矩形菱形与正方形
如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为
A． B．
C． D．
，下列关于的四种说法：①是无理数；②可以用数轴上的一个点来表示；③；④是18的一个平方根；其中，所有正确说法的序号是（）
A.①④；B.②③；C.①②④；D.①③④；
答案：C
3．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，AE的长是（）
A．cm B．cm C． cm D．cmD
4．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AG交BD于点F，连结EG、EF下列结论：①tan∠AGB=2②图中有9对全等三角形③若将△GEF沿EF折叠，则点G不一定落在AC上④BG=BF⑤S四边形GFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C
5.（2015·江苏江阴长泾片·期中）下列命题是假命题的是（）
A．菱形的对角线互相垂直平分B.有一斜边与一直角边对应相等的两直角三角形全等
C．有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形
D
6.（2015·江苏江阴要塞片·一模）在平面中，下列命题为真命题的是（▲）
A．四边相等的四边形是正方形B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B
7.(2015·北京市朝阳区若正方形的周长为40，则其对角线长为
A．100B．C．D．10
(2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上的处，折痕为AE，过作∥BC，交AE于点P，连接BP.已知BC＝3，，下列结论：①AB＝5；②；③四边形为菱形；④，其中正确的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）
答案：①③④
9.(2015·合肥市蜀山区如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线满足：（1）点D到直线的距离为1；（2）A、C两点到直线的距离相等，则符合题意[中~@%国
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的直线的条数为：
A.2
B.3
C.4
D.6C
10.（2015·福建漳州·一模）正方形具有而菱形不具有的性质是
A.四条边相等B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角D.对角线相等
邗江区·初三适应性训练）如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识
将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
对于甲、乙两人的作法，可判断（▲）
A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
答案：C
12.（2015·重点高中提前招生数学练习）如图，四边形ABMN，BCPQ是两个全等的矩形（AB≤BC），点R在线段AC上移动，则满足∠NRP＝90°的点R有（C）
A.1个B.2个C.1个或2个D.无数多个
答案：C
【解析】设AB＝a，BC＝b，AR＝x.
∵∠A＝∠C＝∠NRP＝90°，∴△ANR∽△CRP，
∴＝，即＝，∴x2－(a＋b)x＋ab＝0，．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）
A.3.5B.4C.7D.14
14.（2015.河北博野中考模拟）如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为【】
AB．C．D.
答案：A
15．(2015?山东济南?模拟)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90o，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE的最小值是
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：B
16.(2015?山东济南?网评培训)如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O．设AB=a，CG=b(a>b)．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④．其中结论正确的个数是
A．4个B．3个C．2个D．1个
)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥于点E，AE的长是(▲)
A．cmcmC．cm D．5cm
答案:B
8．(2015·江苏无锡北塘区·一模)如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线EF向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程长为(▲)A．12B．9C．D．
答案:D
19．(2015·江苏无锡崇安区·一模)如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120o，点P别为线段BCCD、BD上任意一点，则PKQK的最小值为………………………………………………(▲)
A．1 B．C．2 D．＋1
答案:B
20．如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为()
A．????B．5?????C．＋1????D．
．如图,正方形ABCD的对角线BD长为2,若直线l满足:（1）点D到直线l的距离为1,（2）A、C两点到直线l的距离相等,则符合题意的直线l的条数为()
A．1?????B．2?????C．3?????D．4
答案：D
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22．2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）在平面中，下列命题为真命题的是（▲）
A．四边相等的四边形是正方形B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
23．2015·无锡市新区·期中）矩形ABCD中，边长AB=4，边BC=2，
M、N分别是边BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．则CN的最大为（▲）
A．1B．
C．D．2
24．下列命题中正确的是（▲）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的平行四边形是矩形
C．两边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
二.填空题
1.（2015·江苏常州·一模）如图，将矩形纸片的两只直角分别沿EF、DF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，点C恰好落在边B′F上.若AE＝3，BE＝5，则FC＝▲.
4
2．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程长为______________．
答案：
3．（2015·江苏江阴青阳片·期中）对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”．若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为▲．
答案：14
4．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CD的中点，则OE的长等于.
4
5．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于cm．
1或2
已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3∶4，则菱形的面积为____▲____cm2．
96
7.(2015·安庆·一摸)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②当CH=CB时，EC平分∠DCH；③当点H与点A重合时，BF=3；④当点H是AD中点时，EF＝4.其中正确的结论有（把所有正确结论的序号都写在横线上）
答案：①②③；
8.（2015·广东广州·二模）如图5，菱形ABCD的边长为2，∠ADC=120°，弧CD是以
点B为圆心BC长为半径的弧．则图中阴影部分的面积为▲（结
果保留）．
9．如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=3，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD，PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段耐的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形；……依次进行下去，则第2014个内接正方形的边长为____．；
10．如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为cm2．24；
11.（2015·重点高中提前招生数学练习）如图，在边长为2的正方形ABCD的四边上分别取点E，F，G，H，当四边形EFGH各边的平方和EF2＋FG2＋GH2＋HE2取得最小值时，四边形EFGH的面积为.
【答案】2
【解析】设AE＝a，BF＝b，CG＝c，DH＝d，
∴EF2＋FG2＋GH2＋HE2＝(2－a)2＋b2＋(2－b)2＋c2＋(2－c)2＋d2＋(2－d)2＋a2
＝2a2＋2b2＋2c2＋2d2－4a－4b－4c－4d＋16
＝2[(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋(d－1)2＋4]当a＝b＝c＝d＝1时，四边形EFGH恰好是
正方形ABCD的中点四边形，
∴四边形EFGH的面积为2.点P，Q从点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的边匀速运动，点P以每秒1个单位的速度按逆时针方向运动，点Q以每秒2个单位的速度按顺时针方向运动，则P，Q两点第11次相遇时的坐标是．[来&@源:中^国教育出~版网]
【答案】（－，－2）
【解析】∵P，Q第一次相遇时，点P所走的路程为周长的，
∴第3次相遇时点P回到A处.
以此类推，第6次、第9次相遇时点P均在A处.
第11次相遇时，点P从A处出发，走了周长的，
其坐标为（－，－2）.．如图，以Rt的斜边AB为一边在同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO，若CA=2，，那么CB的长为______________．
14．?山东济南?网评培训)如图所示，直线经过正方形的顶点分别过此正方形的顶点、作于点、于点．若，则的长为_________．
)如图，已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形的高AE为▲cm．
答案:
16．(2015·江苏南京溧水区·一模)现有一张边长大于4cm的正方形纸片，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间一块阴影部分的面积为▲cm2．
答案:8．
)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是▲．
答案:∠A＝90o
18．2015·无锡市天一实验学校·一模）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3∶4，则菱形的面积为____▲____cm2．
（8分）已知：如图，在□ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？请说明理由．
答案：（1）证明：（4分）∵在□ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO（1分），∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中：（2分），∴△DOE≌△BOF（ASA）（1分）；
（2）（4分）解：当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形（1分），理由：∵△DOE≌△BOF，∴BF=DE（1分），又∵BF∥DE，∴四边形EBFD是平行四边形（1分），∵BO=DO，∠EOD=90°，∴EB=DE，∴四边形BFED为菱形（1分）．
2.（2015·湖南永州·三模）（10分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
答案：
3（10分）解：（1）（1分）如图1，①（2分）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC（1分）．∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA（1分）．
②（2分）∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴=．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8（1分）．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．
在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10（1分）．∴边AB的长为10．
（2）（2分）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=DC．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．[来源:@中%#&教网^]
∵∠D=90°，∴sin∠DAP==（1分）．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°，∴∠OAB的度数为30°（1分）．
（3）（4分）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，∴∠APB=∠MQP，∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ（1分）．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（1分），∴QF=BF，∴QF=QB，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB（1分）．由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB==4，∴EF=PB=2（1分）．
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．
4（2015·江苏常州·一模）（本题满分6分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE＝∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明.
答案：．四边形AECF是平行四边形. 1′
证明：∵矩形ABCD中，AB∥DC∴∠DCE＝∠CEB 2′
∵∠DCE＝∠BAF∴∠CEB＝∠BAF∴FA∥CE 4′
又矩形ABCD中，FC∥AE∴四边形AECF是平行四边形. 6′[
5（2015·江苏高邮·一模）（本题满分10分）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．
命题：如果平行四边形的一条对角线平分它的一个内角，那么这个平行四边形是菱形．
已知：如图，▲．
求证：▲．
证明：
．解：已知：………………………2分
求证：………………………2分
证明：………………………6分
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）：
①当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是形；
②当△ABC满足条件时，四边形AFBD是正方形．
答案：（1）∵AF∥BC
∴∠AFE=∠ECD，∠FAE=∠CDE…………1分
又∵E是AD的中点
∴AE=DE…………2分
∴⊿AEF≌⊿DEC
∴AF=DC…………3分
又∵D是BC的中点
∴DB=DC…………4分
∴AF=DB…………5分
又∵AF∥BC
∴四边形AFBD是平行四边形…………6分
矩；②⊿ABC是等腰直角三角形．
如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．
答案：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD
又∵BE=AB，∴BE=CD，………………………2分
∵BE∥CD。∴四边形BECD是平行四边形。………………………3分
∴BD=EC。………………………4分
（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°。
……………6分
又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD。∴∠BAO=90°∴∠ABO=40°。
…………8分
8．（2015·江苏江阴要塞片·一模）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF＝DC．
证明：∵DF⊥AE于F，∴∠DFE＝90°
在矩形ABCD中，∠C＝90°
∴∠DFE＝∠C……..2分
在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠ADE＝∠DEC
∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED
∴∠AED＝∠DEC……..4′
又∵DE=DE，∴△DFEC≌△DCE··········6分
∴DF＝DC··········7分（其它方法酌情给分）
9.(2015·北京市朝阳区·一模)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D
作DE∥AC且DE=AC，连接CE、OE，连接AE交OD[
于点F．
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．
（1）证明：在菱形ABCD中，OC=AC.
∴DE=OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．…………………………………………1分
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．…………………………………………2分
∴OE=CD．…………………………………………………………………3分
（2）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2．
∴在矩形OCED中，
CE=OD=．………………4分
在Rt△ACE中，
AE=．………………………………………………………5分(2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形.请解决下列问题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，，，，则＝，.[
（2）在探究等对角四边形性质时：
①小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立，请你证明该结论；
②由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”.你认为她的猜想正确吗？若正确，请给与证明；若不正确，请举出反例.
（3）已知：在等对角四边形ABCD中，，，AB＝5，AD＝4，求对角线AC的长.
答案：（1）…………………………………2分
（2）①证明：连接BD，
∵AB＝AD，∴.
∵四边形ABCD为等对角四边形，∴.
∴，即CB＝CD.…………………………………5分
②不正确…………………………………6分
如图，在等对角四边形ABCD中，，，AB＝BC，但显然
…………………………………8分
（3）当时，如图
延长BC、AD相交于点E
∵，∴.
∵AB＝5，∴AE＝10，BE＝.
又∵AD＝4，∴DE＝6.
在中，
∴BC＝BE－CE＝
在中，………………………………11分
当时，如图
过D点作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，则四边形BEDF为矩形
在中，，DE＝
∴DF＝BE＝AB－AE＝5－2＝3
在，
∵BF＝DE＝，
∴BC＝BF+CF＝
在中，………………………………14分
11.(2015·合肥市蜀山区四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点.
（1）如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接PC，求证:∠AEB=∠PCD.[w^ww&.#zzstep.com%]
（2）如图1，当PA=PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数.
（3）连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC，若∠ABC=90°且ΔPCE是等腰三角形，求∠PEC的度数.
答案：.
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
PDA=∠PDC，AD=CDAD∥BC
又PD=PD,[中
∴ΔPAD≌ΔPCD(SAS)，
PAD=∠PCD，
又AD∥BC，
AEB=∠PAD=∠PCD……………………4分
（2）PA=PD∴∠PAD=∠PDA
设PAD=∠PDA=x，则BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x
∵PC⊥BE∴2x+x=90°
∴x=30°∴∠ABC=2x=60°……………………8分
或延长CP交AD于M，AD∥BC，PCBC，CM⊥AD，
PA=PD∴ΔPAM≌ΔPDM(HL)，
AM=DM,∴CM垂直平分AD，连接AC,则AC=CD=BC=AB
ΔABC是等边三角形
∴∠ABC=60°……………………8分
（3）当点E在BC的延长线上时，如图，ΔPCE是等腰三角形，则CP=CE，
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP
∵四边形ABCD是菱形，ABC=90°,
∴菱形ABCD是正方形，PBA=∠PBC=45°，
又AB=BC，BP=BP，
ΔABP≌ΔCBP，BAP=∠BCP=2∠CEP，
BAP+∠PEC=90°，2PEC+∠PEC=90°
∴∠PEC=30°.……………………11分
当点E在BC上时，如图，ΔPCE是等腰三角形，则PE=CE，
BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP[来
∵四边形ABCD是菱形，ABC=90°，菱形ABCD是正方形，
PBA=∠PBC=45°，又AB=BC，BP=BP，
ΔABP≌ΔCBP，BAP=∠BCP
∵∠BAP+∠AEB=90°，2BCP+∠BCP=90°
∴∠BCP=30°.∴∠AEB=60°.
∴∠PEC=180°－AEB=120°……………………14
12.（2015·广东广州·二模）如图10，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F，FG∥DA与AB交于点G．
（1）求证：BC=BF；
（2）若AB=4，AD=3，求CF．
（3）求证：GB?DC=DE?BC（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDB+∠DBC=90°．
∵CE⊥BD，
∴∠DBC+∠ECB=90°．
∴∠ECB=∠CDB．-----------------------------------1分
又∵∠DCF=∠ECF，
∴∠CFB=∠CDB+∠DCF=∠ECB+∠ECF=∠BCF．-------------------------2分
∴BF=BC---------------------------------------------3分
（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得
BD＝
又∵BD?CE=BC?DC，]
∴-----------------------------------------4分
∴
∴EF=BF-BE=3----------------------------------------------------5分
∴------------------------------------------------6分
（3）∵四边形ABCD为矩形．FG∥DA与AB交于点G，CE⊥BD于E．
∴∠DBA=∠CDB，∠CED=∠BGF=90°．--------------------------------7分
∴△DEC∽△BGF．----------------------------------------------------------8分
∴GB：DE=BF：CD．
∴GB?CD=DE?BF．------------------------------------------------------------9分
13.（2015·广东高要市·一模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．
证明：在正方形ABCD中，∵AE=BF，∴AB﹣AE=BC﹣BF，即BE=CF，……2’
在△BCE和△CDF中，……4’，∴△BCE≌△CDF（SAS），……5’
∴CE=DF．……6’[
14．如图，四边形ABCD为矩形，点E在边BC上，四边形AEDF为菱形．
（1）求证：ΔABE≌ΔDCE；
（2）试探究：当矩形ABCD长宽满足什么关系时，菱形AEDF为正方形?请说明理由．解：（1）略．（2）AD=2AB．
15．（2015?山东滕州羊庄中学?4月模拟）已知：如图4，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：CD=AN；[
（2）若∠AMD=2∠MCD，
试判断四边形ADCN的形状，并说明理由．
答案：（本题满分10分）
证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，
∵在△AMD和△CMN中，，∴△AMD≌△CMN（ASA），…（2分）
∴AD=CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，………（4分）
∴CD=AN………（5分）
②四边形ADCN是矩形．………（1分）
理由如下∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC∴MD=MC，………（2分）
由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD=MN=MA=MC，∴AC=DN，………（4分）
∴四边形ADCN是矩形．………（5分）
．如图1，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，将正方形MNPQ绕点M顺时针旋转，在旋转过程中，射线MN与射线MQ分别交正方形ABCD的边于E、F两点。
（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．
（2）若将原题中的两个正方形都改为矩形且BC=6，AB=2，如图2，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系．[www
答案：（1）证明：过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH．
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中
∠1=∠2，MG=MH，∠MGE=∠MHF．∴△MGE≌△MHF．∴ME=MF．－－（5分）
（2）解：①当射线MN交BC于点E，射线MQ交CD于点F时．
过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．
∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中，∠1=∠2∠MGE=∠MHF，∴△MGE∽△MHF．
∴∵M为矩形对角线AB、AC的交点，∴MB=MD=MC
又∵MG⊥BC，MH⊥CD，
∴点G、H分别是BC、DC的中点．
∵BC=6，AB=2，∴MG＝1，MH＝3．（2分）
②当射线MN交AB于点E，射线MQ交BC于点F时．
过点M作MG⊥AB于点G，MH⊥BC于点H．∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．
∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中，∠1=∠2，
∠MGE=∠MHF．∴△MGE∽△MHF．∴∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴MB=MA=MC．又∵MG⊥AB，MH⊥BC，∴点G、H分别是AB、BC的中点．∵BC=6，AB=2，（4分）
③当射线MN交BC于点E，射线MQ交BC于点F时．由△MEH∽△FMH， 得由△MEH∽△FEM，得
△FMH∽△FEM．
（6分）
④当射线MN交BC边于E点，射线MQ交AD于点F时．
延长FM交BC于点G．
易证△MFD≌△MGB．∴MF=MG．
同理由③得（7分）
综上所述：ME与MF的数量关系是
17．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，点E、F在BC上，且BE＝CF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD＝EF，试证明四边形AEFD为矩形．证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB．…………2分
又∵BE＝CF，∴△ABE≌△DCF．…………4分
∴AE＝DF…………5分
（2）∵BE＝CF，∴BF＝CE…………6分
又∵AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，∴△ABF≌△DCE，…………8分
∴AF＝DE．
又∵AD＝EF，AD∥BC，∴四边形AEFD为平行四边形．…9分
∴四边形AEFD为矩形．…………10分
．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，[∴AB＝AD,∠B=∠D=90°．∵AE=AF，∴．∴BE＝DF．（4分）
（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC∵BE＝DF，∴BC－BE=DC－DF.即．
∴．∵OM=OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE=AF，∴平行四边形AEMF是菱形．（8分）
19.（2015?山东潍坊广文中学、文华国际学校?一模）如图，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）求证：AP+HC=PH；
（3）当AP=1时，求PH的长．
（1）证明：∵PE=BE，∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．又∵四边形ABCD为正方形
∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．----------------------4分
（2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，
由（1）知，∠APB=∠BPH，
在△ABP与△QBP中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP=QP，BA=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，∴△BCH和△BQH是直角三角形，在Rt△BCH与Rt△BQH中，，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH=QH，∴AP+HC=PH．---------------------------8分
（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，∴PD=3．设QH=HC=x，则DH=4-x．
在Rt△PDH中，PD2+DH2=PH2，
即32+（4-x）2=（x+1）2，解得x=2.4，∴PH=3.4．---------------------------12分
邗江区初三适应性训练已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，将线段AB平移至DE，连接AE、AD、EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当点D在什么位置时,四边形ADCE是矩形，请说明理由.
解：（1）由平移可得AB∥DE，AB=DE；
∴∠B=∠EDC
∵AB=AC
∴∠B=∠ACD，AC=DE
∴∠EDC=∠ACD
∵DC=CD
∴△ACD≌△ECD（SAS）
∴AD=EC
（2）当点D是BC中点时,四边形ADCE是矩形.
理由如下：∵AB=AC，点D是BC中点
∴BD=DC，AD⊥BC
由平移性质可知四边形ABDE是平行四边形
∴AE=BD，AE∥BD
∴AE=DC，AE∥DC
∴四边形ADCE是平行四边形
∵AD⊥BC
∴四边形ADCE是矩形
2015·网上阅卷适应性测试如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC＝2∠ABC，连接AC、BE．
求证：四边形ABEC是矩形
⑴∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵EC=DC，∴AB=EC．
在△ABF和△ECF中，
∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，
∴△ABF≌△ECF．
（2）∵△ABF≌△ECF，
∴AF＝FE，BF=FC．
∴四边形ABEC是平行四边形
∵∠AFC＝2∠ABC，又∠AFC＝∠ABC＋∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF．
∴AF＝BF．∴AE＝BC．
∴四边形ABEC是矩形．
山东省枣庄市齐村中学）（满分8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上．
（1）求证：△ADE≌△BGF
（2）若正方形DEFG的面积为16，求AC的长．
证明：略……………………………4分（2）AC=6……………………………4分（本小题满分14分）
（1）猜想与证明：
如图10（1），摆放着两个矩形纸片ABCD和矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展与延伸：
如图10（2），若将”猜想与证明“中的矩形纸片换成正方形纸片ABCD和正方形纸片ECGF，并使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．
解：（1）猜想：DM=ME………………1分
证明：如图1，延长EM交AD于点H，……………2分
四边形ABCD和CEFG是矩形，
AD∥EF，
EFM=∠HAM，………………3分
又FME=∠AMH，FM=AM，
在FME和AMH中，
………………4分
FME≌△AMH（ASA）……………………………5分
HM=EM，………………………………6分
在RTHDE中，HM=EM，
DM=HM=ME，
DM=ME．…………………………………………7分
（2）猜想：DM=ME………………………………8分
如图2，连接AC，……………………………………9分
四边形ABCD和ECGF是正方形，
FCE=45°，FCA=45°，………………………10分
AE和EC在同一条直线上，………………………11分
在RTADF中，AM=MF，
DM=AM=MF，………………………………………12分
在RT△AEF中，AM=MF，
AM=MF=ME，………………………………………13分
∴DM=ME．………………………………………14分
24..（2015.河北博野中考模拟）
如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．
（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．
①判断
四边形DECF一定是什么形状？
②裁剪
当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；
（2）折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．
答案：
解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形．………………………………2分
②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，
∵∠ACB=45°，AC=24cm
∴AG==12，………………………………4分
设DF=EC=x，平行四边形的高为h，
则AH=12h，
∵DF∥BC，
∴=，
∵BC=20cm，………………………………6分
即：=
∴x=×20，
∵S=xh=x?×20=20h﹣h2．
∴﹣=﹣=6，
∵AH=12，
∴AF=FC，
∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．…………………………8分
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（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．
理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．…………………11分
25．?山东济南?模拟)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）平移△AOB，使得点A移动到点D，画出平移后的三角形（不写画法，保留画图痕迹）；
（2）在第（1）题画好的图形中，除了菱形ABCD外，还有哪种特殊的平行四边形？请给予证明
m解：（1）作图正确，写出结论写出结论．（2）还有特殊的四边形是矩形OCED．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD
由平移知：AO=CO，BO=CE
∴OC=DE，OD=CE
∴四边形OCDE是平行四边形∵AC⊥BD
∴∠COD=90°
∴□OCED是矩形．~]26.(2015?山东青岛?一模)已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.
（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值，如果是，请求出它的值，如果不是，请加以说明。
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.
解：（1）是定值∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.
又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB=（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.
∴PE－PF=OF－BF=OB=
)(本题满分分)…………………………………………………(2分)
又∵CE＝CE…………………(3分)∴△BCE≌△DCE(SAS)…………………(4分)
(2)解：由全等可知，∠BEC＝∠DEC＝∠DEB＝×140o＝70o……………………(6分)在△BCE中，∠CBE＝180o―70o―45o＝65o………………………………(7分)
∴在正方形ABCD中，AD∥BC，有∠AFE＝∠CBE＝65o…………………(8分)
28．2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）
如图，在□ABCD中，E、F为BC上的两点，且BE=CF，AF=DE.
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．证明：（1）∵□ABCD，∴AB=CD
∵BE=CF，∴BF=CE
∵AF=DE，∴△ABF≌△DCE
（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C
∵∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=90°
∴□ABCD为矩形.．2015·无锡市天一实验学校·一模）（本题满分7分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF＝DC．
答案：证明：∵DF⊥AE于F，∴∠DFE＝90°
在矩形ABCD中，∠C＝90°
∴∠DFE＝∠C
在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠ADE＝∠DEC
∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED
∴∠AED＝∠DEC
又∵DE=DE，∴△DFEC≌△DCE
∴DF＝DC（其它方法酌情给分）．如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC为锐角，AB=12cm，AC=15cm．按下列步骤折叠：第一次，把∠B折叠使点B落在AC边上，折痕为AD，交BC于点D；第二次折叠，使点A与点D重合，折痕分别交AB、AC于点E、F，EF与AD交于点O，展开后，连结DE、DF．
（1）试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）求AF的长．
（1）答：四边形AEDF是菱形．
理由：由第一次以AD为折痕的折叠可知：∠1=∠2
由第二次以EF为折痕的折叠可知：AE=DE，AF=DF，∠AOE=90°（2分）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴AE=AF，（3分）
∴AE=DE=AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形．（4分）
（2）由（1）可得四边形AEDF是菱形，
∴DE∥AC，AE=AF=DE，
∴△BED∽△BAC，（6分）
∴，（7分）
∵AB=12cm，AC=15cm，
∴
∴AF=．（8分）
1/34
（第21题）
O
D
C
B
A
备用图
C
B
A
B
C
E
F
D
A
图10（2）
第24题图
图10（1）
第24题图
图10
图9
图8
M
C
O
F
E
B
D
A
图7
图6-5
图6-4
图6-3
图6-2
图6-1
图5-2
图5-1
图4
图3
（图10）
备用图
图1
图2
图1
（第8题）
D
C
B
A
（第15题图）
D
C
B
A
（第16题）
E
O
D
C
B
A
（第15题）
图2
图1
（图5）
第4题
第3题图
第1题图
第1题图
（第9题）
D
N
C
M
B
A
B
A
D
C
第10题图
（第8题图）
（第9题）
（第8题）
O
E
D
C
B
A
（第14题图）
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形.
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形.
A
D
B
C
第题图
第题图
第题图
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