(2)若以函数y＝F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；思维启迪
k＝F′(x0)，F′(x0)≤分离a，利用函数思想求a的最小值；解由F′(x)＝(0思维启迪利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化.(3)是否存在实数m，使得函数y＝g(
)＋m－1的图象与函数y＝f(1＋x2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.当x变化时G
′(x)、G(x)的变化情况如下表：?(－∞，－1)(－1,0)(0,1)(1，＋∞)G′(x)的符号＋－＋－
G(x)的单调性由上表知：G(x)极小值＝G(0)＝，G(x)极大值＝G(－1)＝G(1)＝ln2>0.又由G(2
)＝G(－2)＝ln5－2＋<可知，当m∈(，ln2)时，y＝G(x)与y＝m恰有四个不同交点.故存在m∈(
，ln2)，使函数y＝g()＋m－1的图象与y＝f(1＋x2)的图象恰有四个不同交点.研究方程及不等式问题
，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具.基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数
值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考.思维升华变式训练3已知函数f(
x)＝a(x2＋1)＋lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性；①当a≥0时，恒有f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是
增函数.②当a<0时，若00，故f(x)在(0，]上是增
函数；若x>，则f′(x)<0，故f(x)在[，＋∞)上是减函数.
综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当a<0时，f(x)在(0,]上是增函数，
在[，＋∞)上是减函数.(2)若对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a
2成立，求实数m的取值范围.解由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，等价于ma
－a2>f(x)max.由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝2a
，所以ma－a2>2a，即m定积分思维启迪利用微积分基本定理先求出a，再求分段函数的函数值；答案7(2)(2014·山东)直线y＝4
x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2B.4C.
2 D.4思维启迪利用图形将所求面积化为定积分.解析令4x＝x3，解得x＝0或x＝±2
，D(1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四
则运算法则从反方向上求出原函数.(2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限
.同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出.思维升华变式训练4(1)若?(2x＋)dx＝3＋ln2
，且a>1，则a的值为()A.6 B.4 C.3 D.2由题意，可得a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝
2.D(2)如图，阴影部分的面积是()答案由题图，可知阴影部分面积为C1.函数单调性的应用(1)若可导函数f(x
)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)
≤0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)>0的必要不充分条件.本讲规律总结
专题17导数及其应用导数及其应用主干知识梳理热点分类突破真题与押题1.导数的意义
和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用.考
情解读主干知识梳理1.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处
的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).2.导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为
增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数
的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性.3.函数的极值与最值(1)函数
的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题.(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最
多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有.(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，
则此极值一定是函数的最值.4.定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：(2)微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区
间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a).热点一导数的运算和几何意
义热点二利用导数研究函数的性质热点三导数与方程、不等式热点分类突破热点四定积分例1(1)(20
14·广东)曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.热点一导数的运算和几何意义思维启迪
先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程.解析因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，
所以y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.答案5x＋y－3＝0(2)在平面直角坐标
系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线C2：x2＋y2＝的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互
相垂直，则实数a的值是________.思维启迪A点坐标是解题的关键点，列方程求出.解析设A(x0，y0)，则C1
在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax，C2在A处的切线的斜率为又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，答案4
(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而
在点P处的切线，必以点P为切点.思维升华(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行
转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.思维升华
变式训练1(2)若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于_______
_.解析f′(x)＝sinx＋xcosx，f′()＝1，即函数f(x)＝xsinx＋1在点x＝处的切线的斜率
是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，所以(－)×1＝－1，解得a＝2.2例2已知函数f(x)＝(x＋a
)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；热点二利用导数研究函数的性质思维启迪
直接求f′(x)，利用f′(x)的符号确定单调区间；解因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)
ex.令f′(x)＝0，得x＝－a－1.当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：x(－∞，－a－1)－a－1(
－a－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)?故f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；单调增区间为(－a－1，＋∞
).(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值.思维启迪讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f
(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到.解由(1)得，f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；单调增区间为(－a－1
，＋∞).所以当－a－1≤0，即a≥－1时，f(x)在[0,4]上单调递增，故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min
＝f(0)＝a；当0<－a－1<4，即－5调递增，故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(－a－1)＝－e－a－1；当－a－1≥4，即a≤－5时，f(x
)在[0,4]上单调递减，故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(4)＝(a＋4)e4.所以函数f(x)在[0,
4]上的最小值为利用导数研究函数性质的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)①若求单调区间(或
证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)
≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.思维升华(4)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x
)在方程根的左右函数值的符号.②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解.(5)求函数
f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的
最值.思维升华变式训练2已知函数f(x)＝lnx＋，a∈R.(1)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数
，求实数a的取值范围；∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，即a≤在[2，＋∞)上恒成立.令g(x)＝，则a≤[g(x
)]min，x∈[2，＋∞)，∵g(x)＝在[2，＋∞)上是增函数，∴[g(x)]min＝g(2)＝1.∴a≤1.所以
实数a的取值范围为(－∞，1].(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值.解由(1)得f′(x)＝
，x∈[1，e].①若2a<1，则x－2a>0，即f′(x)>0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]
上是增函数.所以[f(x)]min＝f(1)＝2a＝3，解得a＝(舍去).②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x＝2
a.当10，所以f(x)
在(2a，e)上是增函数.所以[f(x)]min＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3，解得a＝(舍去).③若2a>e，
则x－2a<0，即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减函数.所以[f(x)]min＝f(e)＝1＋＝3，得a＝e.适合题意.综上a＝e.热点三导数与方程、不等式例3已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x).(1)求函数F(x)的单调区间；思维启迪利用F′(x)确定单调区间；∵a>0，由F′(x)>0?x∈(a，＋∞)，∴F(x)在(a，＋∞)上是增函数.由F′(x)<0?x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a)上是减函数.∴F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞). |
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