等腰三角形
1．（2015·江苏江阴长泾片·期中）在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°。在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
C
2.(2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)如图所示，在的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使成为等腰三角形.则满足条件的C点的个数为【】
A．10个B．8个C．6个D．4个
答案：B
3.（2015?山东潍坊广文中学、文华国际学校?一模）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组则此等腰三角形的周长为（）
A．5B．4C．3D．5或4如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为()
A.B.
C．3D．4C
5.（2015.河北博野中考模拟）如图所示，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，若，则k的值为【】
A．12B．9C．8D．6
答案：B
6.（2015.河北博野中考模拟）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①四边形CEDF有可能成为正方形②△DFE是等腰直角三角形
③四边形CEDF的面积是定值④点C到线段EF的最大距离为
其中正确的结论是【】
A．①④B．②③C．①②④D．①②③④
答案：D
7．?山东东营?一模)如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为()
A.B.C．3D．4
C
8．(2015?山东济南?一模)如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）
A．2 B．2 C．4 D． 4
9．(2015·江苏无锡崇安区·一模)等腰三角形的两边长分别是4和8，则这个等腰三角形的周长为…………………(▲)
A．B．C．D．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，若BE＝BC，则∠EBC的度数为.
答案：36°
．如图，点P（a，a）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边△PAB，使A，B落在x轴上，则△POA的面积是____．8－．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为6cm，底边长为2cm的等腰三角形，则这个圆锥的表面积为____cm2．7π；
5．如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=3，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD，PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段耐的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形；……依次进行下去，则第2014个内接正方形的边长为____．
6. （2015·江西省中等学校招生考试有一直角三角形纸片ACB，，，，点D是AC边上一动点，过点D沿直线DE方向折叠三角形纸片，使点A落在射线AB上的点F处，当以点F、B、C为顶点的三角形为等腰三角形时，AD的长为答案：或（填对一个给1分，填对两个给3分，多填或错填不给分）命题思路：渗透分类讨论思想，考查空间想象能力．．(2015·呼和浩特市初三年级质量普查调研)一个等腰但不等边的三角形，它的角平分线、高、中线的总条数为_________条.
7
8．（2015·广东中山·4月调研）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为_________．
答案：1
9．(2015·江苏南菁中学·期中)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是▲．
第题图
20
10．(2015·江苏扬州宝应县·一模)如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，若∠A=40o，则∠EBC=▲°.
答案:30
三.解答题
1.（2015·江苏常州·一模）（本题满分6分）△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．
⑴如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°．请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；
⑵△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．
26．解：⑴画图正确，角度标注正确 1′
⑵考虑直角顶点，只有点A，B，D三种情况
当点A为直角顶点时，如图，此时y＝90－x．
当点B为直角顶点时，再分两种情况：
若∠DBC＝90°，如图，此时y＝90＋（90－x）＝135－x．
若∠ABD＝90°，如图，此时y＝90＋x．
当点D为直角顶点时，又分两种情况：
若△ABD是等腰三角形，如图，此时y＝45＋（90－x）＝135－x．
若△DBC是等腰三角形，如图，此时x＝45，45＜y＜90．
注：共5种情况，每种情况各1分．
．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=,点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB.
(1)求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.
解：（1）∵四边形ABCO为矩形,∴∠B=90°tan∠ACB=,在Rt△ACB中，设BC=3k,AB=4k,由勾股定理，AC=5K,∵AB=4k=16,∴k=4,∴AC=20,OA=BC==3k=12,∴点A的坐标为（－12，0），而点D与点A关于y轴对称,∴点D的坐标为（12，0）-------4分
（2）∵∠CEF=∠ACB,且∠ACB=∠CAE又∵点A与点D关于y轴成轴对称
∴∠FAE=∠D∴∠CEF=∠D-------------------6分
又∵∠CEA=∠CEF+∠FEA=∠D+∠DCE∴∠FEA=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE---------8分
（3）①当CE=EF时，由△AEF∽△DCE则△AEF≌△DCE，∴AE=CD，即AO+OE=CD
设E(x,0),有12+x=20,∴x=8此时，点E的坐标为（8，0）
②当EF=FC时，∵∠FCE=∠FEC=∠ACB=∠CAE,∴AE=CE设E(a,0)
∴OE2+OC2=CE2=AE2=(OA+OE)2即：，解得a=此时，点E的坐标为（，0）③当CE=CF时，E与D重合与题目矛盾．------------------12分
江西省中等学校招生考试如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若，且，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．
（1）如图2，在等腰中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：；
（2）如图3，在非等腰中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
解：（1）是等腰三角形，，，
又四边形ABCD是互补等对边四边形，，
，≌，，
又，，
在中，，
，同理：，
；
（2）如图，过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线于点G、F，
四边形ABCD是互补等对边四边形，，，
又，，
又，，
≌，
，又≌，
，，，，
，，
又，，
．
第2题
1/8
第2题
图3
图2
图1
图3
图1
图2
（第10题）
B
C
D
E
A
图2
图1
E
D
C
B
A
F
B
D
A
E
C
（第6题图）
第10题图
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