滚动小专题（九）统计与概率的应用
统计与概率是中考三大块的内容之一，对统计、概率知识的初步认识是掌握统计与概率的基础.重点是考查统计图的选择与运用，随机事件发生机会大小的确定，并能运用机会的大小判断游戏的规则是否公平.主要考查学生对数据的收集和处理能力；对统计图的绘制和阅读能力.
类型1统计知识的应用
1.(2014·绍兴)为了解某校七、八年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校七、八年级部分学生进行调查.已知抽取的七年级与八年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下统计图表.
睡眠情况分组表(单位：时)
组别 睡眠时间 A x＜7.5 B 7.5≤x＜8.5 C 8.5≤x＜9.5 D 9.5≤x＜10.5 E x≥10.5
根据图表提供信息，回答下列问题：
(1)求统计图中的a.
(2)抽取的样本中，八年级学生睡眠时间在C组的有多少人？
(3)已知该校七年级学生有755人，八年级学生有785人.如果睡眠时间x(时)满足7.5≤x＜9.5，称睡眠时间合格.试估计该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有多少人.
2.(2013·遂宁)我市某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩(满分为100分)如图所示.
(1)根据图示填写下表；
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 高中部 85 100
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
(3)计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
类型2概率知识的应用
1.(2014·南京)从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率：
(1)抽取1名，恰好是甲；
(2)抽取2名，甲在其中.
2.(2014·无锡)三个小球上分别标有-2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同.将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.
(1)从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数.求两次记下之数的和大于0的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果)
(2)从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次.若记下的13个数之和等于-4，平方和等于14，求这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数.
3.(2014·遵义)小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔(不放回)，若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜.
(1)请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果.
(2)请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利.
类型3统计与概率的综合应用
例(2014·菏泽)课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A.很好；B.较好；C.一般；D.较差.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)王老师一共调查了多少名同学？
(2)C类女生有名，D类男生有名，并将上面条形统计图补充完整；
(3)为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习.请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.
【思路点拨】(1)根据A(或B)类人数以及所占百分比，求总人数；
(2)利用总人数以及扇形图求各类别人数，从而得出C组女生人数和D组男生人数；
(3)利用列表或树形图得到所有可能结果，然后利用概率公式求解.
【解答】(1)∵(6+4)÷50%＝20，
∴王老师一共调查了20名同学.
(2)C类女生有3名，D类男生有1名.
补充统计图如下图所示.
(3)画树状图如下：
∴所有可能出现的结果共有6种，所选两位同学恰好是一男和一女的结果共有3种.
∴P(恰好是一男一女)=＝.
方法归纳：统计与概率的综合运用的关键是“统计图”，统计图中反映的数据既可用来求统计的量也可用来求概率的大小.
1.(2014·自贡)为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下：
组别 成绩x分 频数(人数) 第1组 25≤x＜30 4 第2组 30≤x＜35 8 第3组 35≤x＜40 16 第4组 40≤x＜45 a 第5组 45≤x＜50 10
请结合图表完成下列各题：
(1)求表中a的值；
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
(4)第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率.
2.(2014·烟台)2014年世界杯足球赛6月12日~7月13日在巴西举行，某初中学校为了了解本校2400名学生对此次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘成了条形统计图(图1)和扇形统计图(图2).
(1)四个年级被调查人数的中位数是多少？
(2)如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名？
(3)在这次调查中，初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯，现准备从四人中随机抽取两个人进行座谈，请用列表或画树状图的方法求出抽取的两个人恰好是甲和乙的概率.
3.(2014·日照)某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图(图中信息不完整).已知A、B两组捐款人数的比为1∶5.
捐款人数分组统计表
组别 捐款额x/元 人数 A 1≤x<10 a B 10≤x<20 100 C 20≤x<30 D 30≤x<40 E x≥40
请结合以上信息解答下列问题.
(1)a=，本次调查样本的容量是；
(2)先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”；
(3)若任意抽出1名学生进行调查，恰好是捐款数不少于30元的概率是多少？
参考答案
类型1统计知识的应用
1.(1)a＝1-35%-25%-25%-10%＝5%；
(2)依题意，得八年级抽取的学生人数为：
6+19+17+10+8＝60(人)，
八年级学生睡眠时间在C组的有：
60×35%＝21(人).
(3)755×+785×(25%+35%)＝453+471＝924(人).
答：该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有924人.
2.(1)85；85；80.
(2)初中部成绩好些.因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些.
(3)∵初中部成绩的方差s21==70,
高中部成绩的方差s22==160.
∴s21＜s22，因此，初中代表队选手成绩较为稳定.
类型2概率知识的应用
1.（1）抽到的所有可能结果有甲、乙、丙，共3种，而抽到甲的结果有1种，故P(甲)=;
(2)画树状图如下：
由图可知，所有可能的结果有（甲，乙）、（甲，丙）、（乙，甲）、（乙，丙）、（丙，甲）、（丙、乙），共6种，甲在其中的有（甲，乙）、（甲，丙）、（乙，甲）、（丙，甲）四种.
∴P(甲在其中)==.
2.(1)列表法:
∴出现和的等可能的结果共9种情况，满足条件的结果“和大于0”的有3种，
∴P(两次和大于0)=.
(2)设数字-2被摸出x次，数字1被摸出y次.由题意得
解得
∴摸到球上所标之数是0的次数为13-3-2=8(次).
3.(1)列表得：
红1 红2 红3 黑1 黑2 红1 红1红2 红1红3 红1黑1 红1黑2 红2 红2红1 红2红3 红2黑1 红2黑2 红3 红3红1 红3红2 红3黑1 红3黑2 黑1 黑1红1 黑1红2 黑1红3 黑1黑2 黑2 黑2红1 黑2红2 黑2红3 黑2黑1
(2)共20种情况，其中颜色相同的有8种，小明获胜的概率为=，
则小军获胜的概率为1-=.
∵<，∴不公平，对小军有利.
类型3统计与概率的综合应用
1.(1)a=50-4-8-16-10=12.
(2)频数分布直方图如图所示.
(3)由直方图可知，40分以上的学生有
12+10=22(人)，优秀率为×100%=44%.
(4)记小宇与小强的编号分别为1,2号，其他两个男生分别记为3,4号，他们分组的情况列表如下：
故小宇与小强分在同一组的概率为.
2.(1)四个年级被抽出的人数由小到大排列为30，40，50，80.
∴中位数是(40+50)÷2＝45(人).
(2)2400×(1-45%)＝1320(人)，
∴全校关注本届世界杯的学生大约有1320人.
(3)画树状图：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好是甲和乙的有2种结果，
∴P(恰好是甲和乙)＝=.
3.(1)20；500.
(2)500×40%=200，C组的人数为200.
补图如图所示.
(3)∵D、E两组的人数和为：500×(28%+8%)=180(人)，
∴捐款数不少于30元的概率为：=0.36.
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