第18讲锐角三角函数
考点1锐角三角函数的概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则∠A的
正弦 sinA== 余弦 cosA== 正切 tanA==
考点2特殊角三角函数值
三角函数 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1
考点3解直角三角形
解直角三角形常用的关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则 三边关系 a2+b2=c2 两锐角关系 ∠A+∠B=90°
边角关系 sinA=cosB=
cosA=sinB=
tanA=
1.特殊角的三角函数的记忆可借助一副三角板：含30°角的三角板三边比为1∶∶2;含45°角的三角板三边比为1∶1∶.
2.在运用三角函数的定义建立方程时，选好三角函数是关键，选好三角函数的一般规律是：“有斜用弦(正、余弦)，无斜用切(正切)”.
命题点1锐角三角函数的意义
例1(2014·广州)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=()
A.B.C.D.
方法归纳：解答本题的关键是结合网格特征正确理解锐角三角函数的概念.
1.(2014·汕尾)在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=,则cosB的值是()
A.B.C.D.
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则sinB的值是()
A.B.C.D.
3.如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是.
命题点2特殊角的三角函数值
例2(2014·舟山)计算：+()-2-4cos45°.
【解答】
方法归纳：解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值和实数运算法则.
1.(2014·白银)△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=,cosB=,则∠C=.
2.(2013·孝感)式子2cos30°-tan45°-的值是()
A.2-2B.0C.2D.2
命题点3解直角三角形
例3(2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则AB的长为.
【思路点拨】结合题中条件，本题通过过点C作CD⊥AB，把它转化为直角三角形问题,运用解直角三角形知识来求解.
方法归纳：在一个直角三角形中，已知一边和一锐角，可以运用已知锐角的三角函数求出未知边的长.
1.(2013·牡丹江)在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为.
2.(2014·重庆B卷)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA=,求sinB+cosB的值.
3.(2013·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1.求BC的长.
命题点4解直角三角形的应用
例4(2014·自贡)如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度.(最后结果精确到0.1米，参考数据：=1.7)
【思路点拨】要求CD的长，必须求出DE、CE的长，可以通过过B点作BE⊥DC于点E，分别构造Rt△BCE和Rt△BDE，又因为∠CBE=30°，∠DBE=45°，BE=2.7米，所以可以运用解直角三角形来解答.
【解答】
方法归纳：通过作垂线将实际问题构造双直角三角形问题，然后利用解直角三角形得知识来解决实际问题.
1.(2014·湘潭)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线l上距离D点多远的C处开挖？(≈1.414，精确到1米)
2.(2014·荆门)钓鱼岛自古以来就是中国的领土.如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向.若甲、乙两船分别沿AC、BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时、18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处？(参考数据：cos59°≈0.52,sin46°≈0.72)
3.(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一个平面上).求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离.
1.(2013·天津)tan60°的值等于()
A.1B.C.D.2
2.(2013·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是()
A.B.C.D.
3.(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是()
A.9mB.6mC.6mD.3m
4.(2014·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,tanA=,则BC的长是()
A.2B.8C.2D.4
5.(2014·滨州)在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为()
A.6B.7.5C.8D.12.5
6.(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为()
A.B.C.D.
7.(2014·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是.
8.(2013·杭州)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是.(只需填上正确结论的序号)
9.(2014·嘉兴)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米(用含α的代数式表示).
10.(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为m(结果保留根号).
11.(2014·内江)计算：2tan60°-|-2|-+()-1.
12.(2014·重庆A卷)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值.
13.(2014·昆明)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC为22米，求旗杆CD的高度.(结果精确到0.1米.参考数据：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62)
14.(2014·日照)如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？(参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈)
15.(2014·巴中)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.(精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)
16.(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是()
A.B.C.D.
17.(2013·济南)已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于()
A.B.C.D.
18.(2014·遂宁)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1=;sin2A2+sin2B2=;sin2A3+sin2B3=;
(1)观察上述等式.猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°.都有：sin2A+sin2B=.
图4(2)如图4,在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想.
(3)已知：∠A+∠B=90°,且sinA=,求sinB.
19.(2013·聊城)如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的点B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住.为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处.已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离AD=2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M距D点3米，且点M在DE上.
(参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)？
参考答案
各个击破
例1D
题组训练1.B2.B3.
例2原式=2+4-4×=2+4-2=4.
题组训练1.60°2.B
例33＋
题组训练1.6
2.在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝，
∴AD＝4，∴BD＝AB-AD＝8，
在Rt△BCD中，BC＝＝10，
∴sinB＝＝，cosB＝=.
∴sinB＋cosB＝.
3.∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC.
在Rt△ABD中，∵sinB=ADAB=，AD=1，
∴AB=3，∴BD==2.
∵在Rt△ADC中，∠C=45°，∴CD=AD=1.
∴BC=2+1.
例4过B点作BE⊥DC于E点，DC的延长线交地面于F.
∵BA⊥AF，DF⊥AF，
∴四边形ABEF为矩形，BE=2.7.
在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，tan∠CBE=,
∴CE=BE·tan30°=9310；
在Rt△BDE中，∠DBE＝45°，BE=2.7,
∴DE=2.7，DC=2.7-≈1.2.
答：塑像CD的高度约为1.2米.
题组训练1.∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°.
∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°,∴∠D=45°,
∴CB=CD.
在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，
∴2CD2=8002，CD=400≈566(米).
答：直线l上距离D点566米的C处开挖.
2.过C作CD⊥AB于D，
设CD=h(海里),两船从A、B到C的时间分别是t甲、t乙(小时).
则∠ACD=59°,∠CBD=90°-44°=46°.
在Rt△ACD中，cos59°==≈0.52,
则AC=.
在Rt△BCD中，sin46°==≈0.72,
则BC=.
∴t甲===,
t乙===.
∵12.96>10.4,
∴t甲>t乙，即乙船先到达C处.
3.过A作AD⊥BC于D，则AD的长度即是A到岸边BC的最短距离.
在Rt△ACD中，∠ACD=45°.
设AD=x,则CD=AD=x.
在Rt△ABD中，∠ABD=60°.
由tan∠ABD=得tan60°=,
∴BD==.
又BC=4,即BD+CD=4,
∴+x=4,解得x=6-2.
即小岛上标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离为(6-2)公里.
整合集训
1.C2.C3.B4.A5.A6.D7.8.②③④9.7tanα10.(5+5)
11.原式＝2+-2-3+3＝1.
12.∵AD⊥BC，∴tan∠BAD=.
∵tan∠BAD=，AD=12，∴BD=9.
∴CD=BC-BD=14-9=5.
∴AC===13.
∴sinC==.
13.过点B作BE⊥CD于E.
在Rt△DEB中，∠DEB=90°,
BE=AC=22米,
tan32°=,
∴DE=BEtan32°≈22×0.62=13.64(米).
又∵EC＝AB＝1.5米,
∴CD=CE+ED=15.14≈15.1(米).
答：旗杆CD的高度为15.1米.
14.过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC为x海里.
在Rt△APC中，∵tan∠A=，
∴AC==.
在Rt△PCB中，∵tan∠B=，
∴BC==.
∵AC＋BC=AB=21×5，
∴+=21×5，解得x=60.
∵sin∠B=，
∴PB===60×=100(海里).
∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里.
15.如图，分别过点B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足分别为E、F，
由题意知BE=CF=20，BC=EF=6，∠D=30°，
在Rt△ABE中，i==，即=，
∴AE=50.
在Rt△CDF中，tan30°=，即=，
∴DF=20≈34.6.
∴AD=AE+EF+FD=50+6+34.6=90.6(米）.
16.D17.C
18.1;1;1.
(1)1.
(2)∵sinA=，sinB=，a2+b2=c2.
∴sin2A+sin2B=()2+()2==1.
(3)∵sinA=，sin2A+sin2B=1,
∴sinB===.
19.(1)能看到.
依题意得∠AGC=53°，∠GFD=∠GCA=37°，
∴DG=DFtan37°≈3米=DM.
因此这只猫头鹰能看到这只老鼠.
(2)∵AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米），
∴CG=AG÷sin37°≈5.7÷0.60=9.5(米).
因此猫头鹰至少要飞约9.5米.
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