2015年福建省高中数学竞赛
暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷
（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望。
2．已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为。
3．、为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为。
4．已知实数，，满足，则的最小值为。
5．已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和。
6．如图，在四面体中，，，，且与平面所成角的余弦值为。则该四面体外接球半径。
7．在复平面内，复数、、的对应点分别为、、。若，，，则的取值范围是。
8．已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范围为。
9．已知，若，则的取值范围为。
10．若，则正整数的最小值为。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．求函数的最小值。
12．已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。
（1）求的取值范围；
（2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。
13．如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。
（1）求证：；
（2）若为中点，求证：。
（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）
14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点为内心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形的个数。
15．若对任意的正整数，集合的任意（）元子集中，总有3个元素两两互素，求的最小值。
2015年福建省高中数学竞赛
暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望。
【答案】5
【解答】，随机变量的取值为0，1，4，9，16。
易得，的概率分布列为
0 1 4 9 16 ∴。
2．已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为。
【答案】9
【解答】依题意，有。
∵在区间上的最大值为1，
∴在区间上的最大值为3，在区间上的最大值为5，在区间上的最大值为7，在区间上的最大值为9。
3．、为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为。
【答案】
【解答】设为椭圆的上顶点，依题意有。
∴，。，，。
4．已知实数，，满足，则的最小值为。
【答案】
【解答】由柯西不等式，知
。
∴，当且仅当，即时等号成立。
∴的最小值为。
5．已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和。
【答案】
【解答】依题意，有
。
∴。
6．如图，在四面体中，，，，且与平面所成角的余弦值为。则该四面体外接球半径。
【答案】
【解答】如图，作于，连结，并延长交于点，连结。则是与平面所成的角，。
∵，，，
∴，为的外心，且。
∴，为中点，结合知，，。
∴，。
∴、、两两互相垂直，四面体外接球半径。
7．在复平面内，复数、、的对应点分别为、、。若，，，则的取值范围是。
【答案】
【解答】设，（为虚数单位），
∵，，
∴，，
。
设复数对应的点为。由知，点在以为圆心，1为半径的圆上。
又，因此，，即的取值范围是。
8．已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范围为。
【答案】
【解答】。
依题意，有两个不同的实根。
设，则，有两个不同的实根。
若，则，为增函数，至多1个实根，不符合要求。
若，则当时，；时，。
∴在区间上为增函数，上为减函数。
∴的最大值为。
又时，；时，。
∴当且仅当，即时，恰有2个不同的实根。
设的两根为，（）。则时，，；时，，；时，，。
∴为的极小值点，为的极大值点。符合要求。
∴的取值范围为。
9．已知，若，则的取值范围为。
【答案】
【解答】设，则。
∴。
∴，。
由知，方程的解集是方程的解集的子集。
若，则，。
若，设，则，得。
又时，，
所以，。的取值范围是。
10．若，则正整数的最小值为。
【答案】4
【解答】由，，知
。
∴，
，
……………
上述各式左右两边分别相加，得
。
∴，。
∴，（），（）。
∴正整数的最小值为4。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．求函数的最小值。
【解答一】由，得或。
∴函数的定义域为。………………………5分
记，则
当时，易知。在上为增函数。
∴时，的最小值为。…………………………10分
当时，。
∴在上为减函数，时，的最小值为。………15分
综合得，函数的最小值为1。………………20分
【解答二】函数化为。
由，知，可设（，且）
…………………………5分
当时，，当，即时，取最小值3。………………………10分
当时，，当，即时，取最小值1。…………………………15分
综合得，函数的最小值为1。……………………20分
或换元后利用导数求解。
【解答三】由，得，
∴，。……………………5分
依题意，有，因此，。…………………10分
∴，，解得或。……………15分
将代入方程，解得。
∴在函数的值域内。
∴函数的最小值为1。…………………………20分
12．已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。
（1）求的取值范围；
（2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。
【解答】（1）设方程为。
由，得………①。
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴，解得，且。
∴的取值范围为。……………5分
（2）设，。则，。又，
∴，。
…………………………10分
∵，
∴时，，
。
由，得，解得或（舍去）。
∴，。……………………………15分
时，，
。
由，得，解得或或，均不符合，舍去。此时，满足条件的不存在。
综上可得，的值为1或。……………………………20分
13．如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。
（1）求证：；
（2）若为中点，求证：。
（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）
【解答】（1）设圆、圆的半径分别为、，
则。……………………5分
（作于，于，则。）
由条件知，、、三点共线，，。
∴，。
∴。…………………10分
（2）由，得，
即。
∴。…………15分
∵为中点，
，
∴，即。
结合，可得。因此，。
∴。…………………………………20分
另解：设的中点为，则由，为中点知，，且。
由，可得，，即。………15分
又。
∴，。
∴。…………………………………20分
14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点为内心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形的个数。
【答案】不妨设点在第一象限。
设，则，直线的斜率。
∴。………………………5分
由、为整点，设，，其中，为正整数。
∴，。
∵内切圆的半径。
又，，
。
∴。。…………………10分
∴。
设，，则。
∴，。
……………………………15分
由，知，，为正整数，又的正因数有个。
∴符合条件的有54组。
∴符合条件的三角形有54个。………………………20分
15．若对任意的正整数，集合的任意（）元子集中，总有3个元素两两互素，求的最小值。
【答案】考察集合（时）的67元子集：
（偶数与被3整除的奇数）。
显然中不存在3个两两互素的元素。
∴不符合要求。……………………5分
引理：对任意的正整数，集合的任意5元子集中，总有3个元素两两互素。
引理的证明：设集合是集合的一个5元子集。
∵，，，，，这6个数中，3奇3偶，恰有1个5的倍数。
∴若中含有3个奇数，则这3个奇数必两两两互素，结论成立。
若中元素为2奇3偶。由于3个偶数中至多有1个为3的倍数，至多有1个为5的倍数。因此，3个偶数中必有1个数既不是3的倍数，也不是5的倍数，它与2个奇数两两互素。结论成立。
∴引理成立。……………………10分
对任意的正整数，将集合划分成如下17个集合：
，
，
……………
，
。………………………15分
显然上述17个集合的两两交集为空集，并集为集合。
设集合是集合的68元子集。
若集合有4个元素来自集合。由于为奇数时，、、两两互素；为偶数时，、、两两互素。因此，中至少有3个元素两两互素。
若集合至多3个元素来自集合。则至少有65个元素来自集合、、…、。根据抽屉原理，至少有5个元素来自同一个集合，不妨设它们来自集合。由前面的引理可知，它们中存在3个两两互素的元素。
∴集合中总有3个两两互素的元素。
∴符合要求，即对任意的正整数，集合的任意68元子集中，总有3个元素两两互素。
∴的最小值为68。…………………………20分
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