数学思想方法
数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁,是解题规律的总结,是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路.因此我们应抓住临近中考的这段时间,去研究、归纳、熟悉那些常用的解题方法与技巧,从而为夺取中考高分搭起灵感和智慧的平台.
初中数学中的主要数学思想有整体思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程和函数思想等.由于我们前面各种思想方法均有渗透,故本专题只是侧重如下几个思想方法予以强化.
类型之一整体思想
例1(2014·内江)已知+=3,则代数式的值为.
【思路点拨】要求分式的值,必须要知道分式中所有字母的取值,从条件看无法解决;观察分式的结构发现分子与分母都是m(a+2b)+n(ab)的形式,所以从条件中找出(a+2b)与ab之间的关系,即可解决问题.
【解答】∵+=3,
∴=3,即a+2b=6ab.
∴====-.
方法归纳:整体思想就是在解决问题时,不是着眼于它的局部特征,而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的.
1.(2014·安徽)已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为()
A.-6B.6C.-2或6D.-2或30
2.(2014·乐山)若a=2,a-2b=3,则2a2-4ab的值为.
3.(2014·宿迁)已知实数a,b满足ab=3,a-b=2,则a2b-ab2的值是.
4.(2014·菏泽)已知x2-4x+1=0,求-的值.
类型之二分类思想
例2(2013·襄阳)在一张直角三角形纸片中,分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形,得到如图所示的直角梯形,则原直角三角形纸片的斜边长是.
【思路点拨】从图中看有两个直角,这两个直角都有可能是原直角三角形的直角,分两种情况将原图补充完整,即可求出原直角三角形的斜边长.
【解答】如图1,以点B为直角顶点,BD为斜边上的中线,在Rt△ABD中,可得BD=.
∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是2;
如图2,以点A为直角顶点,AC为斜边上的中线,在Rt△ABC中,可得AC=3.
∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是6.
故填2或6.
方法归纳:在几何问题中,当图形的形状不完整时,需要根据图形的已知边角及图形特征进行分类画出图形,特别注意涉及等腰三角形与直角三角形的边和角的分类讨论.
1.(2014·凉山)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为()
A.2cmB.4cmC.2cm或4cmD.2cm或4cm
2.(2014·凉山)已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为.
3.已知点D与点A(8,0),B(0,6),C(3,-3)是一平行四边形的顶点,则D点的坐标为.
4.(2014·株洲调研)已知:如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,则P点的坐标为.
5.射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值(单位:秒).
6.(2013·呼和浩特)在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)、B(-6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为.
7.(2014·襄阳)在□ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,则□ABCD的周长等于.
类型之三转化思想
例3(2014·滨州)如图,点C在⊙O的直径AB的延长线上,点D在⊙O上,AD=CD,∠ADC=120°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
【思路点拨】(1)因为D点在圆上,连接OD,证明OD与CD垂直即可;
(2)连接OD,将图中不规则的阴影部分面积转化为三角形与扇形的面积之差.
【解答】(1)证明:连接OD.
∵AD=CD,∠ADC=120°,∴∠A=∠C=30°.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=30°,
∴∠ODC=120°-30°=90°,
∴OD⊥CD.
又∵点D在⊙O上,∴CD是⊙O的切线.
(2)∵∠ODC=90°,OD=2,∠C=30°,
∴OC=4,CD==2,
∴S△COD=OD·CD=×2×2=2,
S扇形OCB==π,
∴S阴影=S△OCD-S扇形OCB=2-π.
方法归纳:化归意识是指在解决问题的过程中,对问题进行转化,将“未知”转化为“已知”、将“陌生”转化为“熟知”、将“复杂”转化为“简单”的解题方法,其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决的问题,以便利用已有的结论来解决问题.
1.(2014·泰安)如图,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为()
A.(-1)cm2B.(+1)cm2C.1cm2D.cm2
2.(2013·潍坊)对于实数x,我们规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3.若[]=5,则x的取值可以是()
A.40B.45C.51D.56
3.(2014·菏泽调考)将4个数a、b、c、d排成两行、两列,两边各加一条竖线段记成,定义=ad-bc,上述记号就叫做二阶行列式,若=8,则x=.
4.(2014·白银)如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为.
5.(2014·凉山)如图,圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm.
6.(2014·枣庄)图1所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图2的几何体,一只蚂蚁沿着图2的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm.
类型之四数形结合思想
例4(2014·黄州模拟)如图1,点E为矩形ABCD边AD上一点,点P,点Q同时从点B出发,点P沿BE→ED→DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,它们运动的速度都是1cm/s,设P,Q出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2,已知y与t的函数关系的图形如图2(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:①AD=BE=5cm;②当0<t≤5时,y=t2;③直线NH的解析式为y=-t+27;④若△ABE与△QBP相似,则t=秒.其中正确的结论个数为()
A.4B.3C.2D.1
【解答】①根据图2可得,当点P到达点E时点Q到达点C,BC=BE,故①小题正确;
②当0<t≤5时,设y=at2,将t=5,y=10代入求得a=,故②小题正确;
③根据题意可得N(7,10),H(11,0),利用待定系数法可以求出一次函数解析式y=-t+,故③小题错误;
④∵∠A=90°,而点P在运动过程中,∠BPQ≠90°,∠PBQ≠90°,∴△ABE与△QBP相似,Q点在C点处,P点运动到CD边上,∠PQB=90°.此时分△ABE∽△QBP和△ABE∽△QPB两种情况,当△ABE∽△QBP时,则=可知QP=,可得t=,符合题意;当△ABE∽△QPB时,=,可知QP=>4,不符合题意,应舍去.故④小题正确.
因此答案选B.
方法归纳:数形结合主要有两种:①由数思形,数形结合,用形解决数的问题;②由形思数,数形结合,用数解决形的问题.
1.(2014·菏泽)如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D,F分别在AC,BC边上,设CD的长为x,
△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是()
2.(2014·内江)若关于x的方程m(x+h)2+k=0(m、h、k均为常数,m≠0)的解是x1=-3,x2=2,则方程m(x+h-3)2+k=0的解为()
A.x1=-6,x2=-1B.x1=0,x2=5
C.x1=-3,x2=5D.x1=-6,x2=2
3.小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛,小文步行一段时间后,小亮骑自行车沿相同路线行进,两人均匀速前行.他们的路差s(米)与小文出发时间t(分)之间的函数关系如图所示.下列说法:①小亮先到达青少年宫;②小亮的速度是小文速度的2.5倍;③a=24;④b=480.其中正确的是()
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
4.(2014·黄石调考)如图,两个正方形的面积分别为16、9,两阴影部分的面积分别为a,b(a>b),则a-b等于()
A.7B.6C.5D.4
5.(2014·枣庄)如图,在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a>2),将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形,则该平行四边形的面积为()
A.a2+4B.2a2+4aC.3a2-4a-4D.4a2-a-2
类型之五方程、函数思想
例5(2014·泰安调考)将半径为4cm的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图所示),当圆柱的侧面的面积最大时,圆柱的底面半径是cm.
【思路点拨】设圆柱的底面半径为r,圆柱的侧面积为S,建立S与r之间的函数关系式,利用函数的性质确定S取最大值时r的值.
【解答】∵将半径为4cm的半圆围成一个圆锥,
∴圆锥的母线长为4,底面圆的半径为2,高为2.
设圆柱底面圆的半径为r,高为h,侧面积为S,根据题意,得
=,∴h=.
∴S=2πr()=-2π(r-1)2+2π.
∴当r=1时,S取最大值为2π.
方法归纳:在问题中涉及“最大值”或“最小值”时,一般要运用函数思想去解决问题,解决这里问题的关键是建立两个变量之间的函数关系.
1.(2014·安徽)如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为()
A.B.C.4D.5
2.(2014·武汉)如图,若双曲线y=与边长为5的等边△AOB的边OA,AB分别相交于C,D两点,且OC=3BD,则实数k的值为.
3.(2014·广州)若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1、x2,则x1(x2+x1)+x22的最小值为.
4.(2014·鄂州)如图,正方形ABCD边长为1,当M、N分别在BC,CD上,使得△CMN的周长为2,则△AMN的面积的最小值为.
参考答案
类型之一整体思想
1.B2.123.6
4.原式==.
∵x2-4x+1=0,∴x2-4x=-1.
∴原式===-23.
类型之二分类思想
1.C2.5或3.(5,9)或(11,-9)或(-5,3)4.(3,4)或(2,4)或(8,4)
5.t=2或3≤t≤7或t=8
6.(0,12)或(0,-12)
提示:当点C在y轴的上方时,如图,作BD⊥AC于D,与y轴交于点E.
∵∠BCA=45°,
∴∠CBD=∠BCA=45°,∴BD=CD.
∵∠CDE=∠ADB=90°,∠CED=∠BEO,
∴∠ECD=∠ABD,∴△CED≌△BAD,
∴EC=AB=10.
设OE=x,∵∠COA=∠BOE=90°,
∴△BEO∽△CAO,
∴=,x=2或x=-12(舍去),
∴OC=OE+CE=2+10=12,∴点C(0,12).
当点C在y轴的下方时,同理可求得点C(0,-12).
故答案为(0,12)或(0,-12).
7.12或20
提示:如图1所示.
∵在□ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,
∴EC==2,AB=CD=5,BE==3,
∴AD=BC=5,
∴□ABCD的周长等于20.
如图2所示.
∵在□ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,
∴EC=AC2-AE2=2,AB=CD=5,BE=AB2-AE2=3,
∴BC=3-2=1,
∴□ABCD的周长等于1+1+5+5=12.
则□ABCD的周长等于12或20.
故答案为:12或20.
类型之三转化思想
1.A2.C3.24.125.20
6.()
提示:如图所示.
△BCD是等腰直角三角形,△ACD是等边三角形,
在Rt△BCD中,CD==6(cm),
∴BE=CD=3cm,
在Rt△ACE中,AE==3(cm),
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为()cm.
故答案为:().
类型之四数形结合思想
1.A2.B3.B4.A5.C
类型之五方程、函数思想
1.C
提示:设BN=x,则依据折叠原理可得DN=AN=9-x.又D为BC的中点,∴BD=3.在Rt△NBD中,利用勾股定理,可得BN2+BD2=DN2,则有32+x2=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.故选择C.
2.
提示:过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F,
设OC=3x,则BD=x,
在Rt△OCE中,∠COE=60°,
则OE=x,CE=x,则点C坐标为(x,x),
在Rt△BDF中,BD=x,∠DBF=60°,则BF=x,DF=x,
则点D的坐标为(5-x,x),
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得k=x2,
将点D的坐标代入反比例函数解析式可得k=x-x2,
则x2=x-x2,解得x1=1,x2=0(舍去),
故k=×12=.
3.
提示:由根与系数的关系得到:
x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2,
原式化简=3m2-3m+2=3(m-)2+.
∵方程有实数根,∴Δ≥0,m≤23.
当m=时,3m2-3m+2的最小值为.
4.-1
提示:延长MB至G使GB=DN,连接AG.
∴△ADN≌△ABG.
∵CN+CM+MN=2,CN+CM+DN+BM=2,
∴MN=MG.∴△AMN≌△AMG.
要使△AMN的面积的最小,即△AGM的面积最小.
∵AB=1,所以MG最小,即MN最小.
在Rt△CMN中,周长一定,当△CMN为等腰直角三角形时,
斜边MN最小.设CM=x,则CN=x,MN=x,
∴x+x+x=2,∴x=2-,MN=2-2.
∴△AMN的面积的最小值为-1.
-1-
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