所成的比lA=2，所以：—C-A
丁
"+2C"B
=
3+÷商，所以=了2，故选(A)．
2．如图2，点P、Q分别在AABC的AC、BC
边上，且=PQ过AABC的重心G，C—P=rC—A
，
''_s商，试证：1+上：3
．
rS
证明：连cG并延长．交AB于M．则：
●引＼威
由已知可知：÷<，，
商=÷(
+商)：+因为PG、Q三点共
jrjS。
线，所以+1：1
，即+：3．jrjsrs
圆锥曲线中定值问题的求麓策路
在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系
结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则
称该几何量具有定值特征，这类问题称之为定
值问题．这类问题是中学数学的重要问题，是
高考命题的一个重点，它涉及面广、综合性强，
因此不少同学常常因解题方法选择不当，而导
致解答过程繁难，运算量大，甚至半途而废．鉴
于此，本文总结几种重要的思维策略如下，供
同学们参考．
策略一：特值验证，一目了然
在求解与定值有关的选择题时，运用满足
题设条件的特殊位置、特殊图形对选择支进行
检验或推理，从而判断真伪．
2
，
2
．
例1经过椭圆+=1的右焦点任意
‘．j
诈弦AB，过A作椭圆右准线的垂线AM，垂足为
，则直线曰必经过点()
(A)(2，0)
(C)(3，0)
解：当弦A为椭圆的通时，(4，丢)，
一
·10·
直线BM的方程为2一2y一5=0，经过点
(5
，O)，故选(B)．
例2已知a>0，过(口，0)任作一条直
线Z交抛物线y2=2px(p>0)于P,Q两点，若
乖+为定值，=()
(A)(B)，
(c)1(D)P
解：当直线z的方程为=口时，+
壶；当直线l的方程为)，=0时，
1I1’
+M0a’l肘PIII
由=专，得口=P．故选(D)．pa口‘
隶略=：特值探路，方向明确
根据特殊性与普遍性(个性与共性)的辨
证关系，以特例探路，从特例中求出几何量的
定值，得到启示，从而将问题化归为解几证明
问题，再利用定义、焦半径公式等对一般情形
进行证明．’
、、O0
5—27—2，，、，，．、BD，，
例3过抛物线=∞‘(口>0)的焦点’
作直线Z交抛物线于尸、q两点．
求证：+广击丁为定．·
证明：当直线fj_)，轴，n+广卉
=4a．
下面只需证明一般情形下丽1+寻
=4n即可．设直线z的方程为，，=+，代
‘‘，
入方程Y=ax消去并整理，
得16ay2—8a(1+2k)Y+1=0．
设P(x，Y)，Q(x，Y2)则有Y+Y2=
1-4-2k1
’y)，‘
所以lPFI+lQrI=yl+1+)，2+1=
1+．
''
lJI1．I()Fl=()，+去)(+去)=)，y2
+++丽1=．
所以+==4口．
故+『．赤是定值，定值4n．
策略三：消去参数，直达彼岸
例4过抛物线=
2px(p>0)上一定点(0，
)(Yo>0)作两条直线分别
交抛物线于A(x，Y)、B(x，
Y)两点，当PA与P日的斜率
存在且倾斜角互补时，求证：
直线AB的斜率是非零常数．
0
证明：因为点P,A在抛物线上，所以=
2px0，Y；=2px1．
两式相减，并整理得
揽哦
二!二一
’
同理有==．
因为与PB的倾斜角互补．所以
k=一粕，即Yl+Y2=一2yo．
故、=一P
，
为定值．
评注：①消去参变数才可得常数(定值)，
这是证题的重要依据．②后一与k具有对
应表达式，只要求得k，即知k和k的表达
式，从而有效地避免了重复运算，简化了证题
过程．
策略四：引入参数。构造方程
一例5已知椭圆+各=1(n>b>o)的
口。D
离心率为e，直线f：)，：e+口与轴、Y轴分别
交于点A,B，M是直线z在该椭圆的一个公共
点．求证：}为定值．
证明：设：A屈只要构造方程，求出A
即可．
由题意，可得A、B两点坐标分别为(一旦，
O)、(O，口)．
r=e_．4-nr=一c，
联立i耋+吾：’{y：等，所以点
的坐标是(一c，鱼二)
．
氓
由：A，得(一。+旦，)：A(旦，
口)，所以一c+旦=一Aa
，解得A=1一C2，故
为定值．
．
评注：引入参数，构造方程，也是求解定值
问题的重要途径．．
策略五：利用整体不变，简捷明快
例6已知斜率为l且过椭圆+3，，=
．11。
36的右焦点F的直线交椭圆于A、曰两点．设肘
为椭圆上任意一点，且=A+(A，
∈R)．求证：A+为定值．
证明：设=(，)，(。，，，。)，B(，，，2)．
设直线AB的方程为)，=一c，代人+
3y=3b，
化简得4x一6cx+3c一3b=0。又b：
，所以’+：=吾c=．詈c2．
由已知得(戈，)，)=A(，)，，)+(2，Y：)，．
所』肚-~gx”
’ty=Ayl+IxY2
．
因为M(x，)，)在椭圆上，所以(A+)
+3(A)，1+，，2)=3b．·
即A(2+3)+(；+3，，；)+2Ag(，
+3y1)，2)=3b(％)
因为lX2+3y1)，2：l2+3(x1一c)(2一
c)：4一3(。+X2)c+3cz：妻c：__导c+
3c：0．
又+3y；=3b，；+3y；=3b2，代人
(''Ic)得A+=1．
．故A+为定值，定值为1．
评注：无论，Y，年，Y如何变化，+3
与x+3，，都整体不变，设而不求，简捷明快!
●刘志学
策略六：紧扣定义。整体把握
例7已知c(o，一3)，D(0，3)，求证：无
论动点Q在椭圆lOx+y2=10上如何运动。
‘—，。‘，l———呻
卫恒为一个常数．Oc—==F_·—百-惶为一个霄教．·OO
—oo。。…。
证明：因为c(o，一3)、o(o，3)为椭圆lOx2
+y=10的两个焦点，所以ID+IDI=
2．
设Q(x，)，)，则(Il+l=Il
+lI+2lI．II：40．
因为II+II=[+()，+3)]
+[+(一3)]=2(+)，2)+l8=Il
+l8．
NI)~2I两I+18+2I1．1I=40，
即lI+l1．II=11，又．一
D=+(Y一9)一(x2+y2)：一9，所以
QCQDOQ=一9．——’——_———’^一一．·一z
评注：圆锥曲线的定义(第一定义和第二
定义)与圆锥曲线的焦点、准线、离心率密切相
关，因此凡有关焦点、准线、离心率的定值问
题，均可考虑用定义，整体把握，巧妙消参，迅
速求解．
l辩。l
一道试题的多种解法
这是我校高二年级期中考试的最后一题，
本人在阅卷过程中发现学生的思维非常灵活，
解法多种多样，大大超出了教师的想象，现将
学生的各种解法整理出来以飨读者，希望对同
学们有所启发．
已知圆C：戈+Y一2x+4y一4=0，是否存
在斜率为1的直线2，使l被圆C截得的弦AB为
·12·
直径的圆过原点，若存在，求出直线Z的方程，
若不存在说明理由．
解法1分析：把题设中的条件“以AB为
直径的圆过原点”转化为’上D百，进一步转
化为·OB=0．
解：设存在直线z：)，=+b与圆交于A(，
Y1)，B(2，Y2)两点，则由
|
|
