浅谈恒成立问题
新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分。
解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法:①函数性质法;②主参换位法;③分离参数法;④数形结合法。
核心思想:
恒成立(注:若的最小值不存在,则恒成立的下界大于0);
恒成立(注:若的最大值不存在,则恒成立的上界小于0).
知识点梳理
1、恒成立问题的转化:恒成立;
2、能成立问题的转化:能成立;
3、恰成立问题的转化:在M上恰成立的解集为M
另一转化方法:若在D上恰成立,等价于在D上的最小值,若在D上恰成立,则等价于在D上的最大值.
4、设函数、,对任意的,存在,使得,则
5、设函数、,对任意的,存在,使得,则
6、设函数、,存在,存在,使得,则
7、设函数、,存在,存在,使得,则
8、若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方;
9、若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方;
例题分析
一、函数性质法
二次函数:
①.若二次函数(或)在R上恒成立,则有(或);
②.若二次函数(或)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例1(08年江西卷理12).已知函数,若对于任一实数,与的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是()
A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-∞,0)
针对练习1、已知函数,在恒有,求实数的取值范围。
二、主参换位法
某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。
例2、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。
针对训练2、已知函数是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数,
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若上恒成立,求的取值范围;
三、分离参数法
利用分离参数法来确定不等式,(,为实参数)恒成立中参数的取值范围的基本步骤:
(1)将参数与变量分离,即化为(或)恒成立的形式;
(2)求在上的最大(或最小)值;
(3)解不等式(或),得的取值范围。
适用题型:(1)参数与变量能分离;(2)函数的最值易求出。
例3(07年山东卷文15)当时,不等式恒成立,则的取值范围是.
针对训练3、当时,不等式恒成立,则的取值范围是.
四、数形结合(对于型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理)
若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例4(07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
课后作业
1、已知函数,,其中,.
1)对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
2)对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
2、设函数,对任意,都有在恒成立,求实数的取值范围.
3、已知两函数,,对任意,存在,使得,则实数m的取值范围为
4、设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值集合为()
(A)(B) (C) (D)
5、已知两函数,。
(1)对任意,都有成立,求实数的取值范围;
(2)存在,使成立,求实数的取值范围;
(3)对任意,都有,求实数的取值范围;
(4)存在,都有,求实数的取值范围;
不等式在内恒成立,求实数a的取值范围。
例1分析:与的函数类型,直接受参数的影响,所以首先要对参
数进行分类讨论,然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。
解析:当时,在上恒成立,而
在上恒成立,显然不满足题意;(如图1)
当时,在上递减且只在上恒成立,
而是一个开口向下且恒过定点(0,1)的二次函数,显然不满足题意。
当时,在上递增且在上恒成立,
而是一个开口向上且恒过定点(0,1)的二次函数,要使对任一实数,
与的值至少有一个为正数则只需在上恒成立。(如图3)
则有或解得或,
综上可得即。故选B。
针对训练1
分析:为了使在恒成立,构造一个新函数,则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。
解析:令,则对恒成立,而是开口向上的抛物线。
①当图象与x轴无交点满足,即,解得。
②当图象与x轴有交点,且在时,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得:
解得,故由①②知。
例2
解:不等式即,设,则在[-2,2]上恒大于0,故有:
或
针对训练2
(Ⅱ)分析:在不等式中出现了两个字母:及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。
(Ⅱ)略解:由(Ⅰ)知:,,在上单调递减,在上恒成立,,只需,(其中)恒成立,由上述②结论:可令,则,,而恒成立,。
例3解析:当时,由得.令,则易知在上是减函数,所以时,则∴.
针对训练3解析:当时,由得.∴.
例4解析:对,不等式恒成立
则由一次函数性质及图像知,即。
课后作业
1.【分析:】
1)思路、等价转化为函数恒成立,在通过分离变量,创设新函数求最值解决.
2)思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值,即只需满足即可.
简解:(1)由成立,只需满足的最小值大于即可.对求导,,故在是增函数,,所以的取值范围是.
2、分析方法1:化归最值,;
方法2:变量分离,或;
方法3:变更主元,,
简解:方法1:对求导,,
由此可知,在上的最大值为与中的较大者.
,对于任意,得的取值范围是.
解析:对任意,存在,使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0,既,∴
4、答案:B。解析:由方程可得,对于任意的,可得,依题意得。
5、解析:(1)设,问题转化为时,恒成立,故。令,得或。由导数知识,可知在单调递增,在单调递减,在单调递增,且,,,,∴,由,得。
(2)据题意:存在,使成立,即为:在有解,故,由(1)知,于是得。
(3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意,都有成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,,的取值在上具有任意性,∴要使不等式恒成立的充要条件是:。∵∴,
∵,∴在区间上只有一个解。
∴,∴,即.
(4)存在,都有,等价于,由(3)得,,
点评:本题的三个小题,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,准确使用其成立的充要条件。
6、不等式在内恒成立,求实数a的取值范围。
解:画出两个凼数和在
上的图象如图知当时,
当,时总有所以
图3
1
o
x
y
图1
1
x
y
0
1
x
y
0
图2
O
|
|