第25讲图形的相似
考点1相似图形的有关概念
相似图形 ①相同的图形称为相似图形. 相似多边形 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别②，边③，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比 相似多边形对应④的比叫做相似比. 相似三角形 两个三角形的三个角分别⑤，三条边⑥，则这两个三角形相似.当相似比等于1时，这两个三角形⑦.
考点2比例线段
比例线段 定义 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段. 基本性质 若=，则ad=bc.
当b=c时，b2=ad，那么b是a、d的比例中项. 黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且==≈0.618，那么点C叫做线段AB的黄金分割点. 【易错提示】求两条线段的比时，对这两条线段要统一长度单位.
考点3平行线分线段成比例
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段⑧. 推论 ⑨.
考点4相似三角形的判定
判定1 ⑩于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 判定2 三边?的两个三角形相似. 判定3 两边?且夹角?的两个三角形相似. 判定4 两角分别?的两个三角形相似. 判定5 满足斜边和一条直角边?的两个直角三角形相似.
考点5相似三角形的性质
性质1 相似三角形的对应角?，对应边. 性质2 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于. 性质3 相似三角形面积的比等于相似比的.
考点6位似
定义 如果两个图形不仅是图形，而且对应顶点的连线相交于，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似，这时的相似比又称为比. 性质 1.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(位似比).
2.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标的比等于. 【易错提示】两个位似图形的位似中心可能在图形内部、外部、边上或顶点上.
判定三角形相似的几条思路：
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理.
(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定4)或再找夹边成比例(用判定3).
(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等.
(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例.
(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.
命题点1相似三角形的判定
例1(2013·益阳)如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
【思路点拨】在△ABD和△CBE中，有一个公共角，再根据等腰三角形三线合一得出AD⊥BC即可证明两三角形相似.
【解答】
方法归纳：证明两三角形相似时，要善于结合已知条件来选择最恰当的判定方法.
1.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中△ABC相似的是()
2.(2015·本溪模拟)如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是()
A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.=D.=
3.(2013·贵阳)如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
命题点2相似三角形的性质
例2(1)如图，点D，E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为.
(2)(2013·聊城)如图，点D是△ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为()
A.aB.aC.aD.a
【思路点拨】(1)从条件看可以证明△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的性质就可求出AB的长;
(2)由∠DAC=∠B，可知△ABC∽△DAC，根据相似三角形的性质可求△ACD的面积.
方法归纳：求线段的长，利用相似三角形对应边的比相等来计算；求面积，利用相似三角形面积比等于相似比的平方来计算.
1.(2014·重庆B卷)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是()
A.1B.2C.3D.4
2.(2014·凉山)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，那么它们的相似比为()
A.1∶25B.1∶5C.1∶2.5D.1∶
3.(2013·长春)如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为()
A.B.C.2D.3
4.(2013·长沙)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于.
命题点3相似三角形的应用
例3(2013·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示.其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm，8cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)
【思路点拨】利用梯形常用的辅助线，把EF的长放到三角形中，利用相似三角形的性质，对应边成比例，可求解.
【解答】
方法归纳：利用三角形相似解决实际问题关键扣住两点：一是构造三角形相似；二是灵活地利用相似三角形的性质.
1.(2014·台州)如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为()
A.25cmB.50cmC.75cmD.100cm
2.(2013·济宁)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为cm.
命题点4位似变换
例4如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是()
A.(-2，3)B.(2，-3)C.(3，-2)或(-2，3)D.(-2，3)或(2，-3)
【思路点拨】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得位似比，再利用比例式分别计算出两种情况下B′的坐标.
方法归纳：已知一个图形和位似中心作位似图形时，要注意运用分类讨论思想，考虑两个图形在位似中心同侧或位似中心两侧两种情况，避免出现遗漏.
1.如图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是()
A.点MB.点NC.点OD.点P
2.如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形A1B1C1D1E1，则OD∶OD1=.
1.(2013·温州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，=，则EC的长是()
A.4.5B.8C.10.5D.14
2.(2014·泰安)在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
(1)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
(2)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
(3)若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
(4)若AC∶A1C1=CB∶C1B1,∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.
其中真命题的个数为()
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.(2013·宜昌)如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是()
A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)
4.(2014·宁波)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为()
A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.∶
5.(2014·东营)下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.
其中正确命题的序号是()
A.②③B.①②C.③④D.②③④
6.(2013·北京)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于()
A.60mB.40mC.30mD.20m
7.(2014·滨州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=.
8.(2013·六盘水)如图，添加一个条件：，使得△ADE∽△ACB.(写出一个即可)
9.(2013·天津)如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为.
10.(2014·福州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若AB＝10，则EF的长是.
11.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=m.
12.(2014·长沙)如图，在△ABC中，DE∥BC，=,△ADE的面积是8，则△ABC的面积为.
13.如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.
(1)求证：AB=AF；
(2)当AB=3，BC=5时，求的值.
14.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明三角形△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似.
15.(2014·资阳)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD.
(1)求证：△CDE∽△CAD；
(2)若AB=2，AC=，求AE的长.
16.如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是()
A.B.C.D.
17.(2013·宁波)如图，等腰直角三角形ABC顶点A、C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB、BC交于点D、E.连接DE.当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为.
18.(2014·滨州)如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，t为何值时，DP⊥AC？
参考答案
考点解读
①形状②相等③成比例④边⑤相等⑥成比例⑦全等⑧成比例
⑨平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
⑩平行?成比例?成比例?相等?相等?成比例?相等成比例
相似比平方相似一点中心位似k或-k
各个击破
例1在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°.
又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE.
题组训练1.B2.C3.C
例2(1)10(2)C
题组训练1.B2.D3.B4.1∶2
例3过点C作CM∥AB，交EF,AD于N,M，作CP⊥AD，交EF,AD于Q,P.
由题意，得四边形ABCM是平行四边形，
∴EN=AM=BC=20cm.
∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).
由题意知CP=40cm，PQ=8cm，
∴CQ=32cm.
∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.
∴=，即=.解得NF=24.
∴EF=EN+NF=20+24=44(cm).
答：横梁EF应为44cm.
题组训练1.D2.18
例4D
题组训练1.D2.1∶2
整合集训
1.B2.B3.B4.C5.A6.B7.
8.
9.710.511.5.512.18
13.(1)证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC.
∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABF=∠FBC.
∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF.
(2)∵∠AEF=∠CEB，∠AFB=∠FBC，
∴△AEF∽△CEB.∴==.∴=.
14.(1)根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，显然有AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形；
(2)△ABC和△DEF相似.根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2.
∵===，∴△ABC∽△DEF.
(3)如图，△P2P4P5.
15.(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°.
又∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，即∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠BAD=90°，∴∠ABD=∠CAD.
∵∠ABD=∠BDO=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE.
又∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD.
(2)在Rt△OAC中，∠OAC=90°，
∴OA2+AC2=OC2，即12+(2)2=OC2，
∴OC=3，∴CD=2.
又由△CDE∽△CAD，得=，即=，∴CE=.
∴AE=AC-CE=2-=.
16.B
17.提示：设E(a,）,D(b,),过D作DF⊥BE于F，则F(a,).由等腰直角三角形的性质得a-b=-=-,所以a=,b=(a、b>0).故E（,）.
18.(1)∵ABCD为矩形，
∴AB∥CD，CD=AB=20，AD=BC=10，∠ADC=∠ABC=90°.
∴∠APQ=∠CDQ，∠PAQ=∠DCQ，AC==10.
∴△APQ∽△CDQ.
(2)当t=5时，DP⊥AC.
∵∠ADC=90°，
∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°.
又∵∠DAQ=∠CAD，∴△ADQ∽△ACD.
∴=，则AQ===2.
∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，
∴△AQP∽△ABC.
∴=，则=，解得t=5.
即当t=5时，DP⊥AC.
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