2015年高考冲刺压轴卷·广东卷
数学（理卷三）
本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：
①体积公式：，其中分别是体积，底面积和高．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2015·广东省揭阳市二模·1）已知，则下列表示正确的是（）
A. B. C. D.
2．（2015·广东省茂名市二模·2）复数为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是（）．
A． B． C． D．
3．上单调递增的函数是（）
A． B．C．D．
服从正态分布，若，则的值为（）．
A． B． C．3 D．4
5．（2015·广东省汕头市二模·5）
6．（2015·广东省佛山市二模·5）已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．的前n项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是（）
A． B． C． D．
8．（2015·广东省广州市二模·6）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分，其中第13题第一问2分，第二问3分．
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．（2015·广东省揭阳市二模·10）展开式中的常数项为．
10．（2015·广东省茂名市二模·11）如图所示的流程图，若输入的值为2，则输出的值为．
11．不等式的解集．
14．（极坐标与参数方程选做题）若点在以点为焦点的抛物线为参数）上，则等于．
15．（2015·广东省揭阳市二模·15）（几何证明选讲选做题）如图，点P在圆O的直径AB的延长线上，且PB=OB=3,PC切圆O于C点，CDAB于D点，则CD的长为．
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共80分）
16．（2015·广东省茂名市二模·16）（本小题满分12分）已知函数图象的一部分如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）设，,,求的值．
17．（本小题满分12分）种，求的分布列和数学期望．
18．（2015·广东省湛江市二模·18）（本小题满分14分）如图，四棱锥中，．
（1）若点M是PD的中点，证明：;
（2）若得面积为，求二面角的余弦值．
19．（2015·广东省汕头市二模·19）
．
20．（2015·广东省佛山市二模·20）（本小题满分14分）已知椭圆E：过点（0,－2），且离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图3，ABD是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，求动点N（m,k）轨迹方程．
21．（本小题满分14分）（），．的单调区间；
（2）是否存在时，对于任意的，都有恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．2015年高考冲刺压轴卷·广东卷
数学（理卷三）
参考答案与解析
1．D
【命题立意】考查元素与集合的关系，容易题.
【解析】，由，则，；
由，则，；
由，不成立；
由，解得或，满足条件，
2．B
【命题立意】考查复数的几何意义，复数的运算．容易题．
【解析】，复数为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是．
3．【命题立意】【解析】上为非单调函数，∴A错误，是上单调递增的函数．在无定义域，所以C错误，在闭区间上为非单调函数．故选B．
4．A
【命题立意】本题考查随机变量服从正态分布的概率算法．
【解析】因为，，所以，因此．
5．C
【命题立意】本题考查的知识点是．
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y-ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x-y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y-2=0，平行，此时a=-1，综上a=-1或a=2，故选
6．C
【命题立意】本题旨在考查双曲线的几何性质．
【解析】可用筛选法．双曲线的右焦点到左顶点的距离为a＋c，右焦点到渐近线距离为b，所以有：a＋c＝2b，由得，取a＝3，b＝4，则c＝5，满足a＋c＝2b．
故选：C
7．D
【命题立意】此题考查等比数列的性质，运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值．
【解析】由，得到，故选项A正确；
解得：q=-2，则，故选项C正确；
则，故选项B正确；
而，所以数值不能确定的是选项D．故选D
8．B
【命题立意】考查圆锥的性质，最值，中等题.
【解析】由题意，圆锥侧面展开图为如图的扇形，半径为3，圆心角为，
在中，因为，，，由余弦定理得.
9．
【命题立意】考查二项式定理，容易题.
【解析】依题意，，令，，
展开式中的常数项为.
10．7
【命题立意】考查程序框图，直到型循环，容易题．
【解析】当，执行，；
当，执行，，终止循环，故输出的值为7．
11．【命题立意】【解析】，即，解得，此时．
当时，不等式等价为，即，此时．
当时，不等式等价为，即，此时．
综上,故答案为:．
12．
【命题立意】本题考查．
在△ABC中，cos∠ADC=，，则BAD=cos（ADC-∠B）=ADC?cosB+sin∠ADC?sinB=．．
13．
【命题立意】考查向量的数量积，平面向量的坐标运算，中等题.
【解析】由题意知，以A为起点，其余顶点为终点的向量，，分别为，，，以为起点，其余顶点为终点的向量，，分别为，，，建立如图的直角坐标系，
①当，，，时，；
②当，，，时，；
③当，，，时，；
④当，，，时，；
同理，当取其它值时，或或，所以的最小值为.
14．4
【命题立意】本题考查参数方程化普通方程及抛物线的性质．
【解析】抛物线为，为到准线的距离，即距离为．17．;(3)
【命题立意】【解析】，，，
则抽取10人中摇号电动小汽车，非电动小汽车和竞价的人数分别为，，．
（2）由题意知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为人，
∴4人中恰有2人有竞价申请意向的概率为．
（3）n=4，则的取值可能为0,1,2,3,4．
∵用样本估计总体，任取1人，其摇号电动小汽车意向的概率,
∴服从二项分布，即．
则,,
,,,
则的分布列为：
0 1 2 3 4 的数学期望为：．
18．（1）略，（2）
【命题立意】本题考查线面位置关系，及面面夹角问题．
【解析】（1）证明：取PC的中点N，连结MN，NB，在中，MN是中位线，所以MN//DC，且MN=DC，由题意AB=1，CD=2可得AB=CD，且AB//DC，
所以AB//MN,所以四边形ABNM是平行四边形，所以AM//BN，
又AM平面PBC，BN平面PBC，所以AM//平面PBC；
（2）连结BD，由题意可知BAD为等腰三角形，所以有题设，所以CBBD，又PD平面ABCD，所以PDBC，又PDBD=D，
所以BC平面PBD，所以BCPB，所以PBC是直角三角形，且BC=BD=，，所以PB=2，PD=，建立如图空间直角坐标系D-xyz，
则B（1,1,0），C（0,2,0），，，设平面PBC的法向量为，则，即，令则,，所以平面PBC的一个法向量为，又平面PDC的一个法向量为：，则，显然二面角B-PC-D为锐角，故所求的余弦值为．
19．（1）；（2）
【命题立意】本题考查了．
【解析】;（2）
【命题立意】本题旨在考查椭圆方程的求法以及动点的轨迹方程．
【解析】
21．（1）当时，的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
当时，的单调增区间为（0，1）与（，+∞），单调减区间为（1，）；
当时，的单调增区间为（0，+∞）；
当时，的单调增区间为（0，）与（1，+∞），单调减区间为（，1）．
（2）（-∞，0）．
【命题立意】本题考查的是利用导数求函数的单调区间以及恒成立问题，考查了分类讨论思想．
【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞）．，（1分）
①当时，令，解得．
时，；当时，；
所以的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（2分）
②当时，令，解得，．时，当时，；当时，；所以的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（3分）
当时，当时，；当时，；当时，；所以的单调增区间为（0，1）与（，+∞），单调减区间为（1，）；（4分）
当时，，所以的单调增区间为（0，+∞）；（5分）
当时，当时，；当时，；当时，；所以的单调增区间为（0，）与（1，+∞），单调减区间为（，1）．时，的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
当时，的单调增区间为（0，1）与（，+∞），单调减区间为（1，）；
当时，的单调增区间为（0，+∞）；
当时，的单调增区间为（0，）与（1，+∞），单调减区间为（，1）．，都有恒成立，等价于时，成立．时，在（1，+∞）上单调递减，所以当时，．，
令，而
所以在（0，+∞）上单调递减．，因为，所以；
所以在[1，2]上，，；所以在[1，2]上单调递减，所以当时，．，即，（13分）
因为，所以存在时，对于任意的，都有恒成立，且m的取值范围是（-∞，0）．
|
|
