第14讲二次函数的实际应用
考点1实物抛物线
步骤 ①建立平面直角坐标系；②利用①法确定抛物线的解析式；③利用二次函数的性质解决实际问题. 常见类型 桥梁、隧道、体育运动等 【易错提示】当题目中没有给出坐标系时，坐标系选取的不同，所得解析式也不同.
考点2二次函数在销售问题中的应用
步骤 ①读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找②；②确定函数解析式；③确定二次函数的③，解决实际问题. 【易错提示】在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.
考点3二次函数在面积问题中的应用
步骤 ①根据几何知识探求图形的④；②根据面积关系式确定函数解析式；③确定二次函数的⑤，解决问题.
考点4灵活选用适当的函数模型
步骤 ①由题目条件在坐标系中描出点的坐标；②根据点的坐标判断⑥；③由⑦确定函数解析式；④将其他各点或对应值代入所求解析式，检验函数类型确定得是否正确；⑤利用所求函数的性质解决问题. 【易错提示】建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数解析式进行验证，防止出现错解.
1.二次函数在实际生活中有着广泛的应用，解题时可采用列表、画图象等方法辅助思考.
2.应用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值时，一定要考虑顶点(横坐标、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围之内.
命题点1实物抛物线
例1(2014·盐城)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.
(1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
【思路点拨】(1)根据h=2.6和函数图象经过点(0，2)，确定二次函数的解析式；
(2)令x=9，求y值，若y≥2.43，则球能过网，反之则不能.令y=0，求x值.若x≤18，则球不出界，反之就会出界；或者令x=18求y，若y＞0则出界，否则不出界;
(3)把二次函数化为只含有字母系数h的形式.然后令x=9时y＞2.43，且当x=18时y≤0，从而确定h的取值范围.
【解答】
方法归纳：利用二次函数解决实物抛物线形问题时，要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案.
1.(2013·仙桃)2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-x2+x+，则羽毛球飞出的水平距离为米.
2.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间ｔ(单位：时)的变化满足函数关系
h=-(t-19)2+8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
命题点2二次函数在销售问题中的应用
例2(2014·滨州模拟)某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件.
(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？
(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？
【思路点拨】(1)根据定价，算出对应销售量，然后求当月利润；
(2)每月的销售利润=单件利润×月销售量，得二次函数关系式，然后转化为顶点式求最大利润.
【解答】
方法归纳：本题最后问的是售价，而关系中给出的是涨价，一定要分清二者的关系，这是一个易错点.这类题一般设涨价或者降价为x元，得二次函数关系式.最后将结果化到售价即可.
1.(2013·衢州)某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多.
2.某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
命题点3二次函数在面积问题中的应用
例3(2013·莆田)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB=4米，∠ABC=60°.设AE=x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S米2.
(1)求S与x的函数关系式；
(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元／米2，黄色花草的价格为40元／米2.当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号).
【思路点拨】(1)连接AC，BD，根据轴对称的性质，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF为等边三角形，从而求出EF.AC与EH交于M，在Rt△AEM中求出EM，继而得出EH，这样即可得出S与x的函数关系式；
(2)根据(1)的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为W，则可得出W关于x的二次函数关系式，利用配方法求最值即可.
【解答】
方法归纳：解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，但要注意x的取值范围.
1.小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?
2.(2013·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180cm，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)
命题点4灵活选用适当的函数模型
例4(2013·武汉)科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表).
温度x/℃…-4-20244.5…植物每天高度
增长量y/mm…414949412519.75…由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长最大？
(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？直接写出结果.
【思路点拨】(1)利用自变量可取0，排除反比例函数；利用三点不共线，排除一次函数；
(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答；
(3)利用二次函数与一元一次方程以及一元二次不等式关系求解.
【解答】
方法归纳：此题是一道二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.
(2013·乌鲁木齐)某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表：
价格x(元/个)…30405060…销售量y(万个)…5432…同时，销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.
(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式；
(2)求得该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
(3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()
A.4米B.3米C.2米D.1米
2.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是()
A.5月B.6月C.7月D.8月
3.一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为()
A.5元B.10元C.0元D.3600元
4.(2014·株洲模拟)株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高(中柱)10米，于是他建立如图2的坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了，你认为中柱右边第二根支柱的高度是()
A.7米B.7.6米C.8米D.8.4米
5.（2013·山西）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为m.
6.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2x2+80x+750，由于某种原因，售价只能满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是元.
7.将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段,并把每段铁丝围成圆,设所得两圆半径分别为r1和r2.
(1)求r1与r2的关系式,并写出r1的取值范围;
(2)将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，求S的最小值.
8.如图是一座桥,桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.
(1)求此桥拱线所在抛物线的解析式；
(2)桥边有一艘船,浮在水面部分高4m，最宽处12m，试探索此船能否开到桥下?说明理由.
9.(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90 售价(元/件) x+40 90 每天销量(件) 200-2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多少？
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.
10.星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围.
11.(2013·青岛)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件.试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？
(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元.
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.
参考答案
考点解读
①待定系数②等量关系③最值④面积关系式⑤最值⑥函数类型⑦待定系数法
各个击破
例1∵点(0，2)在y=a(x-6)2+h的图象上，
∴2=a(0-6)2+h，a=，
函数可写成y=(x-6)2+h.
(1)当h=2.6时，y与x的关系式是
y=-(x-6)2+2.6；
(2)球能越过球网，球会出界.
理由：当x=9时，y=-×(9-6)2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；
当y=0时，-(x-6)2+2.6=0，解得x1=6+2＞18，x2=6-2(舍去)，故球会出界.
另解：当x=18时，y=-×(18-6)2+2.6=0.2＞0，所以球会出界.
(3)由球能越过球网可知，当x=9时，y=+h＞2.43，①
由球不出边界可知，当x=18时，y=8-3h≤0，②
由①、②知h≥，所以h的取值范围是h≥.
题组训练1.5
2.(1)依题意有顶点Ｃ的坐标为(0，11)，点Ｂ的坐标为(8，8)，设抛物线解析式为y=ax2+c，有
解得
∴抛物线解析式为y=x2+11.
(2)令-(t-19)2+8=11-5，解得t1=35，t2=3.
因为-<0，所以当3≤ｔ≤35时，水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为35-3=32(时).
答：禁止船只通行时间为32小时.
例2(1)获利：(30-20)×[105-5×(30-25)]=800（元）.
答：当售价定为30元时，一个月可获利800元；
(2)设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，
由题意，得y=(x-20)[105-5(x-25)]=-5x2+330x-4600=-5(x-33)2+845，
当x=33时，y的最大值为845，
故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元.
题组训练1.10
2.(1)根据题意，得y=(60-50+x)(200-10x)，
整理，得y=-10x2+100x+2000(0≤x≤12)；
(2)由(1)得y=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250，
当x=5，即每件商品的售价定为65元时利润最大，最大月利润为2250元.
例3(1)连接AC，BD.AC与EH的交点为M.
∵花坛为轴对称图形，
∴EH∥BD，EF∥AC.
∴△BEF∽△BAC.
∵∠ABC=60°，∴△ABC，△BEF是等边三角形.
∴EF=BE=AB-AE=4-x.
在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
则EM=AE·cos∠AEM=x.
∴EH=2EM=x.
∴S=EH·EF=x·(4-x).
即S=-x2+4x.
(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜，
∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低.
又∵S=-x2+4x=-(x-2)2+4，
∴当x=2时，S最大=4.易得S四边形ABCD=8.
此时四个三角形的面积为8-4=4(米2).
∴最低总费用为：20×4+40×4=240(元).
答：当x=2时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用是240元.
题组训练1.(1)S=×x(40-x)=-x2+20x.
(2)S=-(x-20)2+200.
即当x=20时，这个三角形的面积最大，最大面积是200cm2.
2.根据题意，得y=20x(-x)，整理，得
y=-20x2+1800x.
∵y=-20x2+1800x=-20(x-45)2+40500，
∵-20＜0，
∴当x=45时，函数有最大值，y最大值=40500，
即当底面的宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大为40500cm3.
例4(1)选择二次函数，因为当x=0时，y=49，所以c=49.所以设y=ax2+bx+49，得
解得
∴y关于x的函数关系式是y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由：
∵点(0，49)不可能在反比例函数图象上，
∴y不是x的反比例函数；
∵点(-4，41)，(-2，49)，(2，41)不在同一直线上，∴y不是x的一次函数.
(2)由(1)，得y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50.
∵a=-1＜0，∴当x=-1时，y有最大值为50，
即当温度为-1℃时，这种植物每天高度增长量最大.
(3)∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，
∴平均每天该植物高度增长量超过25mm，
当y=25时，-x2-2x+49=25，
整理，得x2+2x-24=0，解得x1=-6，x2=4，
∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在-6℃＜x＜4℃.
题组训练(1)经描点、连线可知，表中的y与x之间的对应关系为一次函数关系，设y=kx+b，由题意得
解得
∴y与x的函数解析式为y=-0.1x+8.
(2)由题意，得
z=(x-20)y-40=(x-20)(-0.1x+8)-40
=-0.1x2+10x-200=-0.1(x-50)2+50，
∴当x=50时，z最大值=50.
即z与x的函数解析式为z=-0.1x2+10x-200.
销售价格定为50元时净得利润最大，最大值是50万元.
(3)当z=40时，-0.1(x-50)2+50=40.
解得x=40或60.
又∵该公司要求净得利润不能低于40万元，
∴40≤x≤60.
又∵还需考虑销售量尽可能大，即y尽可能大，x尽可能小，∴x=40.
即销售价格x(元/个)的取值范围是40≤x≤60，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个.
整合集训
1.A2.C3.A4.D5.486.1550
7.
(1)依题意得2πr1+2πr2=16π,
化简得r1+r2=8,0
(2)两圆面积和S=πr12+πr22=π(r12+r22)=π［r12+(8-r1)2］=2π(r12-8r1+32)=2π［(r1-4)2+16］,
当r1=4时，面积和有最小值32π平方厘米.
8.(1)设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+8，又抛物线过点(12，0)，
∴0=a×122+8，故a=-，
所以抛物线的解析式为y=-x2+8；
(2)当x=6时，代入抛物线的解析式为
y=-×(6)2+8,得y=4，
所以从理论上讲，此渔船刚好能驶入桥拱下纳凉.
9.(1)
(2)当1≤x<50时，y=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050,
∵-2<0,
∴当x=45时，y有最大值，最大值为6050元;
当50≤x≤90时，y=-120x+12000,
∵-120<0,∴y随x的增大而减少.
∴当x=50时，y有最大值，最大值为6000元.
∴销售该商品第45天时，每天销售利润最大，最大利润为6050元.
(3)41天.
10.(1)y=30-2x(6≤x＜15).
(2)设矩形苗圃园的面积为S，则
S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x=-2(x-7.5)2+112.5，
由(1)知，6≤x＜15，
∴当x=7.5时，S最大值=112.5，
即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5.
(3)∵这个苗圃园的面积不小于88平方米，即
-2(x-7.5)2+112.5≥88，
由图象知4≤x≤11.
∴x的取值范围为4≤x≤11.
11.(1)w＝(x-20)[250-10(x-25)]＝-10(x-20)(x-50)＝-10x2＋700x-10000.
(2)∵w＝-10x2+700x-10000＝-10(x-35)2＋2250，
∴当x＝35时，w取到最大值2250，
即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元.
(3)∵w＝-10(x-35)2＋2250，∴函数图象是以x＝35为对称轴且开口向下的抛物线.
∴对于方案A，需20＜x≤30，此时图象在对称轴左侧(如下图)，w随x的增大而增大，
∴x＝30时，w取到最大值2000.
∴当采用方案A时，销售单价为30元可获得最大利润为2000元.
对于方案B，45≤x＜49，此时图象位于对称轴右侧(如下图)，∴w随x的增大而减小，
故当x＝45时，w取到最大值1250，
∴当采用方案B时，销售单价为45元可获得最大利润为1250元.
两者比较，方案A的最大利润更高.
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