Zl岩．乏Z乏．7中学数学杂志2009年第5期
动态求解一组变式立体几何题
湖北省监利县实验高级中学433300吴祖凯
笛卡儿说过：“我们解决的每一个问题，都将成
为一个范例，用于解决其他问题．”因此，在习题教
学(特别是立体几何习题教学)中，教师要利用典型
习题引导学生并亲身经历如何从一个问题演变成一
类问题．一题多用、多题重组，引导学生运用运动变
化的观点，“动态”分析处理，能唤起学生的好奇心
和求知欲，激发学生思维源泉，使学生获得解题愉
快、自由，在陶醉数学、享乐数学的同时，举一反三，
触类旁通．
例1(1993年理科高考题)已知异面直线口与
b所成的角是50。．P为空间的一定点，则过P与n、b
所成的角都是3O。的直线有且仅有()
A．1条B．2条C．3条D．4条
分析本题是一道求解线与线线成等角的试
题，它设计新颖，内涵丰富，是一道注重能力考查的
优秀试题，比较深刻地考查了平移变换的思想和空
间想象能力．教学中，如果引导学生动态的分析题
目，静中求动，让直线“动”起来，学生兴致勃勃，兴
趣盎然．
解过空间一点P作直线，n∥a，b∥b，记过
a，b的平面为，在内不存在过点P与n，b，即与
n，b成50。角的直线，若所求的直线存在，则必在OL
外，其射线必为直线n，b所成角的角平分线．
(1)对于n，b所成的50。
角，记过这个角的平分线且与
(2／垂直的平面为，在平面卢
内，旋转直线PC绕点P向的
垂线的位置运动，该直线与n，
b所成的等角从25。逐渐增加
到90。(如图1)，其间必有一位
图1
例2(2008四川高考题)直线fc平面，经过
外一点A与f，都成30。角的直线有且只有
()
A．1条B．2条C．3条
解法1依题意构造如图
2所示的长方体，其中棱直线
BC视为题中的直线，平面
BCD视为题中的平面Ot，不难
得知直线AC是满足题目限制
条件的一条直线，要使所求直
D．4条
D
线与平面Ot所成的角是30。，则图2
需要相应的斜线段在平面上的射影长度等于BC
=√3，即要使得所求的过点A的直线nz在平面内
的射影应该和直线f平行或重合，因此在平面Ol内的
点曰的左侧取BE=BC=√3，连结AE，则易知直线
AE、／lC均是满足题意的直线，因此选B．
解法2作点A在
内的射影A，在平面Ol内取
一点B，使A=60。，
绕4旋转RtAABA，得到
圆锥ABC，过点A在Ot内
作直线m∥f且交Q,4于
E、F两点(如图3)，则直线
AE，AF与平面Ot和z都成
图3
30。角，有且只有两条．故选B．
变式2变两异面直线a，b为两相交平面Ol，
例3(2004年湖北高考题)已知平面Ot与所
成的二面角为80。，P为Ot，外一定点，过点P的一
条直线与，所成的角都是30。，则这样的直线有且
仅有()
置等于3O。，这样的直线在内有两条，它们关于平．1条B．2条
面对称．C．3条D．4条
(2)对于n，b所成的130。角，直线Pc与n，b解法1过点P作直线
所成等角从65。逐渐增加到90。，其间不能与a，b与，斜交，交点为J4，B，过
成30。角．点P作|pQ上，P尺上Od，垂足
综上，这样的直线有且只有2条．故选B．分别为Q，R，则P是直
变式1变两异面直线a，b中的一线为一面线与Ol所成的角，PBQ是
4
图4
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直线与JB所成的角(如图4)．若／PAR=PBQ=
30。，则LBPQ=／_APR=60。．于是，问题转化为
过点P作直线与PQ，P所成的角为60。的直线有几
条．因为二面角为8O。，所以／_RPQ=100。．
由例1的方法知：过点P与直线PQ、P尺所成的
角为60。的直线有且只有4条．
解法2设Ot，交于直线Z，将点P移动到二面
角—f一／3的平分面上，在内过P作射线尸／4j_
f，易知，与，卢所成的角均为40。，删上平面卢于
，在交线Z上移动点4至，则PAM
=40。．当在Z上趋向于无穷远处时，则／_PA一
0。，此时LPAM=40。为最大，LPAM由40。逐渐变
小为0。(如图5)，其间必有一角为30。．由其对称性
知有两解．
另一方面，二面角Ol一，
一的补角为100。，LPAM由
5O。一0。，其间也必有一角为
30。，在这一侧也存在两条直
线．
于是，符合题意的直线
有且只有4条．图5
例3变式题：已知平面Ol与所成的二面角为
80。，P为，卢外一定点，过P的一条直线与OL，所成
角都是，若这样的直线有且仅有2条，则应满足
()
A．0。<<40。B．40。<<50。
C．50。<<90。D．40。<<90。
答案：B
变式3变动直线，为动平面／3
例4已知异面直线a与b所成的角是50。，P
为空间的一定点，则过P与a，b所成的角都是30。的
平面有且仅有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
解过空间一点P，作直线a／／a，b／／b，记过
，b的平面为，此时平面与a，b所成的角均为0。．
图6图7
(1)对于a，b所成的50。角，记这个角的平分
线为Pc，绕Pc旋转上半平面向平面的垂直平面口
位置运动，该平面与a，b所成的角从0。逐渐增加
到25。(如图6，7)，其间没有与a，b都成30。角的平
面存在．
(2)对于a，b所成的130。角，平面与a，b
所成等角从0。逐渐增加到65。，其问必有一平面与
a，b所成角都等于30。，根据对称性知，这样的平面
有2个．
终上，这样的平面有且仅有2个．故选．
变式4变三线为三平面
例5平面，所成的锐角为40。，过空间中一
个定点P作与，／3所成的角都等于80。的平面，这样
的平面有且仅有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
解如图8，过点P作平面，使上O／，j-
此时平面与平面Ot，／3所成的角都等于9O。，绕着点
P旋转平面至图9的位置，此时平面与平面，卢
所成的角邵等于70。，角从90。一70。(如图9)，其间
必有一位置两二面角均为8O。，根据其对称性，满足
条件的平面应有2个．
图8图9
另一方面，平面，所成的角的补角为140。，平
面与平面，所成的角从90。一20。，其间也必有
一位置两二面角均为80。．
终上，这样的平面有且只有4个．故选D．
以上五例具有相似的几何模型，它们之间隐含
着惟妙惟肖的关系．现代认知心理学研究表明：学生
学习不是被动接受，而是对学习的知识进行能动地
选择、批评、加工和改造的过程．“如果‘不变化问
题’，我们几乎不能有什么进展．”在习题教学中，只
有引导学生擦亮“慧眼”，比较、求同、辨异、类比、迁
移、串联，才能重构习题链，激活学生智慧，培养学生
探究分析能力．
作者简介吴祖凯，男，1964年7月生，大学本科学历，数
学高级教师，现任教于湖北省监利县实验高级中学，主要从事中
学数学教育教学研究．有多篇文章发表．
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