规律探索
邗江区初三适应性训练记，令，则称为，，……，这列数的“凯森和”.已知，，……，的“凯森和”为2004，那么13，，，……，的“凯森和”为（▲）
A．2013B．2015C．2017D．20192015·网上阅卷适应性测试如图，在平面直角坐标系中，点，，正六边形沿轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过的正六边形的顶点是（▲）．
A．C或EB．B或DC．A或ED．B或F如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B、BA为邻边作□ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1、B1A1为邻边作□A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是（▲）
A．（﹣×4n，4n）B．（﹣×4n－1，4n－1）
C．（﹣×4n﹣1，4n）D．（﹣×4n，4n－1）
C
4.（2015·山东省济南市商河县一模）如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=2，在△ABC内
作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，
连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；
再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正
方形……依次进行下去，则第n个内接正方形的边长为
A． B．
C． D．B
5.（2015·河北博野·中考模拟）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第5个图中共有点的个数是
A．31B．41C．51D．66
．2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交
直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B、BA为邻边作□ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1、B1A1为邻边作□A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是（▲）
A．（﹣×4n，4n）B．（﹣×4n－1，4n－1）
C．（﹣×4n﹣1，4n）D．（﹣×4n，4n－1）
答案：C
7．2015·无锡市新区·期中）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2014个图形中直角三角形的个数有（▲）
A．2014个 B．2015个 C．4028个 D．6042个
1．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）观察下面一列数：?1，2，?3，4，?5，6，?7…，将这列数排成下列形式：记为第i行第列的数，如=4，那么是．
答案：56
2.(2015·北京市朝阳区一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是，第个式子是（用含的式子表示，为正整数）．
，（第一个空1分，第二个空2分）
观察下列各式：,……,[ww
请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是：______________.
4（2015·广东广州·一模）王宇用火柴棒摆成如图M1-5所示的三个“中”字形图案，依次规律，第n个“中”字形图案需要________根火柴棒．
6n＋3
如图，是用火柴棒拼成的图形，第1个图形需3根火柴棒，第2个图形需5根火柴棒，第3个图形需7根火柴棒，第4个图形需根火柴棒，……，则第个图形需根火柴棒。
2n+1(对一个2分)
如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是▲；点P2014的坐标是▲．
答案：(8,3),(5,0)；
．如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=3，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD，PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段耐的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形；……依次进行下去，则第2014个内接正方形的边长为____．；
8．如图每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第7幅图中有个正方形．
140；
9.（2015?山东潍坊广文中学、文华国际学校?一模）观察下列等式：16-1=15，25-4=21，36-9=27，49-16=33，……，用自然数n（其中n≥1）表示上面一系列等式所反映出来的规律是(n+3)2-n2=3(2n+3)；
10.（2015·江西赣三中2014—2015学年第二学期中考模拟在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，….若点的坐标为（3，1），则点的坐标为????，点的坐标为????????；若点的坐标为（，），对于任意的正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为??????（－3，1）；（0，4）11.（2015·辽宁盘锦市一模）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…
都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，
点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，
则A2015的坐标是．
答案：18.（2015，2017）．
12．（3分）如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OBA的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是．
如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积是Sn=．
答案：8n﹣4
14.（2015.河北博野中考模拟）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=____________．
15.（2015山东·枣庄一摸）如图，正方形的边长为2，以为圆心、为半径作弧交于点，设弧与边、围成的阴影部分面积为；然后以为对角线作正方形，又以为圆心、为半径作弧交于点，设弧与边、围成的阴影部分面积为；…，按此规律继续作下去，设弧与边、围成的阴影部分面积为．则：
（1）＝；（2）＝．
答案：，．(2015?山东东营?一模)如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积是Sn=8n﹣4．
2．?山东济南?网评培训)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝(x(x(3)（0≤x≤3）在x轴上方的部分，记作C1，它与x轴交于点O，A1，将C1绕点A1旋转180°得C2，C2与x轴交于另一点A2．请继续操作并探究：将C2绕点A2旋转180°得C3，与x轴交于另一点A3；将C3绕点A3旋转180°得C4，与x轴交于另一点A4，这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，An，…，及抛物线C1，C2，…，Cn，…．则点A4的坐标为；Cn的顶点坐标为
(n为正整数，用含n的代数式表示)．
(12,0),
17．?山东青岛?一模)如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆
第n个图形需要围棋子的枚数是．
6n－1
)如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是▲．
n(n＋2)如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=15cm，BC=20cm．若将斜边上的高CD分成n等分，然后裁出（n﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是▲cm2．
答案：
三.解答题
1.(2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，
发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；
（2）若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
答案：（1）11，60，61……………………………………2分
（2）后两个数表示为和………………4分
∵，，
∴．又∵，且为奇数，
∴由，，三个数组成的数是勾股数．……8分
2.(2015·安庆·一摸)观察下列等式：
1－=12×①
2－=22×②
3－=32×③
……
（1）请写出第四个等式：；
（2）观察上述等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性.
答案：解：（1）4－=42×…………2分
（2）第n个等式是n－.
证明：∵左边==右边，∴等式成立.
3.(2015·合肥市蜀山区现有一组有规律排列的数：1、－1、、－、、－、1、－1、、－、、－、……其中，1、－1、、－、、－这六个数按此规律重复出现.问：
（1）第50个数是什么数？
（2）把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？
解：（1）∵
∴第50个数是－1.…………………………………2分
（2）∵2015÷6=335……5，
∴从第1个数开始的前2015个数的和是.…………………………………5分
（3）∵，……………………6分
且
∴43×6+3=261，即共有261个数的平方相加.…………………………8分
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第4个图形
第3个图形
第2个图形
第1个图形
图2
图1
第1题图
13题图
Q
P
J
K
I
H
G
F
E
D
C
B
A
第2题
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