画一画研一研全效学习学案导学设计画一画研一研全效学习学案导学设计全效学习学案导学设计第4章因式
分解本章复习课画一画研一研类型之一因式分解与整式乘法的关系因式分解是把多项式分解成几个整式的积的形式，与整式乘
法互为逆运算，而且分解结果要彻底．例1下列各式从左边到右边的变形，是因式分解的是
()A．a(a－b)＝a2－abB．a2－2a＋1＝a(a－2)＋1C．x2－x＝x(x－1)
D．xy2－x2y＝x(y2＋xy)【解析】选项A属于乘法运算；选项B没有分解成几个因式的积的形式，故不正确；选项D虽然分解成
两个因式的积的形式，但分解结果不彻底，所以不正确；故选C.C下列分解因式正确的是
()A．x3－x＝x(x2－1)B．m2＋m－6＝(m－3)(m＋2)C．1－a2＋2ab－b2＝(1－a＋
b)(1＋a－b)D．x2＋y2＝(x＋y)(x－y)C类型之二用提取公因式法因式分解提取公因式法的一般步骤是：(1)确
定应提取的公因式；(2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；(3)把多项式写成这两个因式的形式．特别注意：提取公因式后
，应使多项式余下的各项不再含有公因式．例2将下列各式因式分解：(1)ax－ay；(2)6xyz－3xz2；(3)－x3z
＋x4y；(4)36aby－12abx＋6ab；(5)3x(a－b)＋2y(b－a)；(6)x(m－x)(m－y)－m(x－
m)(y－m)．解：(1)原式＝a(x－y)．(2)原式＝3xz(2y－z)．(3)原式＝－x3(z－xy)．(4)原式＝
6ab(6y－2x＋1)．(5)原式＝3x(a－b)－2y(b－a)＝(a－b)(3x－2y)．(6)原式＝x(m－x)(m
－y)－m(m－x)(m－y)＝(m－x)(m－y)(x－m)＝－(m－x)2(m－y)．【点悟】运用提公因式法分解因式时，
要注意下列问题：(1)因式分解的结果中每个括号内如有同类项要合并，而且每个因式都不能再分解；(2)因式分解最后如果有同底数幂，
要写成幂的形式．1.因式分解：(1)a2b－5ab＋9b；(2)x(x－y)
2－y(y－x)2；(3)2m(a－b)－3n(a－b)；(4)(x＋y)2(x－y)－(x＋y)(x－y)2.解：(1)原
式＝b(a2－5a＋9)；(2)原式＝(x－y)(x－y)2＝(x－y)3.(3)原式＝(a－b)(2m－3n)．(4)原式
＝(x＋y)(x－y)[(x＋y)－(x－y)]＝2y(x＋y)(x－y)．2．已知a，b，x，y满足a＋b＝x＋y＝3，ax
＋by＝7.求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．解：∵a＋b＝x＋y＝3，∴(a＋b)(x＋y)＝9，∴(ax＋b
y)＋(ay＋bx)＝9.又∵ax＋by＝7，∴ay＋bx＝2.∴原式＝xya2＋xyb2＋abx2＋aby2＝ax(ay
＋bx)＋by(bx＋ay)＝(ay＋bx)(ax＋by)＝14.类型之三用公式法因式分解利用公式a2－b2＝(a－b)(
a＋b)或者a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法叫做公式法．公式中的a，b可以是数，也可以是一个整式．【点
悟】本题为开放性试题，由不同的多项式组合得的结果可能不同．请你从4a2，(x＋y
)2，1，9b2中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．解：本题存在12种不同的作差结果，不同选择如下：4a2－1；9b
2－1；4a2－9b2；1－4a2；1－9b2；9b2－4a2；(x＋y)2－1；(x＋y)2－4a2；(x＋y)2－9b2；1－
(x＋y)2；4a2－(x＋y)2；9b2－(x＋y)2.这12种选择的范例如下：1－(x＋y)2＝[1＋(x＋y)][1－
(x＋y)]＝(1＋x＋y)(1－x－y)．类型之四利用因式分解进行简便运算运用分解因式进行计算可使计算更为简便，应根据代
数式的特征选择适当的可简化计算的分解方法．例4利用因式分解说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．解：原式＝3
198×(32－4×3＋10)＝3198×7.所以3200－4×3199＋10×3198能被7整除．【点悟】要说明一个式子能被
一个数整除，则应充分利用因式分解，将其分解成含这个数的式子．1.利用因式分解简便计算：
(要求写出完整计算过程)(1)1242×25－25×762；(2)382＋24×38＋144.解：(1)原式＝25×(124
2－762)＝25×(124＋76)×(124－76)＝240000.(2)原式＝382＋2×12×38＋122＝(38＋
12)2＝502＝2500.类型之五因式分解的应用会用因式分解进行简单的多项式除法；会用因式分解解简单的方程；会综合运用因
式分解知识解决一些简单的数学问题．例5在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是
：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是(x－y)＝0
，(x＋y)＝18，(x2＋y2)＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x＝1
0，y＝10时，求用上述方法产生的密码(写出一个即可)．【解析】阅读所给材料，将所给多项式分解为三个因式的积．解：4x3－x
y2＝x(4x2－y2)＝x(2x＋y)(2x－y)，当x＝10，y＝10时，有x＝10，2x＋y＝30，2x－y＝10.
这样产生三个密码：101030或103010或301010.【点悟】准确进行因式分解是求解此题的关键．
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝
42－22，20＝62－42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1)28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？(2)设
两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？(3)两个连续奇数的平方差(
取正数)是神秘数吗？为什么？解：(1)28＝4×7＝82－62，2012＝4×503＝5042－5022，所以28和201
2是神秘数．(2)(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)，∴由2k＋2和2k构造的神秘数是4的倍数．(3)设两个连续奇数为2k＋1和2k－1，则(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k，∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．画一画研一研全效学习学案导学设计画一画研一研全效学习学案导学设计全效学习学案导学设计 |
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