2015年天津市高考数学（理科）模拟试卷
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.i是虚数单位，=
（A）1+2i（B）-1-2i（C）1-2i（D）-1+2i
2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为()．
A．－7B．－4C．1D．2的值为
（A）3（B）4（C）5（D）6
4．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，
则a=
A.0B.1C.2D.3
5.已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
（A）（B）
（C）（D）
6.如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2＝FD·FA；AE·CE＝BE·DE；AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()．
A．B．C．D．，设点P，Q满足，，，若，则
（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡的相应位置.
9.某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。
10.一个几何体的三视图如右图所示（单位：m）则该几何体的体积为
11.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.
12．已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为.
13.已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为
14．已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
16.（本小题满分13分）
在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：
（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。
(本小题满分13分)
如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且.
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱的中点，点M在平面内，且平面，求线段BM的长。
18.（本小题满分13分）
设椭圆的左、右顶点分别为，点P在椭圆上且异于
两点，为坐标原点.
（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，证明：直线的斜率满足.
19.（本小题满分14分）
已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.
(本小题满分14分)
已知函数f(x)＝x2lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t＝f(s)；
(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)，证明：当t＞e2时，有.
，得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）由（1）可知
又因为，所以
由，得
从而
所以
16.【解析】（Ⅰ）由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3 P X的数学期望EX=
（Ⅱ）设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而
P(A2)=P(X=2)=,P(A3)=P(X=3)=,
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=
17.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点。依题意得
,,
（I）易得,,于是
所以异面直线与所成角的余弦值为。
（II）易知,,设平面的法向量，则，即，不妨令，可得，同样地，设平面的法向量，则,即，不妨令，可得，于是，从而，
所以二面角的正弦值为
（III）由N为棱的中点，得，设，
，由平面，得,即，解得，故，因此，所以线段BM的长。
18.【解析】（1）取，；则
（2）设；则线段的中点
19.【解析】(Ⅰ)由题设，，两式相减
，由于，所以
（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知
假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；
证明时，{}为等差数列：由知
数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列
令则，∴
数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列
令则，∴
∴（），
因此，存在存在，使得{}为等差数列.
20.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令f′(x)＝0，得.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) － 0 ＋ f(x) 极小值 所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)证明：当0＜x≤1时，f(x)≤0.
设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x[1，＋∞)．
由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)＞0.
故存在唯一的s(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．
(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，从而
，
其中u＝lns.
要使成立，只需.
当t＞e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．
所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立．
另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.
当1＜u＜2时，F′(u)＞0；当u＞2时，F′(u)＜0.
故对u＞1，F(u)≤F(2)＜0.
因此成立．
综上，当t＞e2时，有.
输出i
开始
否
是
3
1
3
正视图
3
2
1
俯视图
1
3
侧视图
2
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