滚动小专题（六）解直角三角形的应用
解直角三角形的应用是各地中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解.
类型1仰角、俯角问题
1.(2014·东营)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(≈1.732,结果保留小数点后一位)？
2.(2014·常德)如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆.已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1，分别为160米，400米，1000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度.(结果精确到1米，参考数据：≈1.414,≈1.732)
3.(2014·河南)在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据：sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,≈1.7)
类型2方位角问题
1.(2014·邵阳)一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号.一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间.(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)
2.(2014·娄底)如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向.求小岛A与小岛B之间的距离(结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45)
类型3坡度(坡比)问题
1.(2013·内江)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶)，且B，C，E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).
2.(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为米，钓竿OA的倾斜角是60°，其长为3米，若OA与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离.
参考答案
类型1仰角、俯角问题
1.如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
由题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120.
在Rt△ADB中，由tan∠BAD=，得
BD=AD·tan∠BAD=120×tan30°=40.
在Rt△ADC中，由tan∠CAD=，得
CD=AD·tan∠CAD=120×tan60°=120.
∴BC=BD+CD=40+120≈277.1.
答：这栋楼高约为277.1m.
2.在Rt△ABD中,BD=400-160=240,∠BAD=30°.
∵sin∠BAD=,
∴AB==2BD=480m.
在Rt△BCB2中,CB2=1000-400=600,∠CBB2=45°.
∵sin∠CBB2=,
∴CB==600m.
所以AB+BC=480+600≈1328(米).
答：钢缆AB和BC的总长度约为1328米.
3.过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D，则AD即为潜艇C的下潜深度.
根据题意得∠ACD=30°,∠BCD=68°.
设AD=x,则BD=BA+AD=1000+x.
在Rt△ACD中，CD===x.
在Rt△BCD中，BD＝CD·tan68°.
∴1000+x=x·tan68°.解得x=≈308.
即潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米.
类型2方位角问题
1.过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.
由题意得∠CAD＝30°,∠CBD＝53°,AC＝80海里，∴CD＝40海里.
在Rt△CBD中，sin53°＝，
CB＝≈＝50(海里).
行驶时间＝1.25(小时).
答：海警船到达C处需1.25小时.
2.过点C作CP⊥AB于P，
∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，
∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°.
∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时，
∴BC=90.
∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45.
∵∠CAP=60°，∴tan60°==,
∴AP=15,
∴AB=AP+PB=15+45≈100(km).
答：小岛A与小岛B之间的距离是100km.
类型3坡度(坡比)问题
1.在Rt△ABC中，tan∠ACB===，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，∠PAC=30°，
∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=90°，
∴∠DAC=60°.
在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴AC=2AB=6.
在Rt△ACD中，DC=AC·tan∠DAC=6×tan60°=6.
在Rt△CDE中，DE=DC·sin∠DCE=6×sin60°=9(米).
答：树DE的高为9米.
2.延长OA交直线BC于点D.
∵OA的倾斜角是60°，
∴∠ODB＝60°，∠ACD＝30°，
∠CAD＝180°-∠ODB-∠ACD＝90°.
在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝×=(米).
∴CD＝2AD＝3米.
又∵∠O＝60°，∴△BOD为等边三角形，
∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋＝4.5(米).
∴BC＝BD-CD＝4.5-3＝1.5(米).
答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.
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