第12讲反比例函数
考点1反比例函数的概念
一般地，形如y=(k为常数，k≠①)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数.自变量的取值范围是②.
考点2反比例函数的图象与性质
反比例函数y=(k≠0)的图象是③，且关于④对称.
函数 图象 所在象限 性质
y=(k≠0) k＞0
一、三象限(x、y同号)
在每个象限内，y随x增大而⑤ k＜0
二、四象限(x、y异号)
在每个象限内，y随x增大而⑥ 【易错提示】在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌说k＞0时，y就随x的增大而减小.
考点3反比例函数中k的几何意义
k的几何意义 反比例函数图象上的点(x，y)具有两数之积(xy=k)为⑦这一特点，则过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数⑧.
结论的推导 如图，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=⑨·⑩=?.
∵y=，∴xy=?，∴S=?.
拓展 在上图中，易知S△POM=S△PON=?.所以过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，则以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为常数?.
考点4确定反比例函数的解析式
常用方法 ? 步骤 ①函数解析式为y=(k≠)；②列方程；③解方程确定的值；④确定解析式.
考点5反比例函数的实际应用
步骤 ①根据实际情况建立函数模型；
②利用或其他学科的公式等确定函数解析式；
③根据反比例函数的性质解决实际问题. 【易错提示】在实际问题中，求出的解析式要注意自变量和函数的取值范围.
1.确定点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横坐标代入解析式，求出y的值.若所求值等于纵坐标，则点在函数图象上.若所求值不等于纵坐标，则点不在函数图象上；②把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在函数图象上.若乘积不等于k，则点不在函数图象上.
2.反比例函数值的大小比较时，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”.
3.在一次函数与反比例函数的函数值的大小比较中，要把x的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部分进行分析.
命题点1反比例函数的图象和性质
例1(2013·河北)反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＜-1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A(-1，h)，B(2，k)在图象上，则h＜k；④若P(x，y)在图象上，则P′(-x，-y)也在图象上.其中正确的是()
A.①②B.②③C.③④D.①④
方法归纳：解决反比例函数题，一般采用数形结合的思想，同时注意增减性的条件是“在每个象限内”.反比例函数是中心对称图形，故若(-a，b)在反比例函数y＝图象上，则(a，-b)也在反比例函数图象上.
1.(2014·扬州)若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点P(-2，3)，则该函数的图象不经过的点是()
A.(3，-2)B.(1，-6)C.(-1，6)D.(-1，-6)
2.(2014·无锡)已知双曲线y=经过点(-2,1)，则k的值等于.
3.(2014·南京)已知反比例函数y=的图象经过点A(-2，3)，则当x＝-3时，y＝.
4.(2014·连云港)若函数y=的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则m的值可以是.(写出一个即可)
5.已知反比例函数y=(m-1)的图象在第二、四象限，求m的值，并指出在每个象限内y随x的变化情况.
命题点2反比例函数中k的几何意义
例2(2014·济宁)如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为.
【思路点拨】先确定B点坐标(1，6)，得k；设AD＝t，得E点坐标，代入反比例函数解析式求t.
方法归纳：过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，结合函数图象所在的象限可以确定k的值，反过来，根据k的值，可以确定此矩形的面积.
1.(2013·铜仁)如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y=的图象经过点A，则k的值是()
A.2B.-2C.4D.-4
2.(2014·娄底)如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为.
3.(2014·滨州)如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4.反比例函数y=(x<0)的图象经过顶点C，则k的值为.
4.如图，点A、B在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC,△AOC的面积为6，则k的值为.
5.在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线y=-和y=于A，B两点，P是x轴上任意一点，则△ABP的面积等于.
命题点3确定反比例函数的解析式
例3(2014·湖州)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A(2,5)在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B.
(1)求k和b的值.
(2)求△OAB的面积.
【思路点拨】(1)把点A的坐标代入一次函数、反比例函数解析式，求得k、b的值.
(2)求一次函数与x轴交点，得OB长，进而求得△OAB的面积.
【解答】
方法归纳：求函数解析式，一般先根据题意，找出或求出图象上的相关点，用待定系数法列方程求解.且常常将平面坐标系中三角形的面积问题转化为求线段的长度进而转化为求点的坐标问题.
1.(2014·汕尾)已知反比例函数y=的图象经过点M(2,1).
(1)求该函数的表达式；
(2)当2
2.(2014·台州)已知反比例函数y=，当x＝2时y＝3.
(1)求m的值；
(2)当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围.
3.(2013·梅州)已知，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象都经过点A(a，2).
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)判断点B(2，)是否在该反比例函数的图象上，请说明理由.
命题点4反比例函数的实际应用
例4(2014·嘉兴)实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x刻画；1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y=(k>0)刻画(如图所示).
(1)根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x=5时，y=45，求k的值.
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由.
【思路点拨】(1)利用二次函数的性质找到函数的最大值；根据xy=k，求得k的值；
(2)根据晚上到第二天早上的时间求得到早上7：00某驾驶员血液中的酒精含量，与20毫克/百毫升比较，即可得到他第二天早上7：00能否驾车上班.
【解答】
方法归纳：本题是二次函数和反比例函数所构成的分段函数，并进一步利用反比例函数解决实际问题，解决这类问题的关键是审清题目，理清步骤：先根据点的坐标确定解析式，再根据方程或不等式解决实际问题.
1.(2013·绍兴)教室里的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃后停止加热，水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间x(min)的关系如右图，为了在上午第一节下课时(8:45)能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的()
A.7:20B.7:30C.7:45D.7:50
2.(2014·云南)将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系s=(k是常数，k≠0).已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米.
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式(关系式).
(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
1.(2014·甘孜)在平面直角坐标系中，反比例函数y=的图象的两支分别在()
A.第一、三象限B.第一、二象限
C.第二、四象限D.第三、四象限
2.(2014·株洲)已知反比例函数y=的图象经过点(2,3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是()
A.(-6,1)B.(1,6)C.(2，-3)D.(3，-2)
3.(2013·铜仁)已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为()
4.(2014·昆明)左下图是反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象，则一次函数y=kx-k的图象大致是()
5.(2014·益阳)正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第一、三象限
6.(2013·南京)在同一直角坐标系中，若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象没有公共点，则()
A.k1＋k2＜0B.k1＋k2＞0C.k1k2＜0D.k1k2＞0
7.(2013·苏州)如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数y=(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为()
A.12B.20C.24D.32
8.(2013·无锡)已知双曲线y=经过点(-1，2)，那么k的值等于.
9.一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(cm)是面条粗细(横截面积)x(cm2)的反比例函数，假设其图象如图所示，则y与x的函数关系式为.
10.(2013·枣庄)若正比例函数y=-2x与反比例函数y=图象的一个交点坐标为(-1,2)，则另一个交点的坐标为.
11.(2013·包头)设反比例函数y=，(x1，y1)，(x2，y2)为其图象上两点，若x1＜0＜x2，y1＞y2则k的取值范围是.
12.(2014·衡阳)若点P1(-1,m),P2(-2,n)在反比例函数y=(k>0)的图象上，则mn(填“>”“<”或“=”).
13.若点A(m，-2)在反比例函数y=的图象上，则当函数值y≥-2时，自变量x的取值范围是.
14.(2014·遂宁)已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1，4)、点B(-4，n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△OAB的面积；
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
15.某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走.
(1)假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；
(2)若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
(3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
16.(2014·威海改编)已知反比例函数y＝(m为常数)的图象在一、三象限.
(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过□ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(-2，0).
①求出函数解析式；
②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD＝OP，则P点的坐标为.
17.(2014·遵义)如图，反比例函数y=(k>0)的图象与矩形ABCO的两边相交于E、F两点.若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为.
18.(2014·东营)如图，函数y=和y=-的图象分别是l1和l2.PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为.
19.(2013·自贡)如图，在函数y=(x>0)的图象上有点P1，P2，P3，…，Pn，Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，…，Pn，Pn+1分别作x轴，y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1=，Sn=.(用含n的代数式表示)
20.(2014·内江)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(-4，0)，与y轴交于点C，PB丄x轴于点B，且AC＝BC.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式；
(2)反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形，如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由.
参考答案
考点解读
①0②x≠0③双曲线④原点⑤减小⑥增大⑦常数⑧|k|⑨|y|⑩|x|?|xy|
?k?|k|?|k|?|k|?待定系数法0k反比例待定系数法
各个击破
例1C
题组训练1.D2.-13.24.答案不唯一，如：-2
5.∵y=(m-1)xm2-3是反比例函数，
∴m2-3＝-1，且m-1≠0.解得m=±.
又∵图象在第二、四象限，∴m-1＜0，即m＜1.
∴m=-.
在每个象限内，y随着x的增大而增大.
例22
解析：∵OA＝1，OC＝6，∴B点坐标为(1，6).
∴k＝1×6＝6.
∴反比例函数解析式为y＝.
设AD＝t，则OD＝1＋t，∴E点坐标为(1+t，t).
∴(1＋t)·t＝6.整理得t2＋t-6＝0，
解得t1＝-3(舍去)，t2＝2.
∴正方形ADEF的边长为2.
题组训练1.D2.43.-64.45.4
例3(1)把A(2,5)分别代入y=和y=x+b,得
5=，5=2+b，即k=10，b=3.
(2)由(1)得直线AB的解析式为y=x+3,
∴B点坐标为(-3，0)，∴OB=3.
过点A作AC⊥x轴于点C,
∵点A的坐标为(2，5)，∴AC=5.
∴△OAB的面积=×BO×AC=×3×5=.
题组训练1.(1)∵反比例函数y=的图象经过点M(2,1)，∴k=2，即y=.
(2)
2.(1)∵当x＝2时y＝3，∴3＝，即m＝-1.
(2)由(1)得，反比例函数的解析式为y＝，
∵当x＝3时，y＝2；当x＝6时，y＝1，
且当3≤x≤6时，y随x的增大而减小，
∴函数值的取值范围是1≤y≤2.
3.(1)∵一次函数y=x+1的图象经过点A(a，2)，∴2=a+1，解得a=1.
又反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(a，2)，∴2=，∴k=2.
∴a的值为1，反比例函数的表达式为y=.
(2)∵2×=2，
∴点B(2，)在该反比例函数的图象上.
例4(1)①y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200，
∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200(毫克/百毫升).
②∵当x=5时，y=45，
∴k=xy=45×5=225.
(2)不能驾车上班.
理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，
∴将x=11代入y=，则y=＞20，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班.
题组训练1.A
2.(1)把a＝0.1，s＝700代入s=，得
700=，k=70，s=.
(2)把a＝0.08代入s=，得s＝875.
∴当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶875千米.
整合集训
1.A2.B3.B4.B5.D6.C7.D8.-39.y=（x>0)
10.(1，-2)11.k＜-212.＜13.x≤-2或x>0
14.(1)∵A(1，4)，代入y=，得k=4，
即反比例函数的解析式为y=.
将(-4，n)代入y=得-4n=4，得n=-1.
所以B(-4，-1).
把A(1，4)代入y=x+b得4=b+1,得b=3.
所以y=x+3；
(2)由题意得y=x+3与y轴交点为(0,3)，
∴△OAB的面积=×3×4+×3×1=7.5.
(3)-4＜x＜0或x＞1.
15.(1)y=；
(2)5辆拖拉机每天能运5×12=60（m3），则y=1200÷60=20（天），即需要20天才能运完；
(3)假设需要增加n辆，根据题意，得
8×60+6×12(n+5)≥1200，解得n≥5.
答：至少需要增加5辆.
16.(1)根据题意，得1-2m＞0.解得m＜.
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形，A(0，3)，B(-2，0)，∴D(2，3).
∴函数解析式为y＝.
②（3,2)或(-2,-3)或(-3,-2).
17.8提示：设E点坐标为(a，b)，则k=ab.因为E是AB中点，所以B点坐标为(2a，b).设F点坐标为(2a，h)，则k=2ah，所以h=，所以F是CB中点.所以BE=AE=a，BF=CF=.因为S△BEF=2，所以×a×==2.所以ab=8.故k=8.
18.819.4
20.(1)∵AC＝BC，CO⊥AB，∴AO＝BO.
∵A(-4，0)，∴B(4，0)，∴P(4，2).
∴m＝4×2=8，
即反比例函数的解析式为y＝.
把A(-4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b得
解得
∴一次函数的解析式为y＝x＋1.
(2)存在.
∵点C在一次函数y＝x＋1的图象上，∴C(0,1).
又∵B(4，0)，∴BC的解析式为y＝-x＋1.
∵P点的纵坐标为2，将BC向上平移2个单位的直线解析式为y＝-x＋3，
解方程组得x=4(舍去）或x=8.
当x=8时，y=1.∴D(8,1).
此时PD==,BC==.
即PD＝BC.
∵PD∥BC,
∴四边形BCPD为平行四边形.
∵PC=,PC=BC,
∴四边形BCPD为菱形,
∴D(8,1).
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