热点四函数与导数
【考点精要】
考点一.求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式.对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形。
考点二.函数与导数的综合应用。以指数式、对数式的运算和指数函数与对数函数的性质等基础知识为考点，考查分析运用条件、探索运算方向、选择运算公式、确定运算程序的思维能力和运算能力。（全国卷）若，则()
A.B. C. D.
考点三.导数、函数的单调性。以函数的值域、极值与最值为考点，考查导数、函数的单调性等性质。如：已知函数，（Ⅰ）求的单调区间和值域；设，函数若对任意，总存在，使成立，求的取值范围。
考点四.函数与导数的模式构建。以函数知识为载体，以向量知识为工具，借助其他知识，考查学生形象思维能力、逻辑思维能力、模式构建能力以及运算能力。
巧点秒拨
1.研究函数及其导数要注意函数的等价转化，如分别是奇函数、偶函数，则是偶函数。
2.求函数的极值点应先求导，然后令得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：,当时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.
3.可导函数的最值可通过内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如,在处不可导，但它是最小值点.
【典题对应】
例1.(201·山东文)已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是
A. B.C. D.
命题意图：本题考查对数函数的图象与性质。
解析：由图象单调递减的性质可得0
例.(2014·山东文)设函数，其中为常数.
（Ｉ）若，求曲线在点处的切线方程；
（II）讨论函数的单调性.
命题意图：本题考查函数的导数、切线方程、函数的单调性。
解析：（1）当a=0时
又∵∴直线过点∴切线方程为.
（2）
①当a=0时，恒大于0.在定义域上单调递增.
②当a>0时，.在定义域上单调递增.
③当a<0时，
开口向下，在定义域上单调递减.
当
对称轴方程为且
∴单调递减，单调递减
单调递减.
综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递增，
时，在定义域上单调递减；单调递减，
单调递增，单调递减.
名师坐堂：根据导函数的符号判断函数的单调性，当导函数中含有参数时务必注意参数的取值或符号，当参数的取值影响符号的判断时务必对参数进行讨论。
例.(2013·山东文5)函数＝的定义域为().
A.(－3,0] B.(－3,1] C.(－∞，－3)∪(－3,0]D.(－∞，－3)∪(－3,1]
命题意图：本题主要考查复合函数的定义域以及函数的交集的运算。
解析：由题可知
∴定义域为(－3,0].答案：A.
名师坐堂：求函数定义域时要注意分母不为零，偶次根式中的被开方数有意义，对数中的真数大于零等情况。
例.(2013·山东文11)抛物线C1：y＝(p＞0)的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()
A.B. C. D.
命题意图：本题主要考查圆锥曲线的焦点、渐近线、切线等，考查学生对不同的圆锥曲线焦点的求法以及三点共线应具备的条件。
解析：设M，，故M点切线的斜率为，故M.由，，(2,0)三点共线，可求得p＝，故选D.
名师坐堂：研究圆锥曲线的切线问题应遵循的步骤是：求导曲线上的点斜率直线方程。三点共线可以采用的方法是：1.向量法；2.直线法；3.距离法。
例.（2012·山东12）设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是
A. B.
C. D.
命题意图：本题主要考查不同的两个函数在同一个坐标系下的图像，根据图像观察自变量与函数值之间的关系与变化趋势。
解析：方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图
作出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为，由图象知即，故答案选B.
方法二：设，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B.
名师坐堂：研究两个函数同解，常常构造一个新的函数，通过研究的零点达到问题解决之目的，此方法简捷、省时、高效，解题中应学会应用。
例.（2011·全国文21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）证明：当，且时，.
命题意图：本题主要考查函数的单调性、解简单的不等式以及分类讨论的思想.
解析：（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=所以
考虑函数则=
所以x≠1时＜0而故
x时h(x)>0可得xh(x)<0可得从而当，且时，.
名师坐堂：当所研究的函数无需使用导数进行判断符号时，利用定义判断函数的单调性仍旧是一种较为直接、有效的办法。在研究函数的单调性时，对含有参数的不等式应根据需要进行分类讨论。
【命题趋向】
函数是数学永恒的主题，是中学数学最重要的主干知识之一；导数是研究函数的有力工具，函数与导数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，高考对函数的考查更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质、证明不等式问题等，体现出高考的综合热点.所以在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考考查数学思想、数学方法、能力和素质的主要阵地.
函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择题、填空题，又有解答题.其命题特点如下：
(1)全方位：近年新课标的高考题中，函数的知识点基本都有所涉及，虽然高考不强调知识点的覆盖率，但函数知识点的覆盖率依然没有减小.
(2)多层次：在近年新课标的高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且题型齐全.低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象等，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较高的试题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透.
(3)巧综合：为了突出函数在中学数学中的主体地位，近年高考强化了函数与其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度.
(4)变角度：出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活.
(5)重能力：以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式、数列等)交汇命题.利用导数解决相关问题，是命题的热点，而且不断丰富创新.解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的应用.综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学素养.
【直击高考】
1.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是()
A.B. C. D.
2.曲线在点（-1，-1）处的切线方程为()
A. B. C. D.
3.已知函数。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，证明当时，函数的图象恒在函数图象的上方。
.已知是函数的一个极值点.
（1）求的值；
（2）任意，时，证明：.
.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
6.已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.
1）求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
2）当x≥时，若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围.
热点四函数与导数
【直击高考】
1.解析：由得，
即，∴∴，
∴切线方程为，即选A2.解析：，所以，故切线方程为.故选A。
3.解析：（Ⅰ）的定义域为，
求得：
令，则当变化时，的变化情况如下表：
1 - 0 +
↘ 极小值 ↗ 故的单调递减区间是。单调递增区间是（Ⅱ）令
则
在上单调递增
又
∴当时，的图象恒在图象的上方。
.解析：（1），
由已知得，解得.
当时，，在处取得极小值.所以.
（2）证明：由（1）知，，.
当时，，在区间单调递减；
当时，，在区间单调递增.
所以在区间上，的最小值为.
又，，
所以在区间上，的最大值为.
对于，有.
所以.
.解析：（Ⅰ）
令,得。
因为，随的变化而变化如下表： 0 + 0 - ↗ 极大 ↘ 由表可知必为最大值,∴，即，
，即，
∴，。
（Ⅱ）∵，∴等价于，
令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，解得，
故所求实数的取值范围是。
.解析：(1)f′(x)＝ex＋4x－3，则f′(1)＝e＋1，
又f(1)＝e－1，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＋1＝(e＋1)(x－1)，
即(e＋1)x－y－2＝0.
(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，得
ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，
即ax≤ex－x2－1.
∵x≥，∴a≤.
令g(x)＝，
则g′(x)＝.
令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，
则φ′(x)＝x(ex－1).
∵x≥，∴φ′(x)＞0，∴φ(x)在上单调递增，
∴φ(x)≥φ＝－＞0，
因此g′(x)＞0，故g(x)在，＋∞上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
∴a的取值范围是.
|
|
