绝密★启用前试卷类型：B
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,,则().
A.B.C.D.
答案:A
提示:
2.若复数,则().
A.B.C.D.
答案:D
提示:.
3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是().
A.B.C.D.
答案:A
提示:设
4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1个白球,1个红球的概率为().
A.1B.C.D.
答案:C
提示:所求概率为
5.平行于直线且与圆相切的直线的方程是().
A.B.
C.D.
答案:D
提示:设所求直线的方程为
6.若变量满足约束条件,则的最小值为().
A.B.6C.D.4
答案:C
提示:可行域为一五边形及其内部(含边界),该五边形的五个顶点分别为A(1,2),B(3,2),C(3,0),D(2,0),E,
易知当目标函数过点E时取到最小值,此时z=
7.已知双曲线的离心率,且其右焦点为,则双曲线的方程为().
A.B.C.D.
答案:B
提示:
8.若空间中个不同的点两两距离都相等,则正整数的取值().
A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3
答案:C.
提示:显然当以A,B,C,D四点为顶点构成正四面体时,这四点两两的距离都相等,
以下用反证法证明5个或5个以上的点两两距离不可能都相等：假设A,B,C,D,E五个点两两距离都相等,
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13题)
9.在的展开式中,的系数为_____________.
答案:6.
提示:
10.在等差数列中,若,则_____________.
答案:10.
提示:
11.设的内角的对边分别为.若,则___________.
答案:1.
提示:
12.某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______条毕业留言.(用数字作答)
答案:1560.
提示:
13.已知随机变量服从二项分布.若,则__________.
答案:.
提示:
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为,点的极坐标为,则点到直线的距离为____________.
答案:.
15.(几何证明选讲选做题)如图1,已知是圆的直径,,
是圆的切线,切点为,.过圆心作的平行线,
分别交和于点和点,则___________.
答案:8.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,已知向量,.
(1)若,求的值;
(2)若与的夹角为,求的值.
解:(1),
,.
即,.
(2)依题意,
即,.
17.(本小题满分12分)
某工厂36名工人的年龄数据如下表.
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;
(2)计算(1)中样本的均值和方差;
(3)36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？
解:(1)各分段工人的编号依次为1~4,5~8,…,33~36,
依题意,第一分段里抽到的年龄为44,即抽到的是编号为2的工人,
从而所得样本的编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,
即样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.
即36名工人中年龄在与之间有23人,所占的百分比是.
18.(本小题满分14分)
如图2,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,,
点是的中点，点分别在上，且；
(2)求二面角的正切值；与直线所成角的余弦值函数(1)求的单调区间;上仅有一个零点在点处的切线与处的切线与直线平行(是坐标原点),证明.
解:(1),.
(2),
(3)由得,又,.
依题意,,
设,则,
当时,;当时,,,
从而,即.,即,
,
20.(本小题满分14分)
已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点(1)求圆的圆心坐标;(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点？若存在求出;
若不存在,说明理由.
解:(1).
(2)法一:设,,,
即,,
,.
.
法二:
.
(3)将代入中得:,
,,
由得,
与曲线只有一个交点与曲线只有一个交点满足(1)求的值;(2)求数列的前;
(3)令证明数列的前项和满足(1)
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