2015年湖北省高考数学押题卷
第一部分（选择题共50分）
一、选择题（共10小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的1．已知集合M={2，m}，N={1，2，3}，则“m=3”是“M?N”的（）A．充分而不必条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知i是虚数单位，a，b∈R，a+bi=，则a+b等于（）A．﹣1B．1C．3D．4．下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=B．y=﹣x2+1C．．y=2xD．y=lg|x+1|21cnjy.com
．已知命题p：?x0∈R，cosx0≤，则?p是（）A．?x0∈R，cosx0≥B．?x0∈R，cosx0＞C．?x∈R，cosx≥D．?x∈R，cosx＞
．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，，则当Sn取最小值时，n等于（）A．9B．8C．7D．6．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A．若mα，nα，则mnB．若mα，nβ，且αβ，则mn
C．若αβ，mα，则mβD．若αβ，mn，且mα，则nβ
7．根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 得到的回归方程为．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位
C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位
8．f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，?x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）A．B．C．D．
.设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)(y－)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2+(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为（）
A. B.? C.? D.
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在底面ABCD内，且P到棱AD的距离与到面对角线BC1的距离相等，则点P的轨迹是（）
A．线段B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
选择题11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=．，，,则，，的大小关系是
13．若平面向量，满足，平行于x轴，，则=．
14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线垂直于直线l：x﹣2y﹣5=0，双曲线的一个焦点在l上，则双曲线的方程为．15．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为10，则输出s的值为．
16．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为．17.如图,△是边长为的正三角形,以为圆心,为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于的长为为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于的长为为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于记弧的长为.如此继续以为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于记弧的长为，当弧长时，.
三、解答题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
18．12分）
已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．
（）求函数f（x）的单调递增区间；
（）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．
19．13分）
已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1
（）求数列{an}的通项公式；
（）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．
．13分）
（15分）在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90°，BCD=45°，E为AD上的点，EFBC，垂足为F，沿EF将矩形ABFE折起，使二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，连结AD，AC，BC．
（）若M为FC的中点，求证：AC平面BEM；
（）求直线CD与平面ABFE所成角的正弦值．
2．13分）
已知椭圆C：的焦距为2，长轴长是短轴长的2倍．
（）求椭圆的标准方程；
（）斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，其中A点为椭圆的左顶点，若椭圆的上顶点P始终在以AB为直径的圆内，求实数k的取值范围．
14分）
已知函数，（，为常数）．若在处的切线过点，求的值；[来源:Zxxk.Com]
设函数的导函数为，若关于的有唯一解，求实数的取值范围；
Ⅲ）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围．
一、选择题ACDDCBBDDD
10解：假设正方体边长为1，
作PMAD、PEBC、EFBC1，连接PF，
因为PECC1，BC∩CC1=C，所以PE平面BCB1C1，
则PEBC1，又EFBC1，PE∩EF=E，
所以BC1平面PEF，则BC1PF，
所以PF是P到对角线BC1的距离，
以D为原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立直角坐标系；
设任意一点P（x，y），到直线AD距离为|y|，到BC的距离PE=1﹣y，
在RT△BEF中，BE=1﹣x，EF=，
在RT△PEF中，PF==，
因为P到棱AD的距离与到对角线BC1的距离相等，
所以|y|=，
化简得，（x﹣1）2=﹣4y+2（y），
所以点P的轨迹是抛物线的一部分，
故选：D．
11．tanα=13．，=（﹣1，1）或（﹣3，1）
1．=115．4016．
三、解答题
18．12分）
解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，………………………f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，
=π，即ω=1，……………………………………………………………………………3
则f（x）=sin（2x﹣）﹣1，……………………………………………………………………………4
（）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，………………………则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，kπ+]，k∈Z；………………………………………………（）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2x﹣）=1，………………………2C﹣=，即C=，………………………………………………………………………………………………由正弦定理=得：b=，
把sinB=3sinA代入得：b=3a，………………………………………………………………………………………………由余弦定理及c=得：cosC===，………………………………………………………………………整理得：10a2﹣7=3a2，………………………………………………………………………………………………解得：a=1，则b=3．………………………………………………………………………………………………
19．13分）
（I）解：2Sn+an=1，
当n≥2时，2Sn﹣1+an﹣1=1，………………………………………………………………………………………………2an+an﹣an﹣1=0，化为．………………………………………………………………………当n=1时，2a1+a1=1，a1=．………………………………………………………………………………………………数列{an}是等比数列，首项与公比都为．………………………………………………………………………．………………………………………………………………………………………………………………………（II）证明：bn=
=………………………………………………………………………………………………=………………………………………………………………………………………………8
=，…………………………………………………………………………………………………………………数列{bn}的前n项和为Tn=++…+………………………=．
Tn＜．………………………………………………………………………………………………………………………．13分）
（）证明：连结AF交BE于N，连结MN，……………………………………………………………………………则N是AF的中点，又因为M为FC的中点，
则MNAC，……………………………………………………………………………因为MN?平面BEM，AC?平面BEM，……………………………………………………………………………所以AC平面BEM．……………………………………………………………………………
（）解：过E作EGDC交FC于G，则直线CD与平面ABFE所成角就是EG与平面ABFE所成角，过G作GHBF于H，连结EH，因为EFBF，EFCF，BF∩CF=F，所以，BFC=60°，EF平面BFC，………………………………………………………………………又GH?平面BFC，所以EFGH，则GH平面AEFB，………………………………………………故GEH就是EG与平面ABFE所成角，………………………………………………………………………在直角△EFG中，，
在直角△HFG中，，即，………………………………………………………………………在直角△EGH中，，
即直线CD与平面ABFE所成角的正弦值为．……………………………………………………………………21．13分）
已知椭圆C：的焦距为2，长轴长是短轴长的2倍．
（）求椭圆的标准方程；
（）斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，其中A点为椭圆的左顶点，若椭圆的上顶点P始终在以AB为直径的圆内，求实数k的取值范围．
解：（）根据题意，得；………………………………………………………………………解得a=2，b=1；………………………………………………………………………………………………椭圆的标准方程为+y2=1；………………………………………………………………………（）由（）及题意，知顶点A为（﹣2，0），
直线l的方程为y=k（x+2），……………………………………………………………………与椭圆方程联立，得；
消去y，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0；………………………………………………设点B为（x0，y0），则x0﹣2=﹣，………………………………………………x0=，y0=；………………………………………………………………………又椭圆的上顶点P在以AB为直径的圆内，
APB为钝角，即?＜0；………………………………………………………………………P（0，1），A（﹣2，0），B（，），
=（﹣2，﹣1），=（，）；………………………………………………+＜0，………………………………………………………………………即20k2﹣4k﹣3＜0，解得k∈（﹣，）．………………………………………………………………………14分）
解：（Ⅰ）在处的切线方程为，…………………………………………1
所以，故切线方程为…………………………………………2
当时，，将代入，…………………得．…………………………4分
（Ⅱ），由题意有唯一解………………5
即方程有唯一解．
令，则，…………在区间上是增函数，在区间上是减函数又，…………………………………………故实数的取值范围是．…………………………9分
（Ⅲ）.…………………………………………10
因为存在极值，在上有根即方程在上有根则有……………………11
显然当时无极值不合题意所以方程必有两个不等正根．………………………………………………………记方程的两根为则
,……………………………………13
解得，满足，即
故所求的取值范围是……………14分
|
|
