC＋∠CAD＝90°．……6分．
即OA⊥AD，而点A在⊙O上，∴直线AD与⊙O相切．…………8分．
（3）设OD与AB的交点为点G．
∵OD⊥AB，∴AG＝GB＝4．AC＝BC＝5，在Rt△ACG中，可得GC＝3．……10分．
在Rt△OGA中，设OA＝x，由OA2＝OG2＋AG2，得x2＝（x－3）2＋42
解得x＝，即⊙O的半径为．12分
如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l.
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与EAD△相似时，求出BF的长．答案：（12分）解：（1）设抛物线的解析式为∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9）
∴
解得：∴
y=（4分）
（2）连接AE∵DE是⊙A的切线，∴∠AED=90°，AE=3
∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点∴AB=BD=3[来源:中
∴AD=6，在Rt△ADE中，∴（8分）
（3）当BF⊥D时∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，∴△AED∽△BFD
∴，即∴（10分）
当FB⊥AD时∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，∴△AED∽△FBD
∴，即∴BF的长为或.（12分）
（1证明：连接AD，OA
∵∠ADC=∠ABC，∠ABC=60°，∴∠ADC=60°，
∵CD是直径，∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，-------------2分
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP，--------------4分
∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．-------------------5分
（2）解：连接BD
∵CD是直径，∴∠DBC=90°，
∵CD=4，B为弧CD中点，∴BD=BC=4sin45°=，----------------6分
∵∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB，-----7分
∵∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，----------------------8分
∴BD:BE=AB:BD，-------------------------------------9分[中
∴BE?AB=BD?BD=()2=8．------------------------------10分
15.2015·邗江区初三适应性训练如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，CE=,求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积.（结果保留根号和π）
解：（1）连结OC，证得∠AOD=∠COD；证得△AOD≌△COD（SAS）；
证得∠OCD=∠OAD=90°；
则DE是⊙O的切线.
（2）设半径为r，在Rt△OCE中，OC2+CE2=OE2
解得．
所求图形面积为
2015·网上阅卷适应性测试如图,在□ABCD中,过A、C、D三点的⊙O交AB于点E,连接DE、CE∠CDE＝∠BCE．
（1）求证：AD＝CE；
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若BC＝3，DE＝6，求BE的长．
（1）∵□ABCD中∴AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC．∴＝，
∴AD＝CE．
（2）直线BC与⊙O相切．
如图，作直径CF，连接EF．
于是，∠EFC＝∠EDC．∵∠BCE＝∠CDE
∴∠EFC＝∠BCE．
∵CF是⊙O的直径，∴∠FEC＝90°，
∴∠EFC＋∠FCE＝90°∴∠BCE＋∠FCE＝90°
∴∠BCF＝90°．∴OC⊥CB．
直线BC经过⊙O半径OD外端D，且与半径垂直，
直线BC与⊙O相切．
（3）∵□ABCD∴AD＝BC，AB∥CD，
由（1）AD＝CE∴BC＝CE
∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE．又∵∠BCE＝∠CDE，
∴△BCE∽△EDC．∴＝，
∵BC＝3∴CE=3．即＝．
解得，BE＝．
江西省中等学校招生考试如图，AB=AC=8，∠BAC=90，直线与以为直径的⊙O相切于点，点是直线上任意一动点，连结DA交⊙O点．
（1）当点在上方且时，求AE的长；
（2）当点在什么位置时，恰好与⊙O相切？请说明理由；
解：（1）如图，连接BE，直线与以为直径的⊙O相切于点，
，，，AB=8，
，，；
（2）当点D在AB上方且DB=4时，恰好与⊙O相切；理由如下：
连接OE，∠BAC=∠AEB=90，∠CAE+∠BAE=90，
∠ABE+∠BAE=90，∠CAE=∠ABE，
又，，
∽，∠CEA=∠OEB
又∠AEB=90，∠OEC=90，此时与⊙O相切．
命题思路：考查直径所对圆周角的特征、圆的切线的判定方法的理解运用．江西赣三中2014—2015学年第二学期中考模拟如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF.
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长
（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°∵OF∥BC∴∠AEO=90°，
∴OF⊥AC，∵OC=OA，∴∠COF=∠AOF，∴△OCF≌△OAF
∴∠OAF=∠OCF
∵PC是切线∴∠OCF=90°，
∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线
（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，FA⊥OA，∴OF===5
∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AF·OA=OF·EA，
∴3×4=5×EA，解得AE=，AC=2AE=.
如图，已知BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF=FB．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BE=2，求⊙O的半径．
（1）证明：连接BD，
∵BC是⊙O的切线，AB是直径，
∴AB⊥BC，
∴∠BFD+∠OBD=90°，
∵DF=FB，
∴∠FDB=∠FBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是圆的切线；
（2）解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，∠FDB+∠FDE=∠FBD+∠FED=90°，
∵∠FDB=∠FBD，
∴∠FDE=∠FED，
∴FD=FE=FB，
在直角△OBC中，tanC===，
在直角△CDF中，tanC=，
∴=，
∵DF=1，
∴CD=2，
在直角△CDF中，由勾股定理可得：CF=，
∴OB=BC=，
∴⊙O的半径是．
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20.（2015·广东中山·4月调研）如图，是⊙的直径，点是⊙上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分∠，交于点，连接.
（1）求证：平分∠；
（2）求证：PC=PF；
（3）若，AB=14，求线段的长．
解：（1）∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD． 1分
又AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO＝∠DAC．
又OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB． 3分
（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°．
又AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
∴∠PCB＋∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠PCB．
又∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB．……4分
∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，
∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，
∴∠PFC＝∠PCF，……………5分
∴PC＝PF…………6分
（3）
∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，
∴．又tan∠ABC＝，∴，∴．…………7分
设，，则在Rt△POC中，，
∵AB=14，
∴，
∵，∴，…………8分
∴k＝6（k＝0不合题意，舍去）．
∴．…………9分（本小题满分9分）如图6，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．求证：
答案：证明：
AB是圆O的直径
ACB=90o………………………………2分
AP是圆O的切线
PAO=90o………………………………4分
PAO=∠ACB……………………………5分
BC//OP
∴∠ABC=∠POA……………………………8分
ABC∽⊿POA……………………………9分
）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．
如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，………2分
∴OC∥AD，………3分
∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，………4分
∴DC为⊙O的切线．………5分
（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝∠ADC，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB∴△ABC∽△ACD，………8分
∴，∴，………9分
∵AB＝2×3＝6，AD＝4，∴AC＝．………10分[
23.(2015?山东东营?一模)如图，已知BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF=FB．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BE=2，求⊙O的半径．
（1）证明：连接BD，
∵BC是⊙O的切线，AB是直径，
∴AB⊥BC，
∴∠BFD+∠OBD=90°，
∵DF=FB，
∴∠FDB=∠FBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是圆的切线；
（2）解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，∠FDB+∠FDE=∠FBD+∠FED=90°，
∵∠FDB=∠FBD，
∴∠FDE=∠FED，
∴FD=FE=FB，
在直角△OBC中，tanC===，
在直角△CDF中，tanC=，
∴=，
∵DF=1，
∴CD=2，
在直角△CDF中，由勾股定理可得：CF=，
∴OB=BC=，
∴⊙O的半径是．
24.(2015?山东济南?模拟)
如图一个边长为cm的△ABC与⊙O，⊙O与BC相切于点，⊙O与A相交于点，的长．F，连接OB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
在Rt△ABF中，AB＝8，∠ABC＝60°，
∴AF＝AB·sin60°＝8×＝4．
又∵△ABC的高与⊙O⊙O的直径为4．
∴OB＝2．
又∵⊙O与BC相切于点，C＝90°，∴∠OBA＝30°．
过点O作OE⊥BD，垂足为E，∴BD＝2BE．
在Rt△OBE中，OB＝2，∠OBA＝30°，
∴BE＝OB·cos30°＝2×＝3，
∴BD＝6（cm）．
25.(2015?山东青岛?一模)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥过C点的直线于点D，且∠AOC=2∠ACD．
求证：（1）CD是⊙O的切线；（2）AC2＝AB·AD．
证明：（1）如图，连接BC．∵∠AOC=2∠B,而∠AOC=2∠ACD,∴∠B=∠ACD,又∠B=∠BCO,∴∠BCO=∠ACD.∵∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠ACB=90°,∴∠BCO＋∠ACO＝90°,∴∠ACD＋∠ACO＝90°,即∠DCO＝90°,∴CD是⊙O的切线；（2）∵AB是直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ACD与△RtACD中，∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AB·AD网]
)(9分)已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．以AC上一点O为圆心的⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点D．
(1)如图1，若⊙O与AB相切于点E，求⊙O的半径；
(2)如图2，若⊙O与AB相在AB边上截得的弦FG＝，求⊙O的半径．
1)连接OE，
因为⊙O与AB相切于点E，所以OE⊥AB……1分OE＝x，则CO＝x，AO＝4－x……………2分Rt△AOE∽Rt△ABC，得………3分,解得：x＝
∴⊙O的半径为………………………………4分AB，垂足为点H，……………5分FG＝……6分OF＝x,则OA＝4－x
由Rt△AOH∽Rt△ABC可得OH＝
在Rt△OHF中，据勾股定理得：OF2＝FH2＋OH2
∴x2＝()2＋()2……………8分，x2＝(舍去)
∴⊙O的半径为．…………………9分)(本题满分8分)如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．(1)求⊙P的半径；
(2)当AP=时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．
答案:(本题满分8分)
(1)过点B作BH⊥AC于点H
设BH=x，则AH=2x，…………1分；
由勾股定理得：…………2分；
解得：
∴半径为…………3分；
(2)相似…………4分；
过点P作PD⊥AC于点D
求得PD=6，MD=3，AD=12，
∴AM=9…………5分；
∴CN=5…………6分；
∴…………7分；
再证得∠AMP=∠PNC…………8分；
∴△AMP∽△PNC)(本题12分)如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的点，连结交线段于，且．
(1)求证：是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为，，设．
①求关于的函数关系式．
②当时，求的值．
解：(1)连结，，
． 1分
，
． 2分
，
． 3分
是圆的切线． 4分
(2)①连结，
． 8分(取值范围不写不扣分)
②当时，，
， 10分
． 12分.（本题满分9分）
如图,以O为圆心的BD度数为60o,∠BOE=45o,DA⊥OB,EB⊥OB．
（1）求的值;
（2）若OE与BD交于点M,OC平分∠BOE,连接CM.说明:CM为⊙O的切线;
（3）在（2）的条件下,若BC=1,求tan∠BCO的值．
25．（本题满分9分）
（1）∵EB⊥OB，∠BOE=45°，∴∠E=∠BOE，∴OB=BE，
在Rt△OAD中，sin∠AOD=
∵OD=OB=BE，∴=
（2）∵OC平分∠BOC，∴∠BOC=∠MOC，
∴△BOC≌△MOC（SAS），
∴∠CMO=∠OBC=90°，
又∵CM过半径OM的外端，
∴CM为⊙O的切线；（3）由（1）（2）证明知∠E=45°，OB=BE，△BOC≌△MOC，CM⊥ME，
∵CM⊥OE，∠E=45°，∴∠MCE=∠E=45°，∴CM=ME，
又∵△BOC≌△MOC，∴MC=BC，∴BC=MC=ME=1，
∵MC=ME=1，∴在Rt△MCE中，根据勾股定理，得CE=
∴OB=BE=+1,∴tan∠BCO=+1
30.（2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4cosC=时，求⊙O的半径.
解：(1)连接OM，则OM＝OB
∴∠OBM=∠OMB
∵BM平分∠ABC
∴∠OBM=
∴∠OMB=∠EBM
∴OM∥BE
∴∠AMO=∠AEB
而在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AMO=∠AEB=90°
∴AE与⊙O相切.------------3分
(2)在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分线
∴BE=BC=2,∠ABC=∠ACB
∴在Rt⊿ABC中cos∠ABC=cos∠ACB==
∴AB=6--------------6分
设⊙O的半径为r,则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE[来
∴=
即=
∴r=（本题满分8分）已知：如图，点E是正方形ABCD中AD边上的一动点，连结BE，作∠BEG=∠BEA交CD于G，再以B为圆心作，连结BG
（1）求证：EG与相切
（2）求∠EBG的度数；
（1）证明：过点B作BF⊥EG，垂足为F，
∴∠BFE=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=90°，
∴∠BFE=∠A，（1分）
∵∠BEG=∠BEA，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE，（2分）
∴BF=BA，（3分）
∵BA为︵的半径，
∴BF为︵的半径，
∴EG与︵相切；（4分）
（2）解：由（1）可得△ABE≌△FBE
∴∠1=∠ABE=∠ABF，（5分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠ABC=90°，
∴CD是⊙O切线，
由（1）可得EG与︵相切，
∴GF=GC，
∵BF⊥EG，BC⊥CD，
∴∠2=∠CBG=∠FBC，（7分）
∴∠EBG=∠1+∠2=(∠ABF+∠FBC)=∠ABC=45°（8分）
27/28
A
O
B
C
E
M
D
A
D
P
E
B
C
O
H
G
F
D
O
C
B
A
图2
E
D
O
C
B
A
图1
图2
G
F
D
O
C
B
A
图1
E
D
O
C
B
A
F
第25题
D
O
C
B
A
E
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O
C
B
A
B
D
A
E
F
O
P
C
B
D
A
E
F
O
P
C
第4题
第4题
F
E
D
C
B
A
图11
图9
图7
图6
图5
图4
图3
第21题图
图2
E
O
D
C
B
A
图1
O
P
B
C
A
（第17题）
图2
第17题图
图1
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