第七单元图形变换
第24讲图形的平移、对称与旋转
考点1图形的平移
定义 在平面内，将一个图形沿某个①移动一定的②，这样的图形运动称为平移. 性质 1.对应线段③(或共线)且相等，对应点连线④且平行(或共线)；
2.平移前后的图形形状和大小都没有发生变化(即两个图形⑤).
考点2轴对称与轴对称图形
轴对称 轴对称图形 定义 把一个图形沿某一条直线折叠，如果能够与另一个图形⑥，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是⑦，两个图形的对应点叫做对称点. 如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分能够完全⑧，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的⑨. 区别 轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系. 轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形. 轴对称的性质 1.对称点的连线被对称轴⑩；
2.对应线段?；
3.对应线段或延长线段的交点在?上；
4.成轴对称的两个图形?.
考点3图形的旋转
定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 性质 1.对应点到旋转中心的距离?；
2.任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于?；
3.旋转前后的图形?. 【易错提示】在旋转过程中，相等的角有对应角和旋转角，不要把两者混淆.
考点4中心对称与中心对称图形
中心对称 中心对称图形 定义 把一个图形绕着一点旋转后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫做其对称中心，旋转前后重合的点叫做对称点. 把一个图形绕着某点旋转后，能与其自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做. 区别 中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系. 中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形. 中心对称的性质 1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被对称中心；
2.成中心对称的两个图形.
图形的轴对称或旋转问题，应充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，在旋转中角的大小不变，线段的长短不变.
命题点1轴对称图形与中心对称图形的识别
例1(2014·德州)下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()
方法归纳：解答这类题的关键是明确这两种对称图形的特征与区别：轴对称图形至少能找到一条对称轴，对应点连线的垂直平分线为对称轴；中心对称图形有对称中心，对应点连线的交点为对称中心.
1.(2014·成都)下列图形中，不是轴对称图形的是()
2.(2013·黄冈)随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是()
3.(2013·呼和浩特)观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.(2014·巴中)下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
命题点2图形变换的有关计算
例2(2014·遂宁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C,使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为()
A.30°B.60°C.90°D.150°
【思路点拨】根据旋转的特征可知CA=CA′，从而得到∠CAA′=∠CA′A，由已知条件∠ACB=90°,∠ABC=30°可求得∠CAA′=60°，由此可求得旋转角∠ACA′的大小.
方法归纳：图形变换的有关计算问题关键是运用图形变换主要特征，如旋转前、后的两个三角形全等，利用全等的性质就可以求出线段的长或角的度数.
1.(2013·玉溪)如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为()
A.30°B.45°C.90°D.135°
2.(2015·泉州模拟)如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1.若BC＝3，S△PB1C=，则BB1＝.
3.(2013·青海)如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于G，已知∠EFG=56°，那么∠BEG=.
命题点3图形变换的作图
例3(2014·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(-2，4)，B(-2,1)，C(-5,2).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2，得到对应的点A2、B2、C2，请画出△A2B2C2；
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即S△A1B1C1∶S△A2B2C2=(不写解答过程，直接写出结果).
【思路点拨】(1)根据轴对称的性质，作出每一个顶点关于y轴的对称点，连接即可；
(2)根据要求写出A2、B2、C2的坐标，在坐标系中找到点A2、B2、C2，并依次连接即可；
(3)根据相似三角形的性质求解即可.
【解答】
方法归纳：旋转变换作图题的关键是根据平移、旋转、对称、位似的性质，抓住对称轴、平移的方向、平移的距离、旋转中心、旋转方向、旋转角、位似比等基本要素，才能正确绘制出相应图形的变换图形.
1.(2014·聊城)如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°，得到△A1B1C1，则A1，B1，C1的坐标分别是()
A.A1(-4，-6)，B1(-3，-3)，C1(-5，-1)
B.A1(-6，-4)，B1(-3，-3)，C1(-5，-1)
C.A1(-4，-6)，B1(-3，-3)，C1(-1，-5)
D.A1(-6，-4)，B1(-3，-3)，C1(-1，-5)
2.(2013·广州)在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是()
A.向下移动1格B.向上移动1格C.向上移动2格D.向下移动2格
3.把一张正方形纸片如图①，图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是()
4.(2014·丽水)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.
(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；
(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积.
1.(2014·泰安)下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是()
A.1B.2C.3D.4
2.(2014·日照)下列图形中，是中心对称图形的是()
3.(2014·南京)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
4.(2013·南昌)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为()
A.60°B.75°C.85°D.90°
5.(2013·晋江)如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF.将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是()
A.45°B.60°C.90°D.120°
6.(2014·滨州)如图，如果△ABC将其顶点A先向下平移3格，在向左平移1格到达A′点，连接A′B，那么线段A′B与线段AC的关系是()
A.垂直B.相等C.平分D.垂直且平分
7.如图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为()
A.3B.2C.2D.2
8.(2014·南充)如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是()
A.πB.13πC.25πD.25
9.(2013·枣庄)在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是.
10.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是.
11.(2013·广州)如图，Rt△ABC的斜边AB=16,Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为.
12.(2014·巴中)如图，已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AO1B1，则点B1的坐标是.
13.(2013·凉山)如图，△ABO与△CDO关于点O中心对称，点E，F在线段AC上，且AF=CE.求证：FD=BE.
14.(2013·福州)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-2，0)，等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是度；
(2)连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数.
15.(2014·凉山)如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).
(1)把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；
(3)如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过(1)、(2)变换的路径总长.
16.(2014·泰安)将两个斜边长相等的三角形纸片如图1放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°，把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′.如图2，连接D′B，则∠E′D′B的度数为()
A.10°B.20°C.7.5°D.15°
17.如图，A、B的坐标分别为(1，0)、(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，A1、B1的坐标分别为(2，a)、(b，3)，则a+b＝.
18.如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立.
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长.
参考答案
考点解读
①方向②距离③平行④相等⑤全等⑥重合⑦对称轴⑧重合⑨对称轴
⑩垂直平分?相等?对称轴?全等?相等?旋转角?全等180°
180°对称中心对称中心平分全等
各个击破
例1D
题组训练1.A2.A3.C4.C
例2B
题组训练1.C2.13.68°
例3(1)(2)如图所示.
(3)1∶4.
题组训练1.A2.D3.C
4.(1)如图.
(2)由图可知，线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积就是扇形B′AB的面积，其中∠B′AB=90°，AB==5，
∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积为：π×52=π.
整合集训
1.C2.B3.C4.C5.C6.D7.B8.A9.②10.(0,1)11.812.(7，3)
13.证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴△ABO≌△CDO.∴AO=CO，BO=DO.
又∵AF=CE，∴AO-AF=CO-CE，即OF=OE.
∵∠FOD=∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS).
∴FD=BE.
14.(1)2；y轴；120.
(2)连接CD.
∵△AOC≌△OBD，∴AC=OD.
∵△AOC，△OBD都是等边三角形，
∴∠CAO=∠DOB=60°.
∴AC∥OD.∴四边形AODC是平行四边形.
又∵AC=OA，∴四边形AODC是菱形.
∴AD⊥OC.∴∠AEO=90°.
15.(1)连接AA1，然后从C点作AA1的平行线且A1C1=AC.同理找到B1点.
(2)如图.
(3)点B的路径包括线段BB1和长，
BB1==3，
l==π，
∴路径总长为3+π.
16.D17.2
18.(1)BD=CF成立.
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°.
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，
∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∴△BAD≌△CAF(SAS).
∴BD=CF.
(2)①证明：设BG交AC于点M.
∵△BAD≌△CAF(已证)，∴∠ABM=∠GCM.
∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG.
∴∠BGC=∠BAC=90°.∴BD⊥CF.
②过点F作FN⊥AC于点N.
∵在正方形ADEF中，AD=，
∴AN=FN=AE=1.
∵在等腰直角△ABC中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，BC==4.
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==.
∴在Rt△ABM中，
tan∠ABM==tan∠FCN=.
∴AM=×AB=.
∴CM=AC-AM=4-=，
BM==.
∵△BMA∽△CMG，∴=.
∴=.∴CG=.
∴在Rt△BGC中，BG==.
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