2014年第4期中学数学教学27
三视图还原实物图的新视角
安徽省和县第二中学傅香平(邮编：238200)
l问题的提出
2014年高考数学安徽卷理科第7题为：
一个多面体的三视图如图所示，则该多面体
的表面积为()
图丽
正(主)视图侧(左)视图
俯视图
A．21+朽B．18+捂C．2lD．18
试题分析本题考查多面体的三视图与表
面积．由题意，该多面体的直观图是正方体
ABCD—A7B7C7D7挖去左
下角A—EFG三棱锥和右上
角三棱锥C7一E7F7G7，如右
图，则多面体的表面积
1
s一2×2×6一÷×1×1
×6+丢×厄×厄×等×2
—21+√3，故选A．
众所周知，很多考生并不能够如此明了地做
出解答，更多的是绞尽脑汁在如何还原为几何体
上苦思冥想、甚至无奈!至此，作为教师就不得
不作出深刻的反思和深入的策略上的思考，以达
到“传道、授业、解惑”，且向着课标所提出的“使
学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，
使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事
求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数
学的思考方式解决问题、认识世界．”的方向推进．
空间几何体的三视图是高中新课程的新增
内容之一，考纲要求能画出简单空间图形的三视
图，而且会根据几何体的三视图识别或想象出原
几何体的立体模型．在近年各地高考的考查中，
该题型屡见不鲜，其目的是考查学生识图能力、
判断能力和空间想象能力．这类问题要求考生由
三视图能够想象得到空间的实物图，进而画出直
观图，并能准确地判断其相应位置关系和计算出
几何体的相关量．殊不知，多半考生普遍感到很
棘手或根本就没办法想象得出，其难点是由三视
图还原实物图，特别是三视图中给出的量和点与
线、线与线位置关系是指实物图中哪个量以及那
些线、面位置关系．为了帮助学生更好地掌握三
视图还原实物图的方法步骤，笔者以为，采用新
视角，不仅能“使学生表达清晰、思考有条理”，而
且能取得了令人满意的教学和解题效果．
其核心内容是：
一个规律三视图的长度特征——“长对
正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，
正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．
两种对应
几何体三视图
占占
J¨、，-¨
线点或线
面线或面
三视图几何体
占点或线J…
线线或面
面面
三个步骤
(1)先画正方体或长方体，在正方体或长方
体底面(或后侧面；或右侧面)上截取出俯视图
(或主视图；或侧视图)形状；
(2)依据正视图和侧视图(或正视图和俯视
图，或俯视图和侧视图)有无垂直关系和节点，确
定并画出在刚刚截取出的俯视图(或侧视图，或
正视图)中各节点处垂直拉升的线条(剔除其中
无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升)，
由高平齐确定其长短(或由长对正确定其长短，
或由宽相等确定其长短)；
万方数据
28中学数学教学2014年第4期
(3)将垂直拉升线段的端点和正视图和侧视
图的节点及俯视图(或侧视图或主视图)各节点
连线后，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几
何体．
下面分别从人手处的不同，通过实例加以
揭示．
2由俯视图引发
例1将如图所示
的三视图还原为几何体．
具体步骤如下：
(1)依据俯视图，在
长方体底面初绘
ABCDE(如图1—1)；
(2)依据正视图和
侧视图中显示的垂直关
系，判断出在节点A、B、
正视图侧视图
俯视图
C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有
垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，
确定点S的位置(如图1—2)；
(3)将点S与点A、B、C、D分别连接，隐去
所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S—
ABCD(如图1—3)．
画
图1一l图1—2图1—3
C
例2(2013年高考数学浙江卷(理)第12
题)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所
示，则此几何体的体积等于cm3
盛图。图侧硼AD
A日
俯视图
本题具体步骤同例1，同时步骤2)中留心增
加了由正视图和侧视图产生的节点D．
(答案24)
例3(2014年高考数学安徽卷(理)第7
题)(题目见前)本题从俯视图人手则能如愿以
偿的达成目标．
具体步骤如下：
(1)依据俯视图，在正方体底面初绘
ABCDEFMN(如图3—1)；
(2)依据正视图和侧视图中显示的垂直关
系，判断出在节点E、F、M、N处不可能有垂直拉
升的线条，而在点A、B、C、D处皆有垂直拉升的
线条，由正视图和侧视图中高度及节点确定点
G、G7、B7、D7、E7、F7的位置(如图3—2)；
(3)由三视图中线条的虚实，将点G与点E、
F分别连接，将点G7与点E7、F7分别连接，隐去
所有的辅助线条便可得到还原的几何体(如图3
—3)．
簿’三薜
图3—1图3—2图3—3
容易算得EF=EG=FG=拉，E7F7=E7G7
一F7G7=√2，则多面体的表面积
广1]1一
s=l1×2+÷(1+2)×1I×6+÷×√2L
厶J厶
呸
×在×等×2=21+石．故选A．
二
上面的示例有一个共同的特点，那就是依据
所给出的三视图和前述的两种对应可以判断几
何体的底面一定是水平的(简单地说能水平放
置)，利用上述方法必然奏效．一旦几何体的底面
不是水平的，思考和操作方向就得变更．
3由侧视图(或主视图)引发
当依据所给出的三视图和前述的两种对应
可以判断几何体的底面不是水平的，则可在正方
体或长方体后侧面(或右侧面)上截取出主视图
(或侧视图)形状，若节点处有垂直拉升的线条，
其拉升的方向相应的变更为向前(或向左)．
例4(2014年高考数学全国卷I(理)第12
题)如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗
实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的
各条棱中，最长的棱的长度为()
A．6捂’B．6C．6√虿D．4
Ⅳ国～回B
万方数据
2014年第4期中学数学教学29
从主视图和侧视图容易判
断，该几何体并不是水平放置
的．显然由俯视图引发则无法奏
效．此时，变更思考和操作方向
成为必然．
飞k、＼
卜、～’★
＼一，
＼一一r
＼
＼
＼
＼j
若由主视图引发。具体步骤如下：
(1)依据俯视图，在长方体后侧面初绘
ABCM(如图4—1)；
(2)依据俯视图和侧视图中显示的垂直关
系，判断出在节点A、B、C处不可能有垂直向前
拉升的线条，而在M处必有垂直向前拉升的线条
MD，由俯视图和侧视图中长度，确定点D的位
置(如图4—2)；
(3)将点D与点A、B、C分别连接，隐去所有
的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC(如
图4—3)．
詹每画
图4～1图4—2图4—3
若由侧视图引发。具体步骤如下：
(1)依据俯视图，在长方体右侧面初绘
BCD(如图)；
(2)依据正视图和俯视图中显示的垂直关
系，判断出在节点C、D处不可能有垂直向前拉
升的线条，而在B处必有垂直向左拉升的线条
BA，由俯视图和侧视图中长度，确定点A的位置
(如图)；
(3)将点A与点B、C、D分别连接，隐去所有
的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC(如
图)．
B14
凰回C
图4一l7图4—27图4—37
试题分析置于棱长为4个单位的正方体
中研究，该几何体为四面体D—ABC，且AB—
BC一4，AC一4√虿，DB—DC=趵百，可得DA一6，
故最长的棱长为6，故选B．
4结语
普通高中数学新课程标准的课程目标中的
第2条就明确提出“提高空间想象、抽象概括、推
理论证、运算求解、数据处理等基本能力”．高考
考纲则更加具体的强调了：空间想象能力是对空
间形式的观察、分析、抽象的能力．主要表现为识
图、画图和对图形的想象能力．识图是指观察研
究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是
指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及
对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有
图想图和无图想图，是空间想象能力高层次的标
志．而将三视图还原为几何体，无疑是提高空间
想象能力的最佳素材之一．利用“新视角”中的方
法思考和解决问题不仅仅有了具体的可操作的
办法，更重要的是将三视图与几何体的抽象对应
关系表现得更加具体，更加深入直观认识和理解
空间点、线、面的位置关系，达到对空间几何体的
整体观察和解决问题的目的．
在本文行将结束之时，特再出示如下考题，
以示应验．
1(2013年高考数学广东卷(理)第5题)某
四棱台的三视图如下左图所示，则该四棱台的体
积是()
1以1R
A．4B．等c．荨D．6(答案：B)
俯视图俯视图
2(2014年高考数学浙江卷理第3题)某几
何体的三视图(单位：cm)如上中图所示，则此几
何体的表面积是()
A．90cm2B．129cm2
C．132cm2D．138cm2(答案：D)
3(2014年高考数学重庆卷理第7题)某几
何体的三视图如上右图所示，则该几何体的表面
积为()
A．5B．60C．66D．72(答案：B)
(收稿日期：2014一05一12)
万方数据
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