第5讲二次根式
考点1二次根式的有关概念
二次根式 一般地，形如(①)的式子叫做二次根式. 最简二次根式 必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号).
考点2二次根式的性质
两个重要的性质 ()2=a(a②)；
=|a|= 积的算术平方根 =·(a≥0，b≥0)
商的算术平方根 =(a≥0，b>0)
考点3二次根式的运算
二次根式的加减 先将各根式化为⑤，然后合并被开方数⑥的二次根式. 二次根式的乘法 ·=⑦(a≥0，b≥0) 二次根式的除法 =⑧(a≥0，b＞0) 二次根式的
混合运算 与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算⑨，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).
绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：(a≥0)是常见的三种非负数形式.非负数具有以下两条重要性质：①非负数形式有最小值为零；②几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零.
命题点1二次根式有意义的条件
例1(2014·巴中)要使式子有意义，则m的取值范围是()
A.m>-1B.m≥-1C.m>-1且m≠1D.m≥-1且m≠1
方法归纳：要使组合型的代数式有意义，必须使组合式中每个式子都要有意义.
1.(2014·重庆A卷)在a中，a的取值范围是()
A.a≥0B.a≤0C.a>0D.a<0
2.(2014·武汉)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是()
A.x≥-3B.x＞3C.x≥3D.x≤3
3.(2013·凉山)如果代数式有意义，那么x的取值范围是()
A.x≥0B.x≠1C.x>0D.x≥0且x≠1
命题点2二次根式的运算
例2(2014·荆门)计算：×-4××(1-)0.
【思路点拨】先把各二次根式化成最简二次根式，然后根据运算顺序进行计算.
【解答】
方法归纳：把二次根式被开方数中能开得尽方的因数或因式开方出来，或把被开方数的分母开方出来，化成最简二次根式后再进行运算，运算结果一定要化为最简二次根式.
1.(2014·上海)计算·的结果是()
A.B.C.2D.3
2.(2014·聊城)下列计算正确的是()
A.2×3=6B.+=
C.5-2=3D.=
3.(2013·包头)计算-3+=.
4.(2015·南昌模拟)计算：÷-×+.
1.(2014·达州)二次根式有意义，则实数x的取值范围是()
A.x≥-2B.x＞-2C.x＜2D.x≤2
2.(2013·上海)下列式子中，属于最简二次根式的是()
A.B.C.D.
3.(2014·连云港)计算的结果是()
A.-3B.3C.-9D.9
4.(2014·孝感)下列二次根式中，不能与合并的是()
A.B.C.D.
5.(原创)小马虎做了下列四道题：①+=；②+=2；③=-=5-3=2；④-=-.他拿给好朋友聪聪看，聪聪告诉他只做对了()
A.4道B.3道C.2道D.1道
6.(2014·滨州)估计在()
A.0～1之间B.1～2之间C.2～3之间D.3～4之间
7.(2013·临沂)计算-9的结果是()
A.-B.C.-D.
8.(2014·盐城)使有意义的x的取值范围是.
9.(2014·威海)计算：-×＝.
10.(2013·泰安)化简：(-)--|-3︱=.
11.(原创)某同学把(x≤9)理解为以下几种说法：①是二次根式；②是非负数；③是非负数9-x的算术平方根；④若x=3时，则=±3.那么以上说法正确的序号有.
12.(2014·岳阳)计算：|-|+×+3-1-22.
13.(2014·凉山)计算：()-2-6sin30°-()0++|-|.
14.(2013·巴中)若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足+|b-4|=0，则该直角三角形的斜边长为.
15.(2014·白银)已知x、y为实数，且y=-+4,则x-y=.
16.(原创)观察下面表中的式子，并回答下面的问题.
(1)试写出第n个式子(用含n的代数式表示)，并问这个式子一定是二次根式吗？为什么?
(2)你估计第16个式子的值应在哪两个连续整数之间？试说明理由.
参考答案
考点解读
①a≥0②≥0③a④-a⑤最简二次根式⑥相同⑦⑧⑨乘除
各个击破
例1D
题组训练1.A2.C3.D
例2原式＝2×-4××1
＝2-
＝.
题组训练1.B2.D3.
4.原式=-+
=4-+2
=4+.
整合集训
1.D2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.x≥29.10.-611.①②③
12.原式=+4+-4=1.
13.原式=4-6×-1+-(-)
=4-3-1+-+
=.
14.515.-1或-7
16.(1)第n个式子是：，一定是二次根式.
∵=，n≥1，则n-1≥0，
∴n(n-1)≥0，
即一定是二次根式.
(2)可估计第16个式子的值应大于15小于16.
理由：∵<<，
∴15<<16.
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