全等三角形
如图,RtΔABC中,AB=9,BC=6,∠B=900,将ΔABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为()
A.B.C.4D.5
C
3.(2015·福建漳州·一模)小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块,如图①②③,他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃,你认为应带()去.
A.①B.②
C.③D.①和②
4.(3分)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B,E,F分别为BC,CD的中点,连接AE、AC、AF,则图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有()A.1个B.2个C.3个D.4个
答案:C
5.(2015·山东省东营区实验学校一模)已知△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2.对于上述的两个判断,下列说法正确的是()
A.①正确,②错误B.①错误,②正确
C.①②都错误D.①②都正确D
6.?山东东营?一模)已知△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2.对于上述的两个判断,下列说法正确的是()
A.①正确,②错误B.①错误,②正确
C.①②都错误D.①②都正确
D
7.?山东青岛?一模)如图2所示,在Rt中,,平分,交于点D,且,则点到的距离是:
(A)3(B)4(C)5(D)6.(2015·江苏南菁中学·期中)如图,将□ABCD折叠,使点A与C重合,折痕为EF.若∠A=60°,AD=4,AB=6,则AE的长为▲.
第1题图
三.解答题
1.(2015·吉林长春·二模)
答案:由旋转可知,∠DAE=90°,AD=AE.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE..如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.求证:BC∥EF.
解:通过证△ABC≌△DEF,得∠ACB=∠DFE,说明BC∥EF
3.(2015·北京市朝阳区已知:如图,E是BC上一点,AB=EC,AB∥CD,BC=CD.
求证:AC=ED.
答案:证明:∵AB∥CD,
∴∠B=∠DCE.…………………………………………………………………1分
在△ABC△ECD中,
已知:如图,B、C、E三点在同一条直线上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B.
求证:△ABC≌△CDE
证明:∵AC∥DE,∴∠ACD=∠D,∠BCA=∠E…………………2分
又∵∠ACD=∠B,∴∠B=∠D……………………4分
又∵AC=CE,∴△ABC≌△CDE……………………7分
5.(2015?山东滕州羊庄中学?4月模拟)已知:如图1,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA=MC.
(1)求证:CD=AN;
(2)若∠AMD=2∠MCD,
试判断四边形ADCN的形状,并说明理由.
答案:(本题满分10分)
证明:①∵CN∥AB,∴∠DAC=∠NCA,
∵在△AMD和△CMN中,,∴△AMD≌△CMN(ASA)……(2分)
∴AD=CN,又∵AD∥CN,∴四边形ADCN是平行四边形,………(4分)
∴CD=AN………(5分)
②四边形ADCN是矩形.………(1分)
理由如下∵∠AMD=2∠MCD,∠AMD=∠MCD+∠MDC,
∴∠MCD=∠MDC∴MD=MC,………(2分)
由①知四边形ADCN是平行四边形,∴MD=MN=MA=MC,∴AC=DN,………(4分)
∴四边形ADCN是矩形.………(5分)
.已知:如图在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.
(1)求证:BE=DF;
(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.(8分)证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°.
∵AE=AF,∴.∴BE=DF.(4分)
(2)四边形AEMF是菱形.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCA=∠DCA=45°,BC=DC.[∵BE=DF,∴BC-BE=DC-DF.即.∴.∵OM=OA,∴四边形AEMF是平行四边形.∵AE=AF,∴平行四边形AEMF是菱形.(8分)
.(2015?山东潍坊广文中学、文华国际学校?一模)如图,现有边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,联结BP、BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH;
(2)求证:AP+HC=PH;
(3)当AP=1时,求PH的长.
(1)证明:∵PE=BE,∴∠EPB=∠EBP,
又∵∠EPH=∠EBC=90°,∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP.
即∠BPH=∠PBC.又∵四边形ABCD为正方形
∴AD∥BC,∴∠APB=∠PBC.
∴∠APB=∠BPH.----------------------4分
(2)证明:过B作BQ⊥PH,垂足为Q,
由(1)知,∠APB=∠BPH,
在△ABP与△QBP中,,∴△ABP≌△QBP(AAS),
∴AP=QP,BA=BQ.又∵AB=BC,∴BC=BQ.又∵∠C=∠BQH=90°,∴△BCH和△BQH是直角三角形,在Rt△BCH与Rt△BQH中,,∴Rt△BCH≌Rt△BQH(HL),∴CH=QH,∴AP+HC=PH.---------------------------8分
(3)解:由(2)知,AP=PQ=1,∴PD=3.设QH=HC=x,则DH=4-x.
在Rt△PDH中,PD2+DH2=PH2,
即32+(4-x)2=(x+1)2,解得x=2.4,∴PH=3.4.---------------------------12分
8.(2015·江西省中等学校招生考试如图1,我们定义:在四边形ABCD中,若,且,则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形.
(1)如图2,在等腰中,四边形ABCD是互补等对边四边形,求证:;
(2)如图3,在非等腰中,若四边形ABCD仍是互补等对边四边形,试问是否仍然成立,若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
解:(1)是等腰三角形,,,
又四边形ABCD是互补等对边四边形,,
,≌,,
又,,
在中,,
,同理:,
;
(2)如图,过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线于点G、F,
四边形ABCD是互补等对边四边形,,,
又,,
又,,
≌,
,又≌,
,,
,,
,,
又,,
.]
命题思路:通过数学新定义考查等腰三角形的性质、三角形内角和与外角和、三角形全等等知识,增强推理论证能力,渗透特殊到一般、变中不变的数学思想.
9.山东省枣庄市齐村中学)(满分8分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,正方形DEFG的顶点D在边AC上,点E,F在边AB上,点G在边BC上.
(1)求证:△ADE≌△BGF;
(2)若正方形DEFG的面积为16,求AC的长.
证明:略……………………………4分(2)AC=6……………………………4分(2015·呼和浩特市初三年级质量普查调研)(7分)在△ABC中,D是BC边的中点,EF分别在AD及其延长线上,CE∥BF,连接BE、CF.
(1)求证:△BDF≌△CDE
(2)若DE=BC,试判断四边形BFCE的形状,无需说明理由.
答案:(1)证明:∵CE∥BF,
∴∠CED=∠BFD,............2分
∵D是BC边的中点,
∴BD=DC,.........................3分
在△BDF和△CDE中
,
∴△BDF≌△CDE(AAS);..................5分
(2)四边形BFCE是矩形.......................7分
11.如图,在等腰三角形ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,点D、E是直线BC上两点且CD=BE,过点C作CM⊥AE交AE于点M,交AB于点F,连接DF并延长交AE于点N.
(1)若AC=2,CD=1,求CM的值;
(2)求证:∠D=∠E.
解:(1)CD=BE,CD=1∴BE=1
又AC=CB=2,CE=CB+BE=3
在RtACE中
又CE⊥AE
∴
∴
4分
(2)
°,°,°
又BH⊥CB∴
7分
又ABC为等腰直角三角形
又°,°
10分
.)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G.求证:AE=CG.
:∵点D是AB中点,AC=BC,∠ACB=90°,
∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CAD=∠CBD=45°,
∴∠CAE=∠BCG,
又∵BF⊥CE,∴∠CBG+∠BCF=90°,
又∵∠ACE+∠BCF=90°,
∴∠ACE=∠CBG,在△AEC和△CGB中,∠CAE=∠BCG,AC=BC,∠ACE=∠CBG,
∴△AEC≌△CGB(ASA),
∴AE=CG.
13.(2015?山东济南?一模)如图,直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E.①△OBC与△ABD全等吗?判断并证明你的结论;
②随着点C位置的变化,点E的位置是否会发生变化?若没有变化,求出点E的坐标;若有变化,请说明理由.
①判断△OBC与△ABD全等,由等边△AOB和等边△CBD得到全等,△OBC≌△ABD,
理由:∵△AOB和△CBD是等边三角形,∴OB=AB,∠OBA=∠OAB=60°,BC=BD,∠CBD=60°,
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC,即∠OBC=∠ABD,
在△OBC和△ABD中,{OB=AB∠OBC=∠ABDBC=BD,
∴△OBC≌△ABD(SAS)5分
②根据(1)容易得到∠OAE=60°,然后在中根据直角三角形30°,所对的直角边等于斜边的一半可以得到AE=2,从而得到E的坐标是固定的
∵△OBC≌△ABD,∴∠BAD=∠BOC=60°,
又∵∠OAB=60°,∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°,
∴Rt△OEA中,AE=2OA=2,∴OE=√3,
∴点E的位置不会发生变化,E的坐标为E(0,√3).……7分
)(本题满分8分)如图,在所给方格纸中,每个小正方形边长都是1,标号为①,②,③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处).请按要求将图甲中的正方形ABCD、图乙中的平行四边形ABCD分别各自分割成三个三角形,使它们与标号为①,②,③的三个三角形分别对应全等.
注:图甲、图乙在答题卡上,分割线画成实线.
(本题满分8分)
略(每张图各4分)
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第1题
图3
图2
图1
图4
图3
图2
M
C
O
F
E
B
D
A
图1
D
A
E
C
B
(第20题图)
E
D
C
F
A
B
第1题图
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