1．设x，y，z为正数，求证：
2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．
证明：因为x2＋y2≥2xy≥0，
所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，
同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)，
三式相加即可得
2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)，
又因为xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)，
所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．
2．若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．
解：因为正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，
所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2，又(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)＝9
所以＋＋≥1，当且仅当3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝时，原式取最小值1.
3．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.
(1)解不等式f(x)≥4；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
解：(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－3|＝
不等式f(x)≥4等价于
或或
解得x≤－8或x≥2.
所以原不等式的解集为{x|x≤－8或x≥2}．
(2)由(1)知，当x<－时，f(x)＝－x－4，f(x)单调递减；
当－≤x≤3时，f(x)＝3x－2，f(x)单调递增；
当x>3时，f(x)＝x＋4，f(x)单调递增．
故当x＝－时，y＝f(x)取得最小值．
此时f(x)min＝－.
4．(2012·辽宁高考)已知f(x)＝|ax＋1|(aR)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1|}．
(1)求a的值；
(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．
解：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.
又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意；
当a>0时，－≤x≤，得a＝2.
(2)记h(x)＝f(x)－2f，
则h(x)＝
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
即k的取值范围是[1，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝|x－1|＋|2x＋2|.
(1)解不等式f(x)>5；
(2)若不等式f(x)
解：(1)根据条件得f(x)＝
当x>1时，f(x)>53x＋1>5x>，
又因为x>1，所以x>；
当－1≤x≤1时，f(x)>5x＋3>5x>2，
又因为－1≤x≤1，此时无解；
当x<－1时，f(x)>5－3x－1>5x<－2，
又因为x<－1，所以x<－2.
综上可知，f(x)>5的解集为.
(2)由f(x)＝可得函数f(x)的值域为[2，＋∞)．
又因为不等式f(x)
6．(2012·郑州模拟)已知函数f(x)＝|x－a|－2|x－1|(aR)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的最大值；
(2)解关于x的不等式f(x)≥0.
解：(1)当a＝3时，
f(x)＝|x－3|－2|x－1|＝
所以，当x＝1时，函数f(x)取得最大值2.
(2)由f(x)≥0得|x－a|≥2|x－1|，
两边平方得(x－a)2≥4(x－1)2，
即3x2＋2(a－4)x＋4－a2≤0，
得[x－(2－a)][3x－(2＋a)]≤0，
所以，当a>1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}；
当a<1时，不等式的解集为.
7．设函数f(x)＝|2x－1|＋|x－4|.
(1)求不等式f(x)>4的解集；
(2)若x∈R，f(x)≥－λ2＋λ，求实数λ的取值范围．
解：(1)依题意得f(x)＝
由解得x<；
由解得1
由解得x>4.
综上可知，不等式f(x)>4的解集为.
(2)由y＝f(x)的图可知f(x)在x＝处取得最小值，
对x∈R，f(x)≥－λ2＋λ，
≥－λ2＋λ，即2λ2－9λ＋7≥0，λ≤1或λ≥.
实数λ的取值范围为(－∞，1].
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