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2014年北京石景山中考一模数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．
1．23?的相反数是（）．
A．32?B．32C．23?D．23
2．清明小长假本市150家景区接待游客约5245000人，数字5245000用科学记数法表示为（）．
A．35.24510?B．65.24510?C．70.524510?D．3524510?
3．正五边形的每个内角等于（）．
A．72?B．108?C．54?D．36?
4．为了解居民用水情况，晓娜在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：
则这10户家庭的月用水量的平均数和众数分别是（）．
A．7.8，9B．7.8，3C．4.5，9D．4.5，3
5．将二次函数2281yxx???化成2()yaxhk???的形式，结果为（）．
A．22(2)1yx???B．22(4)32yx???
C．22(2)9yx???D．22(4)33yx???
6．如图，ABC△内接于⊙O，BABC?，25ACB???，AD为⊙O的直径，则DAC?的度数是
（）．
A．25?B．30?C．40?D．50?
7．转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图所示，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，
则指针对准红色区域的概率是（）．
A．12B．13C．14D．16
8．如图，边长为1的正方形ABCD中有两个动点P、Q，点P从点B出发沿BD作匀速运动，到
达点D后停止；同时点Q从点B出发，沿折线BCCD?作匀速运动，P、Q两个点的速度都为
每秒1个单位，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动．设P、Q两点的运动时间为x秒，
月用水量（吨）5678910
户数112231
第6题图第7题图
红
黄
蓝
红
蓝
蓝
O
D
C
B
A
2/14
y
Ox12
y
Ox12
y
Ox12
y
Ox12
A．B．
C．D．
两点之间的距离为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．分解因式：316=axax?__________________．
10．如图，ABCD∥，AC与BD相交于点O，3AB?，若:1:3BOBD?，则CD
等于________________．
11．如图所示，小明同学在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两端B点、C点
的仰角分别为60?和30?，则条幅的高度BC为米（结果可以保留根
号）．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：yx?，作1(1,0)A关于yx?的对称
点1B，将点1B向右水平平移2个单位得到点2A；再作2A关于yx?的对称点
2B，将点2B向右水平平移2个单位得到点3A；……．请继续操作并探究：
点3A的坐标是，点2014B的坐标是．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：011253tan302014?????（）．
第8题图
Q
P
C
D
A
B
A
B
D
C
6米
第11题图
O
CD
BA
第10题图
3/14
x
y
A
BO
14．解方程：33155xxx?????．
15．如图，在ABC△和ADE△中，ABAC?，ADAE?，BACDAE???，点C在DE上．
求证：（1）ABDACE?△△；
（2）BDAADC???．
16．已知：32xy?，求代数式4923xy??的值．
17．如图，一次函数12ykx??的图象与x轴交于点(2,0)B?，与函数
2myx?
（0x?）的图象交
于点(1,)Aa．
（1）求k和m的值；
（2）将函数
2myx?
（0x?）的图象沿A轴向下平移3个单位后交x轴于点C．若点D是平移后
函数图象上一点，且BCD△的面积是3，直接写出点D的坐标．
E
CB
A
D
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C
B
A
D
18．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过
77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．
（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？
（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在四边形ABCD中，2AB?，60AC?????，DBAB?于点B，45DBC???，求BC
的长．
20．为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、
管乐、篮球、健美操、油画．为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全校三个年级
中各调查一个班级，根据相关数据，绘制如下统计图．
三个班级参加选修课的初二(5)班参加各类选修课的
人数统计图人数分布统计图人数
音乐史管乐篮球健美操油画课程
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
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（1）请根据以上信息，直接补全条形统计图和扇形统计图；
（2）若初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？
（3）若该校共有学生540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？
21．如图，⊙O是ABC△的外接圆，ABAC?，连结CO并延长交⊙O的切线AP于点P．
（1）求证：APCBCP???；
（2）若3sin5APC??，4BC?，求AP的长．
22．实验操作
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，ABC△的顶点的横、纵坐标都是整数，若将ABC△以点
??1,1P?为旋转中心，按顺时针方向旋转90?得到DEF△，请在坐标系中画出点P及
DEF△；
（2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为60?）中有一个等边ABC△，
它的顶点A、B、C都落在格点上，若将ABC△以点P为旋转中心，按顺时针方向旋转60?得
到ABC???△，请在菱形网格图中画出ABC???△．其中，点A旋转到点A?所经过的路线长为
________．
B
P
C
O
A
?ABC=60.05°
P
C
A
B
A
C
B
图1图2
x
y
–5–4–3–2–112345
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
C
B
A
O
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五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．已知关于x的方程22(1)10mxmxm?????有两个实数根，且m为非负整数．
（1）求m的值；
（2）将抛物线1C：22(1)1ymxmxm?????向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到抛
物线2C，若抛物线2C过点(2,)Ab和点(4,21)Bb?，求抛物线2C的表达式；
（3）将抛物线2C绕点(1,)nn?旋转180?得到抛物线3C，若抛物线3C与直线112yx??有两个
交点且交点在其对称轴两侧，求n的取值范围．
24．在矩形ABCD中，12AD?，8AB?，点F是AD边上一点，过点F作AFEDFC???，
交射线AB于点E，交射线CB于点G．
（1）若82FG?，则CFG??_________?；
（2）当以F、G、C为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB的长；
（3）过点E作EHCF∥交射线CB于点H，请探究：当GB为何值时，以F、H、E、C为
顶点的四边形是平行四边形．
DA
BC
备用图
G
E
DA
BC
F
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25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：
任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”Sah?．
例如：三点坐标分别为(1,2)A，(3,1)B?，(2,2)C?，则“水平底”5a?，“铅垂高”4h?，“矩面
积”20Sah??．
（1）已知点(1,2)A，(3,1)B?，(0,)Pt．
①若A、B、P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
②直接写出A、B、P三点的“矩面积”的最小值．
（2）已知点(4,0)E，(0,2)F，(,4)Mmm，16(,)Nnn，其中0m?，0n?．
①若E、F、M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；
②直接写出E、F、N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．
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2014年北京石景山中考一模数学试卷答案
一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）
题号12345678
答案DBBACCBA
二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）
9．(4)(4)axxx??；10．6；11．43；12．(3,2)，(2013,2014)．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：011253tan302014?????（）
3=23531
3????
=336?．
14．解：方程两边同乘以(5)x?，得，
3(5)3xx?????．
解得，52x?．
经检验：52x?是原分式方程的解．
所以52x?是原方程的解．
15．证明：（1）∵BACDAE???，
∴BACDACDAEDAC???????．
∴BADCAE???．
在ABD△和ACE△中，
∵ABACBADEAC
ADAE
???
?????
??
，
∴ABDACE?△△．
（2）∵ABDACE?△△，
∴ADBAEC???，ADAE?．
∴ADCAEC???．
∴BDAADC???．
16．解：由已知得：23xy?，
∴原式6933yy???
12??．
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17．解：（1）根据题意，将点(2,0)B?代入12ykx??，
∴022k???．
∴1k?．
∴(1,3)A．
将其代入
2myx?
，可得：3m?
（2）3(,2)5或(3,2)?．
18．解：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器(50)x?台．
依题意可列不等式：10002000(50x)77000x??≤；
解得：23x≥，
∴该公司至少购进甲型显示器23台．
（2）依题意可列不等式：50xx?≤，
解得：25x≤，
∵23x≥，
∴x为23，24，25．
答：购买方案有：
①甲型显示器23台，乙型显示器27台；
②甲型显示器24台，乙型显示器26台；
③甲型显示器25台，乙型显示器25台．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：过点D作DEBC?于点．
∵DBAB?，2AB?，60A???，
∴tan6023BDAB????．
∵45DBC???，DEBC?，
∴sin45=6BEDEBD????
∵60CA?????，90DEC???，
∴2tan60DECE???．
∴26BC??．
20．解：（1）条形统计图补充数据：6（图略）．
扇形统计图补充数据：20．
（2）81804830??（人）．
（3）??84(6630)3030302015???????．
454014415??（人）．
21．（1）证明：连结AO并延长交BC于D，交弧BC于E．
E
C
B
A
D
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∵AP切⊙O于点A，
∴EAPA?．
∵ABAC?，
∴AEBC?，
∴BCAP∥，
∴APCBCP???．
（2）解：∵AEBC?，
∴122CDBC??．
∵3sin5AOAPCPO???，
∴设3OAk?，5OPk?，则3OCOAk??．
∵BCAP∥，
∴PAOCDO∽△△，
∴PAPOCDCO?，
∴523PAkk?，
∴103PA?．
22．解：（1）画出点P，画出DEF△
（2）
?ABC=60.05°
A''
C''
B''
P
C
A
B
A
C
B
A旋转到点A?所经过的路线长为43l??．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．解：（1）∵方程22(1)10mxmxm?????有两个实数根，
∴0m?且0??，
x
y
初始化
常规坐标系
三角坐标系
隐藏网格线
隐藏刻度值
隐藏坐标轴
隐藏控制点
–5–4–3–2–112345
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
P
F
E
D
C
B
A
O
B
P
C
O
A
E
D
11/14
E
G
DA
BC
F
则有24(1)-4(1)0mmm???且0m?
∴1m?且0m?
又∵m为非负整数，
∴1m?．
（2）抛物线1C：2yx?平移后，得到抛物线2C：2()yxab???，
∵抛物线2C过点(2,)Ab，2(2)bab???，可得2a?，
同理：221(4)bab????，可得3b?，
∴2C：??223yx???或2(47)yxx???．
（3）将抛物线2C：2(2)3yx???绕点(1,)nn?旋转180?后得到的抛物线3C顶点为(2,23)nn?，
当2xn?时，12112ynn?????，
由题意，231nn???，
即：4n?．
24．解：（1）90?；
（2）正确画图；
∵四边形ABCD是矩形，
∴90D???．
∵FGC△是等边三角形，
∴60GFC???．
∵DFCAFE???，
∴60DFC???．
∵8DC?，
∴163
sin603DCFC???
．
∵FGC△是等边三角形，
∴163
3GCFC??
．
∵12BCAD??，
∴16312
3GB??
．
（3）过点F作FKBC?于点K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴90ABC???，ADBC∥，
∴DFCKCF???，AFGKGF???．
∵DFCAFG???
∴KCFKGF???
∴FGFC?
∴GKCK?
∵四边形FHEC是平行四边形
∴FGEG?
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∵FGKEGB???，90FKGEBG?????，
∴FGKEGB?△△
∴1243BGGKKC????．
25．解：（1）由题意：4a?．
①当2t?时，1ht??，
则4(1)12t??，可得4t?，故点P的坐标为(0,4)；
当1t?时，2ht??，
则4(2)12t??，可得1t??，故点P的坐标为(0,1)?．
②A、B、P三点的“矩面积”的最小值为4．
（2）①∵E、F、M三点的“矩面积”的最小值为8，
∴04
042mm?????
．
∴102m??．
∵0m?，
∴102m??．
②E、F、N三点的“矩面积”的最小值为16，
n的取值范围为48n??．
KH
E
G
DA
BC
F
F
E
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2014年北京石景山中考一模数学试卷部分解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】23?的相反数是23，故选D．
2.【答案】B
【解析】5245000用科学记数法表示应为65.24510?，故选B．
3.【答案】B
【解析】正五边形的内角和为360?，每个内角等于3601801085?????，或者正五边形的内角和为
(52)180540?????，每个内角等于540=1085??，故选B．
4.【答案】A
【解析】这组数据中的平均数是7.8，众数是9，故选A．
5.【答案】C
【解析】二次函数22222812(44)92(2)9yxxxxx??????????，故选C．
6.【答案】C
【解析】∵BABC?，∴25BCABAC?????，∵AD为的直径，∴90ABD???，
25DCBAC???????，65DAB???，40DAC???，故选C．
7.【答案】B
【解析】六个全等的区域红色占了两个，指针对准红色区域的概率是21=63，故选B．
8.【答案】A
【解析】当01x≤≤时，2222(x)(xx)22yx?????，是单调递增的一次函数；
当12x?≤时，22222(1)(21)(22)22yxxxxx??????????．
故选A．
二、填空题
9.【答案】(4)(4)axxx??
【解析】分解因式：3216(16)(4)(4)axaxaxxaxxx??????．
故答案为：(4)(4)axxx??．
10.【答案】6
14/14
【解析】∵ABCD∥，∴=ABOBCDOD，∵13BOBD?，12BOOD?，3AB?，6CD?．
故答案为：6．
11.【答案】43
【解析】依题可知，63BD?，6233CD??，43BCBDCD???．
故答案为：43．
12.【答案】(3,2)，(2013,2014)
【解析】依题可知，关于yx?对称，点的横纵坐标相互交换．
∴1(0,1)B，2(2,1)A，2(1,2)B，3(3,2)A，3(2,3)B……
依规律可知，(-1,)nBnn，2014(2013,2014)B．
故答案为：(3,2)，(2013,2014)．
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