专题十四解决圆锥曲线与方程问题
【典题导引】
例1.已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程．
(1)由已知可设椭圆的方程为，其离心率为，故，解得.故椭圆的方程为(2)两点的坐标分别记为，由及(1)知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.
将代入中，得，所以.
将代入中，得，所以.
又由，得，，解得.
故直线的方程为或.例2.(2012安徽)如图，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，.
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知的面积为，求的值．(1)由题意可知，为等边三角形，，所以.
(2)方法一，，直线的方程为，
将其代入椭圆方程，得，.
由，解得，.
方法二设.因为，所以.由椭圆定义可知，，再由余弦定理可得，.
由知，，.
例3.（2014江苏）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连结．
（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆离心率的值．
（1），，，椭圆方程为（2）设焦点关于x轴对称，三点共线，，即①
，，即②
①②联立方程组，解得,
C在椭圆上，，
化简得，,故离心率为例4.(2013课标全国Ⅱ)平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．解(1)设，则,
①－②，得.
因为，设，因为为的中点，且的斜率为，
所以，即．
所以可以解得，即，即，
又因为，所以，所以椭圆的方程为(2)因为，直线方程为，所以设直线方程为，
将代入得：，即，
所以可得；
将代入得：，
设，则，
又因为，即，
所以当时，取得最大值，所以四边形面积的最大值为.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求.求椭圆或双曲线的离心率的方法：
①直接求出和，代入；
例3图
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