一、有关求值问题
1.已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，直线＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且＝(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．圆x＋y＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，当该三角形P(如图)．双曲线C：－＝1过点P且离心率为(1)求C的方程；(2)椭圆C过点P且与C有相同的焦点，直线l过C的右焦点且与C交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．:＝，圆:的圆心为点M
（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程
二、有关证明问题
4.如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
5.已知曲线.
（1）是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
（），曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与
曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：，，
三点共线.
三、有关求范围和最值问题
6.椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程．(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标．如图，O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F，F，离心率为e；双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F，F，离心率为e已知e＝，且＝－1(1)求C1，C的方程；(2)过F作C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．9.在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上
位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值．
10.椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．
（i）证明：MD⊥ME;
（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得?请说明理由。
四、有关定点定值问题
11.在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.
12.如图所示，已知双曲线C：－y＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，，(O为坐标原点)．(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x，y)(y0≠0)的直线l：－y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．已知抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程．(2)若直线l，且l和C有且只有一个公共点E.证明直线AE过定点，并求出定点坐标．的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值．
中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为；（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由.
16.如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.(1) 求椭圆的方程;(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,.记,和的面积分别为和.
(I)当直线与轴重合时,若,求的值;(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（I）设，求与的比值；
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
一、有关求值问题(2011年之后高考题)
1.已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，直线＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且＝(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．1．解：(1)设Q(x，4)，代入y＝2px，得x＝，所以|PQ|＝，|QF|＝＋x＝＋由题设得＋＝，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以C的方程为y＝4x.(2)依l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y＝4x，得y－4my－4＝0.设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝4m，y＝－4.故线段的AB的中点为D(2m＋1，2m)，＝－y＝4(m＋1)．又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－＋2m＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y＋－4(2m＋3)＝0.设M(x，y)，N(x，y)，则y＋y＝－，y＝－4(2m＋3)．故线段MN的中点为E，＝－y＝由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝，从而＋|DE|＝，即(m2＋1)＋＋＝，化简得m－1＝0，解得m＝1或m＝－1，故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0圆x＋y＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成—个三角形，当该三角形P(如图1-6所示)．双曲线C：－＝1过点P且离心率为
图1-6(1)求C的方程；(2)椭圆C过点P且与C有相同的焦点，直线l过C的右焦点且与C交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．解：(1)设切点坐标为(x，y)(x0>0，y)，则切线斜率为－，切线方程为y－y＝－(x－x)，即x＋y＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，S＝·＝由＋y＝知，当且仅当x＝y＝时x有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)．由题意知解得a＝1，b＝2，故C的方程为x－＝1.(2)由(1)知C的焦点坐标为(－，0)，(，0)，由此可设C的方程为＋＝1，其中b由P(，)C2上，得＋＝1，解得b＝3，因此C的方程为＋＝1.显然，l不是直线y＝0.设直线l的方程为x＝my＋，点A(x，y)，(x2，y)，由得(m＋2)y＋2－3＝0.又y，y是方程的根，因此
②
由x＝my＋，x＝my，得
因为＝(－x，－y1)，＝(－x，－y)，由题意知＝0，所以x－(x＋x)＋y－(y＋y)＋4＝0，⑤将①②③④代入⑤式整理得－2＋4－11＝0，解得m＝－1或m＝－＋1.因此直线l的方程为－(－1)y－＝0或x＋(－1)y－＝0.:＝，圆:的圆心为点M
（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程
本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
（I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：
所以圆心M（0，4）到准线的距离是
（II）解：设，
则题意得，
设过点P的圆C2的切线方程为，
即 ①
则
即，
设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以
将①代入
由于是此方程的根，
故，所以
由，得，
解得
即点P的坐标为，
所以直线的方程为
二、有关证明问题
4.如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.
解：（1）由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以
（2）直线PA的方程
解得
于是直线AC的斜率为
（3）解法一：
将直线PA的方程代入
则
故直线AB的斜率为
其方程为
解得.
于是直线PB的斜率
因此
解法二：
设.
设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以
从而
因此
5.已知曲线.
（1）是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
（），曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与
曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：，，
三点共线.
解：（1）原曲线方程可化简得：
由题意可得：，解得：
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，
，解得：由韦达定理得：①，，②
设，，
方程为：，则，
，，
欲证三点共线，只需证，共线
即成立，化简得：
将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。
三、有关求范围和最值问题
6.如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．．(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程．(Ⅰ)由题：；(1)
左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：．．．(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．x0．．(m≠0)，
代入椭圆：．．＜m＜且m≠0．＝m，＝．||＝＝．．ABP＝d|AB|＝|m-4|=，此时直线l的方程．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程．(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标．解：(1)由已知可得解得a＝6，b＝2，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率k＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率k＝直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x，y)，Q(x，y)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m＋3)y－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m＋8(m＋3)>0.所以y＋y＝，y，＋x＝m(y＋y)－4＝设M为PQ的中点，则M点的坐标为所以直线OM的斜率k＝－，又直线OT的斜率k＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.由①可得，＝，＝＝＝＝所以＝＝≥＝当且仅当m＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此取得最小值．故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．如图1-7，O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F，F，离心率为e；双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F，F，离心率为e已知e＝，且＝－1(1)求C1，C的方程；(2)过F作C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
图1-7解：(1)因为e＝，所以＝，即a－b＝，因此a＝2b，从而F(b，0)，(b，0)，于是－b＝|F＝－1，所以b＝1，a＝2.故C，C的方程分别为＋y＝1，－y＝1.
(2)因AB不垂直于y轴，且过点F(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由得(m＋2)y－2my－1＝0.易知此方程的判别式大于0.设A(x，y)，B(x，y)，则y，y是上述方程的两个实根，所以y＋＝，y＝因此x＋x＝m(y＋y)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－，即mx＋2y＝0.由得(2－m)x2＝4，所以2－m，且x＝，y＝，从而|PQ|＝2＝.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝因为A，B在直线＋＝0的异侧，所以(mx＋2y)(mx2＋)<0，于是|mx＋2y＋|mx＋2y＝|mx＋2y－mx－2y，从而2d＝又因为|y－y＝＝，所以2d＝故四边形APBQ的面积S＝＝＝2.
而0<2－m，故当m＝0时，S取最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.中，是抛物线的焦点，是抛物线上
位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线
的距离为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；
若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与
圆有两个不同的交点，求当时，的最小值．
（21）解：
（Ⅰ）依题线段为圆的弦，由垂径定理知圆心的纵坐标，
又到抛物线准线的距离为，所以.
所以为所求.
（Ⅱ）假设存在点，，又，，设，.变形为
因为直线为抛物线的切线，故，解得，
即，.
又取中点，，由垂径定理知，
所以，，，所以存在，.
（Ⅲ）依题，，圆心，，圆的半径，
圆心到直线的距离为，
所以，.
又联立，
设，，，，则有，.
所以，.
于是，
记，
，所以在，上单增，
所以当，取得最小值，
所以当时，取得最小值.
10.椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．
（i）证明：MD⊥ME;
（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得?请说明理由。
解：（Ⅰ）由题意知
故C1，C2的方程分别为
（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.
由得
.
设是上述方程的两个实根，于是
又点M的坐标为（0，—1），所以
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得
则点A的坐标为.
又直线MB的斜率为，
同理可得点B的坐标为
于是
由得
解得
则点D的坐标为
又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为
于是.
因此
由题意知，
又由点A、B的坐标可知，
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为
四、有关定点定值问题
11.在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.
【解析】（Ⅰ）解法1：设M的坐标为，由已知得
，
易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以
.
化简得曲线的方程为.
解法2：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.
（Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆
相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是
整理得
①
设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故
②
由得③
设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以
④
同理可得
⑤
于是由②，④，⑤三式得
.
所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.
12.如图1-7所示，已知双曲线C：－y＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，，(O为坐标原点)．
图1-7(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x，y)(y0≠0)的直线l：－y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝由题意，直线OB的方程为y＝－，直线BF的方程为y＝x－c)，所以B又直线OA的方程为y＝，则A，所以k＝＝又因为AB⊥OB，所以＝－1，解得＝3，故双曲线C的方程为－y＝1.(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y＝(y0≠0)，即y＝(y)．因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，则＝＝＝·.
又P(x，y)是C上一点，则－y＝1，代入上式得＝＝＝，所以＝＝，为定值．已知抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程．(2)若直线l，且l和C有且只有一个公共点E.证明直线AE过定点，并求出定点坐标．的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．由＝3，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y＝4x.(2)①证明：由(1)知F(1，0)．设A(x，y)(x0y0≠0)，D(x，0)(x)．因为|FA|＝|FD|，则|x－1|＝x＋1，由x得x＝x＋2，故D(x＋2，0)．故直线AB的斜率k＝－因为直线l和直线AB平行，设直线l的方程为y＝－＋b，代入抛物线方程得y＋－＝0，由题意Δ＝＋＝0，得b＝－设E(x，y)，则y＝－，x＝当y时，k＝＝－＝，可得直线AE的方程为y－y＝(x－x)，由y＝4x，整理可得y＝(x－1)，直线AE恒过点F(1，0)．当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)．所以直线AE过定点F(1，0)．由①知，直线AE过焦点F(1，0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x＋1)＋＝x＋＋2.设直线AE的方程为x＝my＋1，因为点A(x，y)在直线AE上，故m＝设B(x，y)．直线AB的方程为y－y＝－(x－x)，由y，得x＝－＋2＋x代入抛物线方程得y＋－8－4x＝0，所以y＋y＝－，可求得y＝－y－，x＝＋x＋4.所以点B到直线AE的距离为＝＝＝4，则△ABE的面积S＝x0＋＋2≥16，当且仅当＝x，即x＝1时，等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．
【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得
，∴。
由点在椭圆上，得
∴椭圆的方程为。
（2）由（1）得，，又∵∥，
∴设、的方程分别为，。
∴。
∴。①
同理，。②
（i）由①②得，。解得=2。
∵注意到，∴。
∴直线的斜率为。
（ii）证明：∵∥，∴，即。
∴。
由点在椭圆上知，，∴。
同理。。
∴
由①②得，，，
∴。
∴是定值。
中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的
点到的距离的最大值为；
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的
两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；
若不存在，请说明理由。（lbylfx）
【解析】（1）设由，所以
设是椭圆上任意一点，则，所以
当时，当时，有最大值，可得，所以
当时，不合题意
故椭圆的方程为：
（2）中，，
当且仅当时，有最大值，
时，点到直线的距离为
又，此时点(lfxlby)
16.如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.(1) 求椭圆的方程;(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)由在椭圆上得,①
依题设知,则②
②代入①解得.
故椭圆的方程为.
(2)方法一:由题意可设的斜率为,
则直线的方程为③
代入椭圆方程并整理,得,
设,则有
④
在方程③中令得,的坐标为.
从而.
注意到共线,则有,即有.
所以
⑤
④代入⑤得,
又,所以.故存在常数符合题意.
方法二:设,则直线的方程为:,
令,求得,
从而直线的斜率为,
联立,得,
则直线的斜率为:,直线的斜率为:,
所以,
故存在常数符合题意.
如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,.记,和的面积分别为和.
(I)当直线与轴重合时,若,求的值;(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.
【答案】解:(I),
解得:(舍去小于1的根)(II)设椭圆,,直线:
同理可得,又和的的高相等如果存在非零实数使得,则有,
即:,解得当时,,存在这样的直线;当时,,不存在这样的直线.
18.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（I）设，求与的比值；
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得
………………4分
当表示A，B的纵坐标，可知
………………6分
（II）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即
解得
因为
所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；
当时，存在直线l使得BO//AN.………………12分
第21题图
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