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2014年北京平谷中考一模数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．
1．西部大开发战略是党中央面向21世纪的重大决策，我国西部地区面积为6400000平方千米，
将6400000用科学记数法表示应为（）．
A．70.6410?B．66.410?C．56410?D．464010?
2．23?的相反数是（）．
A．23B．32?C．32D．23?
3．在一个口袋中，装有质地、大小均相同、颜色不同的红球3个，蓝球4个，黄球5个，现在随
机抽取一个球是红球的概率是（）．
A．112B．13C．14D．15
4．如图，ABCD∥，AF交CD于点O，且OF平分EOD?，
如果34A???，那么EOD?的度数是（）．
A．34?B．68?
C．102?D．146?
5．在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对
校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：
如图1，甲组测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．
如图2，乙组测得学校旗杆的影长为900cm．则旗杆的长为（）．
A．900cmB．1000cm
C．1100cmD．1200cm
6．某校篮球班21名同学的身高如下表：
身高（cm）180186188192208
人数（个）46542
则该校篮球班21名同学身高的众数和中位数分别是（）．
A．186，188B．188，186C．186，186D．208，188
7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．
A．B．C．D．
图2
900cm
图1
60cm
80cm
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FE
DCBA
E
C
B
D
A
F8．如图，在矩形ABCD中，9AB?，3BC?，点E是沿AB?方向运动，点F
是沿ADC??方向运动．现E、F两点同时出发匀速运动，设点E的运动速
度为每秒1个单位长度，点F的运动速度为每秒3个单位长度，当点F运动到C
点时，点E立即停止运动．连结EF，设点E的运动时间为x秒，EF的长度为y
个单位长度，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．分解因式：269mnmnm???_________________．
10．请写出一个开口向下，对称轴为直线1x?的抛物线的解析式，y?__________________．
11．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰
好与点O重合，若3BC?，则折痕CE的长为___________________．
12．如图，1P、2P、3P…nP（n为正整数）分别是反比例函数
(0)kykx??在第一象限图像上的点，1A、2A、3A…nA分别为x
轴上的点，且11POA?、212PAA?、323PAA?…1nnnPAA??均为等边
三角形．若点1A的坐标为(2,0)，则点2A的坐标为___________，
点nA的坐标为_______________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．如图，点A、C、D、B四点共线，且ACDB?，AB???，EF???．
求证：DECF?．
x14
y
Ox14
y
Ox14
y
Ox14
y
O
A．B．C．D．
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14．计算：101()4sin6027(3)2???????．
15．求不等式组2(1)47
22
xx
xx
?????
??????的整数解．
16．已知20xy??，求代数式(2)()()xxyxyxy????的值．
17．端午节期间，某校“慈善小组”筹集善款600元，全部用于购买粽子到福利院送给老人．购买大
枣粽子和豆沙粽子各花300元，已知大枣粽子比豆沙粽子每盒贵5元，结果购买的大枣粽子比
豆沙粽子少2盒．请求出两种口味的粽子每盒各多少元?
4/15
A
BC
E
F
D
AC
B
O
D
18．关于x的一元二次方程2(3)320kxx????有两个不相等的实数根．[来
（1）求k的取值范围．
（2）求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在ABC△中，D为AB边上一点，F为AC的中点，过点C作CEAB∥交DF的延长线
于点E，连结AE．
（1）求证：四边形ADCE为平行四边形．
（2）若22EF?，30FCD???，45AED???，求DC的长．
20．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OCOB?，连接AB交OC于点D．
（1）求证：ACCD?．
（2）若2AC?，5AO?，求OD的长．
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21．由平谷统计局2013年12月发布的数据可知，我区的旅游业蓬勃发展，以下是根据近几年我区
旅游业相关数据绘制统计图的一部分：
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）计算2012年平谷区旅游区点营业收入占全区旅游营业收入的百分比，并补全扇形统计图；
（2）2012年旅游区点的收入为2.1万元，请你计算2012年平谷区旅游营业收入，并补全条形统计
图（结果保留一位小数）；
（3）如果今年我区的旅游营业收入继续保持2013年的增长趋势，请你预测我区今年的旅游营业收
入（结果保留一位小数）．
22．如图1，在ABC△中，E、D分别为AB、AC上的点，且EDBC∥，O为DC中点，连结EO
并延长交BC的延长线于点F，则有EBFEBCDSS?四边形△．
（1）如图2，在已知锐角AOB?内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、
OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，当直线MN满足某个条件时，
MON△的面积存在最小值．直接写出这个条件：______________________．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为(6,0)、
(6,3)、99(,)22、(4,2)，过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分
成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值．
x
y
图3
C
B
图1图2
O
B
A
D
O
E
FCB
A
P
AO
P
北京市平谷区2008-2013年旅游
营业收入统计图
北京市平谷区2012年旅游
营业收入统计图
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y
x
A
B
P
C
D
O
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线1yx??与抛物线23(0)yaxbxa????交于A、B两点，
点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B
重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB?于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把PDB△分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的
面积比为1:2．若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
24．（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，45EAF???，连接EF，
则EF、BE、FD之间的数量关系是：EFBEFD??．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、
BM、DN满足222MNBMDN??，请证明这个等量关系；
（2）在ABC△中，ABAC?，点D、E分别为BC边上的两点．
①如图2，当60BAC???，30DAE???时，BD、DE、EC应满足的等量关系是
_________________；
②如图3，当BAC???(090)?????，12DAE???时，BD、DE、CE应满足的等量关系是
__________________．【参考：22sincos1????】
AB
CD
E
F
图1
BCDE
图2
A
BCDE
图3
A
M
N
7/15
y
x
y
x
AB
C
N
备用图
N
C
BA
OO
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线212yxbxc????（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角
ABC△的顶点A的坐标为(0,1)?，C的坐标为(4,3)，直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求b，c的值；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q．
①点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三
角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标；
②取BC的中点N，连接NP，BQ．当PQNPBQ?取最大值时，点Q的坐标为_______________．
[来源：学,科,网]
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2014年北京平谷中考一模数学试卷答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1．B；2．A；3．C；4．B；
5．D；6．A；7．D；8．C．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．2(3)mn?；10．答案不唯一，222yxx????；
11．23；12．(22,0)，(2,0)n．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．（本小题满分5分）
证明：∵ACDB?，
∴ACCDDBCD???，
即ADBC?．
在AED△和BFC△中
AB
EF
ADBC
?????
?????
??
∴AEDBFC?△△．
∴DECF?．
14．（本小题满分5分）
解：原式324331
2?????
223331????
33??．
15．（本小题满分5分）
2(1)4
722
xx
xx
????
??????
≥
解不等式2(1)4xx??≥，得2x?≥
解不等式722xx???，得3x?
∴不等式组的解集为23x???
∴不等式组的整数解为2?、1?、0、1、2．
16．（本小题满分5分）
解：原式2222()xxyxy????
222=2xxyxy???
2=2yxy?．
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∵20xy??，
∴2yx?．
∴原式(2)0yyx??．
17．（本小题满分5分）
解：设豆沙粽子每盒x元，则大枣粽子每盒(5)x?元．
依题意得：30030025xx???，
解得130x??，225x?．
经检验：130x??，225x?是原方程的解，但130x??不符合题意，舍去．
当25x?时，530x??．
答：大枣粽子每盒30元，豆沙粽子每盒25元．
18．（本小题满分5分）
解：（1）方程有两个不相等的实数根，
∴
2
30=(3)42(3)0kk???????????
解得，338k?且3k?．
（2）k的正整数值为1、2、4．
如果1k?，原方程为22320xx????．
解得12x??，
212x?
，不符合题意舍去．
如果2k?，原方程为2320xx????，
解得
13172x???
，
23172x???
，不符合题意，舍去．
如果4k?，原方程为2320xx???，解得11x?，22x?符合题意．
∴4k?．
19．（本小题满分5分）
（1）证明：∵CEAB∥，
∴DAFECF???．
∵F为AC的中点，
∴AFCF?．
在DAF△和ECF△中
DAFECF
AFCF
AFDCFE
?????
???
????
∴DAFECF?△△．
∴ADCE?．
∴四边形ADCE为平行四边形．
（2）作FHDC?于点H．
10/15
H
A
BC
E
F
D
∵四边形ADCE为平行四边形．
∴AEDC∥，22DFEF??，
∴45FDCAED?????．
在RtDFH△中，90DHF???，22DF?，45FDC???，
∴2sin
2FHFDCDF???
，得2FH?，
tan1HFFDCHD???，得2DH?．
在RtCFH△中，90FHC???，2FH?，30FCD???，
∴4FC?．
由勾股定理，得23HC?．
∴223DCDHHC????．
20．（本小题满分5分）
解：（1）∵OAOB?，
∴OABB???．
∵直线AC为⊙O的切线，
∴90OACOABDAC???????．
∵OBOC?，
∴90BOC???．
∴90ODBB?????．
∴DACODB???．
∵ODBCDA???，
∴DACCDA???，
∴ACCD?．
（2）在RtOAC△中，2ACCD??，5AO?，
2OCODDCOD????，
根据勾股定理得：222OCACAO??，
即222(2)2(5)OD???，
解得：1OD?．
21．（本小题满分5分）
（1）8.6%和补充扇形统计图（图略）
（2）约24.4万元和补充条形统计图（图略）
（3）(26.824.4)24.49.8%???，26.8(19.8%)29.4329.4???（万元）
我区今年的旅游营业收入约29.4万元．
22．（本小题满分5分）
解：（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，MON△的面积最小．
（2）分两种情况：
①如图，过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N．
延长OC、AB交于点D，易知6AD?，18OADS?△．
11/15
由（1）的结论知，当PMPN?时，MND△的面积最小，此时四边形OANM的面积最大．
过点P、M分别作1PPOA?，1MMOA?，垂足分别为1P、1M．
由题意得1112MPPA??，从而112OMMM??．
又(4,2)P，(6,3)B
∴111112PAMPOMPP????，1MMOM??，
可证四边形11MMPP是正方形．
∴MNOA∥，90MND???，4NM?，4DN?．求得8MNDS?△．
∴18810OADMNDOANMSSS?????四边形△△．
②如图，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N．
延长CB交x轴于T点，由B、C的坐标可得直线BC对应的函数关系式为9yx???．
则T点的坐标为(9,0)．
∴19819224
OCTS????△
．
由（1）的结论知：当PMPN?时，MNT△的面积最小，此时四边形OCMN的面积最大．
过点P、M点分别作1PPOA?，1MMOA?，垂足为1P，1M．
从而111NPPM?，1124MMPP??．
∴点M的横坐标为5，点(4,2)P，1111PMNP??，6TN?．
∴164122
MNTS????△
，8133121044
OCTMNTOCMNSSS??????四边形△△
．
综上所述：截得四边形面积的最大值为10．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（1）在1yx??中，当0y?时，1x??；当5y?时，4x?．
(1,0)A?、(4,5)B．
将(1,0)A?、(4,5)B分别代入23yaxbx???中，
得30
16435abab?????????
，
解得12ab?????
?
．
∴所求解析式为223yxx???．
（2）①设直线AB交y轴于点E，求得(0,1)E，
12/15
M''
AB
CD
E
F
M
N
∴OAOE?，45AEO???，45ACPAEO?????，
∴2sin
2PDPCACPPC???
．
设2(,23)Pmmm??，则(,1)Cmm?，
∴22(1)(23)34PCmmmmm?????????．
∴223252(34)()
2228PDmmm????????
．
∴PD的最大值为252
8
．
②当0m?或3m?时，PC把PDB△分成两个三角形的面积比为1:2．
24．解：（1）在正方形ABCD中，ABAD?，90BAD???，
45ABMADN????．
把ABM△绕点A逆时针旋转90?得到ADM?△．
连结NM?．则DMBM??，''AMAM?，
45ADMABM??????，DAMBAM????．
∵45EAF???，
∴45BAMDAN?????，
45DAMDAF??????，
45MANMAN??????．
∴''AMNAMN?△△．
∴MNMN??．
在DMN?△中，90MDNADNADM?????????,
222MNDNDM????
∴222MNDNBM??
（2）①222DEBDBDECEC????；
②2222cosDEBDBDECEC??????．
25．解：（1）由题意，得点B的坐标为(4,1)?．
∵抛物线过点(0,1)A?，(4,1)B?两点，
∴
2
1
14412
c
bc
????
?????????，
解得2
1bc??????
．
（2）由（1）得21212yxx????．
①∵A的坐标为(0,1)?，C的坐标为(4,3)．
∴直线AC的解析式为：1yx??．
设平移前的抛物线的顶点为0P，可得0(2,1)P，且0P在直线AC上．
∴022AP?．
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∵点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q．[来源：学_科_网Z_X_X_K]
∴022PQAP??．
∵PQ为直角边，M到PQ的距离为22（即为PQ的长）．
由(0,1)A?，(4,1)B?，0(2,1)P可知：
0ABP△为等腰直角三角形，且0BPAC?，022BP?．
过点B作直线1lAC∥，直线1l与抛物线21212yxx????的交点即为符合条件的点M．
∴可设直线1l的解析式为：1yxb??．
又∵点B的坐标为(4,1)?，
∴141b???．解得15b??．
∴直线1l的解析式为：5yx??．
解方程组
2
5
1212
yx
yxx
????
???????，
得：1
1
41xy??????；2
2
27xy???????．
∴1(4,1)M?，2(2,7)M??．
②点Q的坐标为41(,)33．
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2014年北京平谷一模数学试卷部分解析
一、选择题
1.【答案】B
【解析】6400000用科学记数法表示应为66.410?，故选B．
2.【答案】A
【解析】23?的相反数是23，故选A．
3.【答案】C
【解析】口袋中一共有3+4+5=12个球，其中红球3个，随机抽取一个球是红球的概率31=124，故
选C．
4.【答案】B
【解析】∵ABCD∥，∴34AAOC?????，∵34AOCDOFEDF???????，
∴223468EODEOF????????，故选B．
5.【答案】D
【解析】依题可知，80=60900h，解得1200h?，故选D．
6.【答案】A
【解析】这组数据中众数是186，中位数为188，故选A．
7.【答案】D
【解析】既是轴对称图形又是中心对称图形的是D，A是轴对称图形，B是中心对称图形，C是
中心对称图形，故选D．
8.【答案】C
【解析】当01x≤≤时，AEx?，3AFx?，在RtAEF△中，2210EFAEAFx???，是单调递
增的一次函数；
当14x?≤时，2223(33)(23)9EFxxx???????，故选C．
二、填空题
9.【答案】2(3)mn?
【解析】分解因式：22269(69)(3)mnmnmmnnmn???????．
故答案为：2(3)mn?．
10.【答案】答案不唯一，222yxx????
【解析】开口向下，对称轴为直线1x?的抛物线，要求0a?，12ba??．
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故答案为：答案不唯一，222yxx????．
11.【答案】23
【解析】依题可知，3AOCOBCOB????，BC△为等边三角形，OCEBCE?△△，30BCE???，
3BE?，23CE?．
故答案为：23．
12.【答案】(22,0)，(2,0)n
【解析】由题意可知，1(1,3)P，3k?．
22(,0)Ax，22223(2)(,)22xxP??，222+3(2)3xx???，2222(2)(2)44xxx?????，222?．
设11(,0)nnAx??，(,0)nnAx，113()(,)
22nnnnnxxxxP????
，
113()=322nnnnxxxx?????，2214nnxx???，22124nnxx????，……22324xx??，22214xx??，
2214(1)nxxn???，12x?，24nxn?，2nxn?．
故答案为：(22,0)，(2,0)n．
|
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