滚动小专题（三）一次函数与反比例函数的综合运用
本专题是对一次函数与反比例函数的综合问题进行复习与深化，这类综合题考查的知识点多，能力要求强.试题呈现形式活泼多样，既有一次函数、反比例函数与代数的综合又有与空间几何的综合.解决这类问题首先要理清头绪，挖掘题目中的已知条件和隐含条件，根据实际问题情境或图象列出相应关系式，从而建立函数模型.
例(2014·成都)如图，一次函数y=kx+5(k为常数，且k≠0)的图象与反比例函数y=-的图象交于A(-2,b)，B两点.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值.
【思路点拨】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式得b，将A坐标代入一次函数解析式得k；
(2)联立两函数解析式，得一元二次方程，有一个公共解则Δ=0，即可求出m的值.
【解答】（1）∵A(-2,b)在y=-上，
∴-2b=-8，b=4.∴A(-2,4).
∵A(-2,4)在y=kx+5上，
∴k＝，
∴一次函数为y＝x＋5.
(2)向下平移m个单位长度后，直线为y=x+5-m，由题意，得
整理得x2+(5-m)x+8=0，
∵平移后直线与双曲线有且只有一个公共点，
∴Δ=(5-m)2-4××8＝0，解得m＝1或9.
方法归纳：解决一次函数和反比例函数的问题常常从反比例函数突破，求两函数的交点问题通常联立成方程组，转化为方程解决.若两函数图象有两个交点，则对应的一元二次方程的Δ>0;若两函数图象有1个交点，则对应的一元二次方程的Δ=0;若两函数图象没有交点，则对应的一元二次方程的Δ<0.
1.(2014·菏泽)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A(1，0)，与反比例函数
y＝(x＞0)的图象相交于点B(2，1).
(1)求m的值和一次函数的解析式；
(2)结合图象直接写出：当x>0时，不等式kx+b>的解集.
2.(2014·广州)已知一次函数y=kx-6的图象与反比例函数y=-的图象交于A、B两点，点A的横坐标为2.
(1)求k的值和点A的坐标；
(2)判断点B的象限，并说明理由.
3.(2014·白银)如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y=相交于A(-1，a)、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.
(1)求m、n的值；
(2)求直线AC的解析式.
4.(2014·宜宾)如图，一次函数y=-x+2的图象与反比例函数y=-的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求△ABC的面积.
5.(2014·甘孜)如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，反比例函数y=在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S△BOD＝4.
(1)求反比例函数解析式；
(2)求点C的坐标.
6.(2014·资阳)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(-，0)，且与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(-2,1)和点B.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？
参考答案
1.(1)把点B(2，1)代入y＝，得m＝1×2=2.
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A(1，0)，B(2，1)，
∴解得
∴一次函数的解析式为y＝x-1.
(2)x＞2.
2.(1)当x=2时，y=kx-6=2k-6，
y=-=-k.
由题意，得2k-6=-k.解得k=2.
故一次函数解析式为y=2x-6，
反比例函数解析式为y=-.
∴A(2，-2).
(2)B点在第四象限，理由如下：
一次函数y=2x-6经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，
因此它们的交点都是在第四象限.
3.(1)∵直线y=mx与双曲线y=相交于A(-1，a)、B两点，
∴B点横坐标为1，即C(1，0).
∵△AOC的面积为1，∴A(-1，2).
将A(-1，2)代入y=mx，y=可得
m=-2，n=-2.
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵y=kx+b经过点A(-1，2)、C(1，0)，
∴解得
∴直线AC的解析式为y=-x+1.
4.(1)根据题意得
解方程组得或
∴A(-1，3)，B(3，-1).
(2)把y=0代入y=-x+2得-x+2=0，解得x=2，
∴D(2，0).
∵C、D两点关于y轴对称，
∴C(-2，0)，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=×(2+2)×3+×(2+2)×1=8.
5.(1)由S△BOD＝4，得k＝8.
∴反比例函数解析式为y=.
(2)∵OB＝4，AB＝8，∠ABO＝90°，
∴A点坐标为(4，8).
设直线AO的解析式为y＝kx，则4k＝8，解得k＝2.
即直线AO的解析式为y＝2x.
联立方程组：
解得或(舍去)
∴点C的坐标为(2，4).
6.（1）∵函数y=kx+b图象过点P(-，0)和点A(-2，1)，
∴解得
∴一次函数的解析式为y=-2x-3.
又反比例函数的图象过点A(-2，1)，
∴=1，即m=-2.
故反比例函数的解析式为y=-.
(2)联立解得或
∴B(，-4).
由图可知，当-2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.
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