“合肥六中”2015年高三学生最后一卷
理科数学
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足(其中为虚数单位),则等于
A.B.C.D.
2.已知双曲线的离心率为2,其中的一个焦点是抛物线的焦点,则该双曲线的渐近线方程是
A.B.C.D.
3.设向量,若,则等于
A.B.C.D.3
4.设等比数列的公比为,其前项和为,若成等差数列,则公比等于
A.B.2或C.或1D.1
5.设表示三条不同的直线,表示两个不同的平面,则下列命题中逆命题不成立的是
A.若,则B.若,则
C.若,则D.,是在内的射影,若,则
6.函数在坐标原点附近的图象可能是A.B.C.D.
7.将一个质地均匀的几何体放置在水平面上,其三视图如图所示,其中正(主)视图是一个圆心角为的扇形,则该几何体的表面积为
A.B.C.D.
8.若函数为常数)有四个零点,则这四个零点之和为
A.B.0C.D.
9.从四面体的6条棱的中点及其四个顶点共10个点中任取4个点,则这四个点不共面的概率是
A.B.C.D.
10.在中,角的对边分别为,若,则“”是
“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.
11.设实数满足条件:,则目标函数的最大值为
12.向圆内随机投掷一点,则该点落在直线的左上方的概率为
13.在的展开式中的常数项是
14.在直角中,点是斜边的一个三等分点,则
15.对于函数,若存在使得则称函数为“次奇函数”且为该函数的一个“次奇点”,给出下列命题:
①奇函数必为“次奇函数”;②存在某个偶函数,它是“次奇函数”;
③若函数为“次奇函数”,则该函数的所有“次奇点”为;
④若函数为“次奇函数”,则
⑤若函数为“次奇函数”,则.其中的正确命题是(写出你认为正确的所有命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递减区间;
(Ⅱ)在中,角的对边分别为,若求的值;
17(本小题满分12分)
袋中装有大小相同,颜色不同的10张卡片,其中红色卡片5张,白色卡片3张,(Ⅰ)记“恰好取到2次红色卡片”为事件,求;
(Ⅱ)将抽取卡片的次数记为,求随机变量的概率分布列及数学期望.
18(本小题满分12分)
平面,且为等腰直角三角形,等腰梯形中,且
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
19(本小题满分13分)
的中心为坐标原点,是该椭圆在轴的正半轴上的一个焦点,其短轴长为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点分别作斜率为的直线交椭圆,得到弦它们的中点分别是,当时,求证:直线过定点.
20(本小题满分13分)
为常数)
(Ⅰ)若,求的极值;
(Ⅱ)求在上的单调区间.
21(本小题满分12分)
是首项为,公差为的等差数列,数列是首项为,公比为的等比数列,且
,其中.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若数列与数列有公共项,将所有公共项按原来顺序排列后构成一个新数列,求数列的通项公式;
(Ⅲ)设,求证:.
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