第13讲二次函数的图象和性质
考点1二次函数的概念
一般地，形如①(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
考点2二次函数的图象和性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) a a＞0 a＜0 图象 开口方向 抛物线开口向②，并向上无限延伸 抛物线开口向③，并向下无限延伸 对称轴 直线x=- 直线x=- 顶点坐标 (-，) (-，) 最值 抛物线有最低点，当x=-时，y有最小值，y最小值= 抛物线有最高点，当x=-时，y有最大值，y最大值= 增减性 在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而④；在对称轴的右侧，即当x＞-a时，y随x的增大而⑤，简记左减右增 在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而⑥；在对称轴的右侧，即当x＞-时，y随x的增大而⑦，简记左增右减 【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.
考点3二次函数的图象与字母系数的关系
字母或代数式 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向⑧ |a|越大开口越⑩ a＜0 开口向⑨ b b=0 对称轴为?轴 ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴?侧 ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴?侧 c c=0 经过? c＞0 与y轴?半轴相交 c＜0 与y轴?半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有交点(顶点) b2-4ac＞0 与x轴有不同交点 b2-4ac＜0 与x轴交点 特殊关系 当x=1时，y= 当x=-1时，y= 若a+b+c＞0，即当x=1时，y0 若a+b+c＜0，即当x=1时，y0
考点4确定二次函数的解析式
方法 适用条件及求法 一般式 若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为. 顶点式 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次函数为. 交点式 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设所求的二次函数为. 【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.
考点5二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与轴的交点的坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根. 二次函数与不等式 抛物线y=ax2＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c0的解集.
1.二次函数y=(x-h)2+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.
2.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.
3.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程；求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值，最后把所得的数值写成坐标的形式.
命题点1二次函数的图象和性质
例1(2013·内江)若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点坐标为(0，-3)，则下列说法不正确的是()
A.抛物线的开口向上
B.抛物线的对称轴是直线x=1
C.当x=1时，y的最大值为-4
D.抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)
方法归纳：解答此类题首先将点坐标代入函数解析式，确定二次函数的各项系数.然后根据二次函数解析式、图象、性质的相互关系解题.
1.(2014·毕节)抛物线y=2x2，y=-2x2,y=x2的共同性质是()
A.开口向上B.对称轴是y轴
C.都有最高点D.y随x的增大而增大
2.(2013·泰安)对于抛物线y=-(x+1)2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(-1,3)；④x>1时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为()
A.1B.2C.3D.4
3.(2014·白银)二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点()
A.(-1，-1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)
4.(2014·枣庄)已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1
则该二次函数图象的对称轴为()
A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=
命题点2二次函数的图象与字母系数的关系
例2(2014·南充)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2.其中正确的有()
A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤
方法归纳：解答二次函数信息问题时，通常先抓住抛物线对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系特征来求解.
1.(2013·长沙)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是()
A.a＞0B.c＞0C.b2-4ac＞0D.a+b+c＞0
2.(2013·株洲)二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是()
A.-8B.8C.±8D.6
3.(2014·达州)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若(-2，y1),(5,y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.上述4个判断中，正确的是()
A.①②B.①④C.①③④D.②③④
4.(2013·贵阳)已知二次函数y=x2+2mx+2，当x>2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是.
命题点3确定二次函数的解析式
例3(2014·宁波)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0)，B(0，-1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值？
【思路点拨】(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象过B(0，-1)，所以可得c=-1，故二次函数解析式为y=ax2+bx-1.将A、C两点坐标代入即可求得a、b.
(2)令y=0，即可求得D点坐标；
(3)利用描点连线画出y=x+1图象，利用图象决定x的取值范围.
【解答】
方法归纳：(1)待定系数法是求函数解析式的常用方法；(2)两函数图象的交点往往是不等关系的界点.
1.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y=.
2.(2013·湖州)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3，0)，B(-1，0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标.
3.(2013·温州)如图，抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.已知点A的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)求梯形COBD的面积.
1.(2014·维吾尔自治区)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是()
A.开口向下B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(1，2)D.与x轴有两个交点
2.(2014·滨州)下列函数，图象经过原点的是()
A.y=3xB.y=1-2xC.y=D.y=x2-1
3.(2014·荆门)将抛物线y＝x2-6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是()
A.y＝(x-4)2-6B.y＝(x-4)2-2
C.y＝(x-2)2-2D.y＝(x-1)2-3
4.(2014·金华)如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是()
A.-1≤x≤3B.x≤-1C.x≥1D.x≤-1或x≥3
5.(2014·陕西)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()
A.c>-1B.b>0C.2a+b≠0D.9a+c>3b
6.(2014·遵义)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是()
7.(2014·东营)若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为()
A.0B.0或2C.2或-2D.0，2或-2
8.(2014·丽水)写出图象经过点(-1，1)的一个函数的解析式是.
9.(2014·云南)抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为.
10.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是.
11.(2014·扬州)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a-2b+c的值为.
12.(2014·滨州)已知二次函数y=x2-4x+3.
(1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积.
13.(2013·泉州)已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2).
(1)求a的值；
(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小.
14.若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a，b为常数)的图象如下，则a的值为()
A.-2B.-C.1D.
15.(2014·宁波)已知点A(a-2b，2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为()
A.(-3,7)B.(-1,7)C.(-4,10)D.(0,10)
16.(2014·淄博)已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)，其图象过点A(0，2)，B(8，3)，则h的值可以是()
A.6B.5C.4D.3
17.(2014·威海)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝-1；③当x＝1时，y＝2a；④am2+bm+a＞0(m≠-1).其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
18.(2014·菏泽)如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于E，则＝.
19.(2013·潍坊)如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB=4，点D(2，)在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2(k≠0)的图象，点O是坐标原点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值.
20.(2013·宁夏)如图,抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x=-.
(1)求抛物线的解析式；
(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标.
参考答案
考点解读
①y=ax2+bx+c②上③下④减小⑤增大⑥增大⑦减小⑧上⑨下⑩小
?y?左?右?原点?正?负唯一两个不同没有a+b+c
a-b+c＞＜y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)x
横＞＜
各个击破
例1C
题组训练1.B2.C3.D4.D
例2D
解析:∵图象开口向下，∴a<0.∵对称轴x=-=1,∴b=-2a，得b＞0，2a+b=0.∵坐标轴与抛物线交点在y轴正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①错，②对；排除A;∵对称轴是x=1，∴y最大值为a+b+c，当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c，可知a+b+c>am2+bm+c，故当m≠1时，a+b＞am2+bm，故③对，可得答案D.
题组训练1.D2.B3.B4.m≥-2
例3(1)∵二次函数的图象过B(0，-1)，
∴二次函数解析式为y=ax2+bx-1.
∵二次函数的图象过A(2,0)和C(4,5)两点，
∴解得
∴y=x2-x-1.
(2)当y=0时，x2-x-1=0，
解得x=2或x=-1，
∴D(-1,0).
(3)如图，当-1＜x＜4时一次函数的值大于二次函数的值.
题组训练1.-x2+4x-3
2.(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3，0)，B(-1，0)，
∴解得
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，4).
3.(1)把A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4，得
0=4a+4，∴a=-1.
∴y=-(x-1)2+4.
(2)当x=0时，y=3，∴OC=3.
∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴是直线x=1，∴CD=1.
∵A(-1,0)，∴B(3,0)，∴OB=3.
∴S梯形COBD==6.
整合集训
1.C2.A3.B4.D
5.D提示：因为抛物线与y轴的交点(0，c)在(0，-1)的下方，所以c＜-1,所以选项A错；对称轴为x=1，所以=-1,所以b=-2a<0，2a+b=0，所以选项B、C错.
6.D7.D8.答案不唯一，如：y=-x，y=x2等9.(1,2)10.x>11.0
12.(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1.
∴其函数的顶点C的坐标为(2，-1)，
∴当x<2时，y随x的增大而减小；
当x>2时，y随x的增大而增大.
(2)令y=0，则x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.
∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)；
当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0).
∴AB=|1-3|=2.
过点C作CD⊥x轴于D，则
△ABC的面积=AB·CD=×2×1=1.
13.(1)∵抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2)，
∴a(1-3)2+2=-2.解得a=-1.
(2)由(1)得a=-1＜0，抛物线的开口向下.
∵对称轴为x=3，
∴在x＜3时，y随x的增大而增大.
又∵m＜n＜3，∴y1＜y2.
14.D
15.D提示：由题意，得2-4ab=(a-2b)2+4(a-2b)+10，整理得(a+2)2+4(b-1)2=0,∴a=-2,b=1,∴点A(-4，10).又抛物线的对称轴为x=-2，∴点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为(0，10).
16.D提示：∵a>0,∴抛物线开口向上，对称轴为x=h，当对称轴在A、B左侧时，h<0，此时4个选项都不满足.当对称轴位于A、B之间时，由二次函数的对称性知，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，所以x=h<4，故选D.
17.C提示：①②④正确.
18.3-
19.(1)∵抛物线关于直线x=1对称，AB=4，
∴A(-1，0)，B(3，0).
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).
又点D(2，)在抛物线上，
∴=a·(2+1)·(2-3).解得a=-.
∴y=-(x+1)(x-3).
即抛物线的解析式为y=-x2+x+.
(2)由(1)知C(0，).∵D(2,),∴CD∥AB.
令kx-2=，得l与CD的交点F(，).
令kx-2=0，得l与x轴的交点E(，0).
由S四边形OEFC=S四边形EBDF，得OE+CF=DF+BE.
即+=(3-)+(2-).解得k=.
20.(1)依题意，设抛物线的解析式为y=a(x+)2+k.
由A(2，0)，C(0，3)得
解得
∴抛物线的解析式为y=-(x+)2+.
(2)当y=0时，有-(x+)2+=0.
解得x1=2，x2=-3.∴B(-3,0).
∵△MBC为等腰三角形，则
①当BC=CM时，M在线段BA的延长线上，不符合题意.即此时点M不存在；
②当CM=BM时，∵M在线段AB上，
∴M点在原点O上.即M点坐标为(0,0)；
③当BC=BM时，在Rt△BOC中,BO=CO=3,
由勾股定理得BC==3，
∴BM=3.
∴M点坐标为(3-3,0).
综上所述，M点的坐标为(0,0)或(3-3,0).
-2-
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