限时：90分钟满分：122分
一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)
1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()
A.－y2＝1B.－y2＝1
C.－＝1D．x2－＝1
解析：选B椭圆＋y2＝1的焦点为(±，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A、C.又因为双曲线－y2＝1经过点(2,1)，故排除D.
2．设椭圆＋＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
解析：选B因为抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2,0)，由此得＝，解得m＝4，由n2＝m2－22＝12，所以所求的椭圆方程是＋＝1.
3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，bR)对称，则ab的取值范围是()
A.B.
C. D.
解析：选A由题意知，圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得2a＋2b＝2，即a＋b＝1，平方得1＝a2＋b2＋2ab≥4ab，
所以ab≤.
4．已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()
A．5x2－＝1B.－＝1
C.－＝1D．5x2－＝1
解析：选A由题意得抛物线焦点为(1,0)，
a2＋b2＝1.又e＝＝＝＝
a2＝，b2＝
该双曲线的方程为5x2－y2＝1.
5．已知数列{an}满足：a1＝1，an>0，a－a＝1(nN)，那么使an<5成立的n的最大值为()
A．4B．5
C．24D．25
解析：选Ca－a＝1，数列{a}是以a＝1为首项，1为公差的等差数列，a＝1＋(n－1)＝n，又an>0，an＝.an<5，<5，n<25.∴n的最大值为24.
6．(2012·福州模拟)直线y＝x与椭圆C：＋＝1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为()
A.B.
C. D.
解析：选A设直线y＝x与椭圆C：＋＝1在第一象限的交点为A，依题意有，点A的坐标为(c，c)，又因为点A在椭圆C上，故有＋＝1，因为b2＝a2－c2，
所以＋＝1，所以c4－3a2c2＋a4＝0，
即e4－3e2＋1＝0，所以e＝.
7．已知kR，则直线y＝k(x－1)＋2被圆x2＋y2－2x－2y＝0截得的弦长的最小值为()
A.B．1
C．2D．2
解析：选D因为直线y＝k(x－1)＋2过定点A(1,2)，而该点与圆心(1,1)的距离为1，已知当定点A(1,2)为弦的中点时，其弦长最短，其值为2＝2＝2.
8．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有()
A．f
B．f
C．f
D．f(2)
解析：选C由f(2－x)＝f(x)得f(1－x)＝f(x＋1)，即函数f(x)的对称轴为x＝1，结合图形可知f
9．(2012·海淀模拟)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离．已知点A(1,0)，圆C：x2＋2x＋y2＝0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是()
A．双曲线的一支B．椭圆
C．抛物线D．射线
解析：选D如图所示，由题知圆C的圆心C(－1,0)，A(1,0)，令满足题意的点M到圆C的距离为|MO|，到点A的距离为|MA|，|MO|－|MA|＝1＝|OA|，O、A、M三点共线，动点M的轨迹是以A为端点的在x轴的正方向上的射线．
10．(2012·郑州模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()
A．y2＝9xB．y2＝6x
C．y2＝3xD．y2＝x
解析：选C过点B作准线的垂线，垂足为B1，记准线与x轴的交点为F1，则依题意得＝＝，所以|BB1|＝|FF1|＝，由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|＝.令A(x1，y1)、B(x2，y2)，依题意知F，可设直线l的方程为y＝k.联立方程消去y得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝.又由抛物线的定义知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，则可得＋＝，于是有＋＝，解得2p＝3，所以此抛物线的方程是y2＝3x.
二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)
11．已知集合A＝，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若xA是xB的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：由x2－x－6<1，得x2－x－6>0，解得x<－2或x>3，故A＝{x|x<－2或x>3}；由log4(x＋a)<1，即0
答案：(－∞，－3][6，＋∞)
12．(2012·海淀模拟)已知抛物线y2＝ax过点A，那么点A到此抛物线的焦点的距离为________．
解析：由题意知点A在抛物线y2＝ax上，得1＝a，所以a＝4，故y2＝4x.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到此抛物线的焦点的距离为xA＋＝＋1＝.
答案：
13．已知直线y＝k(x－2)(k>0)与抛物线y2＝8x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值.
解析：直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB，则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2，又因为k>0，故k＝2.
答案：2
14．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1、A2，若点P为双曲线右支上的一点，且直线PA1、PA2的斜率分别为、2，则双曲线的渐近线方程为__________．
解析：由题知A1(－a,0)，A2(a,0)．设点P(x0，y0)，
则有＝1，又由于点P在双曲线上，所以有：－＝1＝－1＝
＝.由可知＝1＝1.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
三、解答题(共4个小题，每小题14分，共56分)
15．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，sinB＝.
(1)求cosA及sinC的值；
(2)若b＝2，求ABC的面积．
解：(1)因为A＝2B，
所以cosA＝cos2B＝1－2sin2B.
因为sinB＝，
所以cosA＝1－2×＝.
由题意可知，A＝2B,0
所以cosB＝＝.
因为sinA＝sin2B＝2sinBcosB＝.
所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝
sinAcosB＋cosAsinB＝.
(2)因为＝，b＝2，
所以＝.
所以a＝.
所以ABC的面积SABC＝absinC＝.
16．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点．
(1)当点P为AB的中点时，证明DP平面ACC1A1；
(2)若AP＝3PB，求三棱锥B－CDP的体积．
解：(1)证明：如图，连接DP，AC1，
P为AB的中点，D为C1B的中点，
DP∥AC1.
又AC1?平面ACC1A1，DP平面ACC1A1，
DP∥平面ACC1A1.
(2)由AP＝3PB，
得PB＝AB＝.
如图，过点D作DEBC于点E，则DE綊CC1，连接CD，CP，DP，
又CC1⊥平面ABC，
DE⊥平面BCP.
又CC1＝3，DE＝.
则SBCP＝×2×sin60°＝，
VB－CDP＝VD－BCP＝××＝.
17．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．
解：(1)因为点P在椭圆上，
故＋＝1，可得＝.
于是e2＝＝1－＝，
所以椭圆的离心率e＝.
(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，
设点Q的坐标为(x0，y0)．
由条件得
消去y0并整理得x＝.
由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，
得(x0＋a)2＋k2x＝a2.
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，而x0≠0，故x0＝，代入，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.
由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，
即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.
所以直线OQ的斜率k＝±.
18．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点．
(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；
(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.
解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有
＋＝1.
由A(－a,0)，B(a,0)得kAP＝，kBP＝.
由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入并整理得(a2－2b2)y＝0.
由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，
所以椭圆的离心率e＝.
(2)证明：法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得
消去y0并整理得x＝.
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，
得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，于是x0＝，代入，
整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.
由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4，
因此k2>3，所以|k|>.
法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．
由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以＋<1，即(1＋k2)x
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝.代入，
得(1＋k2)3，所以|k|>.
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