KS5U2015安徽高考压轴卷
理科数学
第I卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设复数,则化简复数的结果是
A. B. C. D. 2.已知p:α是第二象限角,q:sinα>cosα,则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为?
A. B. C. D. 4.若直线被圆截得的弦长为4,则的最小值为
A. B. C.2 D.4 5.已知约束条件,若目标函数恰好在点处取得最大值,则a的取值范围是
A. B. C. D. 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零部件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
A. B. C. D. 7.函数的定义域为,值域为,则m的取值范围是
A. B. C. D. 8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加。当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻。那么不同的发言顺序的种数为
A.360 B.520 C.600 D.720 9.已知,,且,点P在线段P1P2的延长线上,则P点的坐标为
A. B. C. D. 10.设函数的定义域是,其图象如图,那么不等式的解集为
A.
B.
C.
D.
第II卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案写在题中横线上。
11.二项式的展开式中,含x4的项的系数为__________。
12.给出下列命题:
①角α的终边与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,则;
②存在,使;
③将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,得到的函数关于成中心对称;
④与在区间上有且只有一个公共点。
其中错误的命题为__________。(把所有符合要求的命题序号都填上)
13.由曲线,直线,直线围成的封闭图形的面积为__________。
14.Sn是等比数列的前n项和,a1=,9S3=S6,设Tn=a1a2a3…an,则使Tn取最小值的n值为__________。
15.存在两条直线与双曲线相交于四点A,B,C,D,且四边形ABCD为正方形,则双曲线的离心率的取值范围为__________。
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且,,。
(1)求的值;
(2)求ΔABC的面积。
17.(本小题满分12分)
已知数列的首项为a1=1,前n项和为Sn,并且对于任意的n≥2,3Sn-4、an、总成等差数列。
(1)求的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Tn,求Tn。
18.(本小题满分12分)
某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市100000名男生的身高服从正态分布N(168,16)。现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第一组[160,164],第二组[164,168],…,第6组[180,184],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。
(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;
(2)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数;
(3)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人,该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ,求ξ的数学期望。
参考数据:若,则
,
,
。
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1。M是棱SB的中点.
(1)求证:AM∥面SCD;
(2)求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值;
(3)设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为θ,求sinθ的最大值。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率,且经过点,抛物线的焦点F与椭圆C1的一个焦点重合。
(1)过F的直线与抛物线C2交于M、N两点,过M、N分别作抛物线C2的切线l1、l2,求直线l1、l2的交点Q的轨迹方程;
(2)从圆O:x2+y2=5上任意一点P作椭圆C2的两条切线,切点分别为A、B,试问∠APB的大小是否为定值,若是定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由。
21.(本小题满分12分)
已知函数。
(1)当时,求在区间上的最大值和最小值;
(2)如果函数,,,在公共定义域D上,满足,那么就称为,的“活动函数”。
已知函数,。若在区间上,函数是,的“活动函数”,求a的取值范围。
2015年高考资源网考前押题试卷(安徽卷)
理科数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D C C C C D C 二、填空题
11.10 12.①②④ 13. 14.5 16. 三、解答题
16.解:(1)
(2)
17.法一解:依题意有,即
即,即,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,
所以,所以
所以,
所以
法二:可退位作差求得
(2)由(1)可知所以=
=.
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为
,
高于全市的平均值168(或者:经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72,比较接近全市的平均值168).…………………………………………………………(4分)
(Ⅱ)由频率分布直方图知,后三组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为0.2×5=10,即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10人.……………(6分)
(Ⅲ),
,0.0013×100000=130.
所以,全市前130名的身高在180cm以上,这50人中180cm以上的有2人.
随机变量可取,于是
,,
.………………………………(12分)
19.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则
,,,,,.
则.
设平面SCD的法向量是则
即
令,则,于是.
,.
AM∥平面SCD.……………………………………………………(4分)
(Ⅱ)易知平面SAB的法向量为.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为,
则,即.
平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.………………………………(8分)
(Ⅲ)设,则.
又,面SAB的法向量为,
所以,.
.
当,即时,.………………………………………(13分)
20.解:(1)当时,,
;…………2分
对于,有,
∴在区间[1,e]上为增函数,…………3分
∴,.…………5分
(2)①在区间(1,+∞)上,函数是的“活动函数”,则
令<0,对恒成立,
且=<0对恒成立,
∵…………7分
1)若,令,得极值点,,
当,即时,在(,+∞)上有,
此时在区间(,+∞)上是增函数,并且在该区间上有∈(,+∞),不合题意;…………9分
当,即时,同理可知,在区间(1,+∞)上,有
∈(,+∞),也不合题意;…………9分
2)若,则有,此时在区间(1,+∞)上恒有,
从而在区间(1,+∞)上是减函数;要使在此区间上恒成立,只须满足,所以a.…………11分
又因为<0,在(1,+∞)上为减函数,,…………12分
综合可知的范围是.…………13分
21.(1)由于椭圆的离心率e=,则,,则,椭圆的方程为将点代入椭圆的方程得到c=1,故所求椭圆的方程为其焦点坐标为,则F(0,1),故抛物线的方程为……3分
易知直线MN的斜率一定存在,设为k,则直线MN的方程为y=kx+1,代入抛物线的方程得到。设,则……4分
由于,故直线的斜率为,的方程为即,同理可得直线的方程为,令,即显然,故,即点Q的横坐标是,点Q的纵坐标是
,即点Q(2k,-1),故点Q的轨迹方程是y=-1……6分
(2)当这两条切线中有一条切线的斜率不存在时,根据对称性,不妨设点P在第一象限,则此时点P的横坐标为,代入圆O的方程得点P的纵坐标是,因此这两条切线所在的方程分别为因此,所以若角APB的大小为定值,则这个定值只能是(8分)
当这两条切线的斜率都存在时,设点P,过点P的切线的斜率为,则切线方程为,由于直线是椭圆的切线,故整理得:……10分
设切线PA,PB的斜率分别为,则是上述方程的两个实根,故又点P在圆上,故所以,所以,……12分
综上可知,角APB的大小为定值,且这个定值为。……13分
S
A
D
B
C
M
x
y
z
N
0
1
-2
4
1
-4
-1
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