限时：90分钟满分：122分
一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)
1．在数列{an}中，a1＝2，当n为正奇数时，an＋1＝an＋2，当n为正偶数时，an＋1＝2an，则a6＝()
A．11B．17
C．22D．23
解析：选C逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22.
2．各项均为正数的等比数列{an}的公比q≠1，a2，a3，a1成等差数列，则＝()
A.B.
C. D.
解析：选B依题意，有a3＝a1＋a2，设公比为q，
则有q2－q－1＝0，所以q＝(舍去负值)．
＝＝＝＝.
3．在ABC中，B＝，三边长a，b，c成等差数列，且ac＝6，则b的值是()
A.B.
C. D.
解析：选D由三边长a，b，c成等差数列可得2b＝a＋c，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos60°＝(a＋c)2－3ac＝4b2－18，解得b＝.
4．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A，B是图像上的一个最高点和一个最低点，O为坐标原点，则·的值为()
A.πB.π2＋1
C.π2－1D.π2－1
解析：选C设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T.由图知＝－＝，T＝π，ω＝＝2，将点代入y＝sin(2x＋φ)得sin＝0，
0<φ<π，φ＝，即y＝sin.
B.又A，·＝－1.
5．公差不为0的等差数列{an}中，3a2010－a＋3a2014＝0，数列{bn}是等比数列，且b2012＝a2012，则b2011b2013＝()
A．4B．8
C．16D．36
解析：选D3a2010－a＋3a2014＝0，
6a2012－a＝0，即a2012(a2012－6)＝0，
数列{bn}是等比数列，
a2012＝b2012≠0，
b2012＝a2012＝6，
b2011b2013＝b＝62＝36.
6．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()
A．4B．5
C．6D．7
解析：选Ba3·a11＝16，a＝16.
又等比数列{an}的各项都是正数，a7＝4.
又a10＝a7q3＝4×23＝25，log2a10＝5.
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()
A．2n－1B.n－1
C.n－1D.
解析：选BSn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an，
an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，3an＝2an＋1，
＝.
又S1＝2a2，a2＝，＝，
{an}从第二项起是以为公比的等比数列，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋＝n－1.
8．在等差数列{an}中，首项a1＝120，公差d＝－4，若Sn≤an(n≥2)，则n的最小值为()
A．60B．62
C．70D．72
解析：选B若Sn≤an(n≥2)，则Sn－1≤0(n≥2)，即Sn－1＝(n－1)×120－×4＝－2n2＋126n－124≤0，即n2－63n＋62≥0，即(n－1)(n－62)≥0，解得n≥62.
9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x时，f(x)＝log(1－x)，则f(2011)＋f(2013)＝()
A．1B．2
C．－1D．－2
解析：选A由已知得，f(2011)＋f(2013)＝f(670×3＋1)＋f(671×3)＝f(1)＋f(0)＝－f(－1)＝1.
10．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于()
A．1006B．2012
C．503D．0
解析：选Aan＝ncos，a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，….
由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，
a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2.
又2012＝4×503，a1＋a2＋…＋a2012＝2×503＝1006.
二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)
11．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝，S2＝a3，则a2＝________.
解析：设{an}的公差为d，
由S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，
又因为a1＝，所以d＝，故a2＝a1＋d＝1.
答案：1
12．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)b，则k＝________.
解析：依题意得a－c＝(3－k，－6)，3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.
答案：5
13．(2012·温州模拟)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．
解析：S5S6＋15＝0(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即30a＋135a1d＋150d2＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0，由于a1，d为实数，故(9d)2－4×2×(10d2＋1)≥0，即d2≥8，故d≥2或d≤－2.
答案：(－∞，－2][2，＋∞)
14．已知数列{an}中，a1＝1，且P(an，an＋1)(nN)在直线x－y＋1＝0上，若函数f(n)＝＋＋＋…＋(nN，且n≥2)，函数f(n)的最小值是________．
解析：由题意知an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，数列{an}是等差数列，公差d＝1，an＝n，当n≥2时，f(n)＝＋＋＋…＋，f(n＋1)－f(n)＝＋＋＋…＋
－＝
＋－＝－>0，
f(2)
[f(n)]min＝f(2)＝＋＝.
答案：
三、解答题(共4个小题，每小题14分，共56分)
15．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，nN.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)当n＝1时，T1＝2S1－12.
因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.
(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，
所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，
所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，
②－得an＋1＝2an＋2.
所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)．
当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则＝2，
所以当n＝1时也满足上式．
所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.
16．设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn.
解：(1)令f′(x)＝＋cosx＝0，所以cosx＝－，
解得x＝2kπ±π(k∈Z)．
由xn是f(x)的第n个正极小值点知，
xn＝2nπ－π(nN)．
(2)由(1)可知，
Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－，
所以sinSn＝sin.
因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数，所以sinSn＝－sin.
当n＝3m－2(mN)时，
sinSn＝－sin＝－；
当n＝3m－1(mN)时，
sinSn＝－sin＝；
当n＝3m(mN)时，
sinSn＝－sin2mπ＝0.
综上所述，sinSn＝
17．已知向量m＝与向量n＝共线，其中A，B，C是ABC的三个内角．
(1)求角B的大小；
(2)求2sin2A＋cos(C－A)的取值范围．
解：(1)因为向量m＝与向量n＝共线，所以coscos＝，
即cos＝±，
又因为0
即B＝.
(2)由(1)知A＋C＝，所以C＝－A，
所以2sin2A＋cos(C－A)＝2sin2A＋cos＝1－cos2A＋cos2A＋sin2A
＝1＋sin，
因为0
所以sin，
所以1＋sin，
故2sin2A＋cos(C－A)的取值范围是.
18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)依题意得
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)，
即an＝2n＋1.
(2)＝3n－1，bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，
Tn＝3＋5·3＋7·32＋…＋(2n＋1)·3n－1，
3Tn＝3·3＋5·32＋7·33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n，
两式相减得－2Tn＝3＋2·3＋2·32＋…＋2·3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2·－(2n＋1)3n＝－2n·3n，
所以Tn＝n·3n.
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