北京市西城区2015年初三一模试卷数学2015.4考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟
。2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4．在答题卡上，选
择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题(本题共30分
，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．的相反数是A.B.C.D.2．据市烟花办相关负责人介绍，2
015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹约196000箱，同比下降了32%．将196000用科学记数法表示应为A
.B.C.D.3．下列运算正确的是A.B.C.D.4．如图是一个几何体的直观图，则其主视图是5．甲、乙、
丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号跑
道的概率是A.1B.C.D.6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是7．如图
，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于A.20°B.30°C.35°D.
70°8．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为A.
B.C.D.9．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻
炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这组数据的众数和中位数分别是A.6，4B.6，6C.4，4D.4
，610．如图，过半径为6的⊙O上一点A作⊙O的切线，P为⊙O上的一个动点，作PH⊥于点H，连接PA．如果PA=，AH=，那么下
列图象中，能大致表示与的函数关系的是二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．如果分式有意义，那么的取值范围是．12．半径为
4cm，圆心角为60°的扇形的面积为cm2．13．分解因式：=．14．如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在BC边上，
当时，△ABD≌△ACE．（添加一个适当的条件即可）15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，以O为横板AB的中
点，AB绕点O上下转动，横板AB的B端最大高度h是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2m，OC=0
.5m，通过计算得到此时的h1，再将横板AB换成横板A′B′，O为横板A′B′的中点，且A′B′=3m，此时B′点的最大高度为
h2，由此得到h1与h2的大小关系是：h1h2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h随横板的长度的变化而（
填“不变”或“改变”）．16．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2
次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是，如果点与原点的
距离不小于20，那么的最小值是．三、解答题(本题共30分，每小题5分)17．计算：．18．如图，∠C=∠E，∠EAC=∠DAB
，AB=AD．求证：BC=DE．19．解不等式组20．先化简，再求值：，其中．21．从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的
行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用
3小时．求高铁的平均速度是多少千米/时．22．已知关于x的一元二次方程.（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若是此
方程的一个根，求实数m的值．四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为
四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，A
B=5，AD=6，求AC的长．24．在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的实施给北京市轨道交
通客流带来很大变化．根据2015年1月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．根据以上信息解答下列
问题：（1）补全扇形图；（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程x（千米）在范围内的客流
量下降最明显．对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016年1月这条线路的日均客流量将达到
万人次；（精确到0.1）（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问调价后小王每周（按5天
计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出元．（不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为2元）25．如图，AB为⊙O的
直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥
l于点E，连接AD，DE．（1）依题意补全图形；（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．26．
阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且，，求的度数．小敏是这样解决问题的：如图1
，把，放在正方形网格中，使得，，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得=∠ABC=
°.请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果，都为锐角，当，时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=
，由此可得=______°.五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)已知二次函数的图象经过，两点．（
1）求对应的函数表达式；（2）将先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，将对应的函数表达式记为，求对应的函数表达式；
（3）设，在（2）的条件下，如果在≤x≤a内存在某一个x的值，使得≤成立，利用函数图象直接写出a的取值范围．△ABC中，AB=A
C．取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H．（1）如图1，如果，那么，；（2）如图
2，如果，猜想的度数和的值，并证明你的结论；（3）如果，那么．（用含的表达式表示）给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G
1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy
中，O为坐标原点．（1）点A的坐标为，则点和射线OA之间的距离为________，点和射线OA之间的距离为________；
（2）如果直线y=x和双曲线之间的距离为，那么k=；（可在图1中进行研究）（3）点E的坐标为(1,)，将射线OE绕原点O逆
时针旋转60，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．请在图2中画出图形M，并描述
图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线与图形M的公共部分记为图形N
，请直接写出图形W和图形N之间的距离．北京市西城区2015年初三一模试卷数学试卷参考答案及评分标准2015.4一、选择题（
本题共30分，每小题3分）题号12345678910答案BACCDACABC二、填空题（本题共18分，每小题3分）11121314
1516BD=CE，∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC，BE=CD，∠BAE=∠CAD，∠ADE=∠AED，AE=AD（只填一
个即可）=，不变7，13三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．解：=…………………………………………………………4分=
=3．……………………………………………………………………………………5分18．证明：如图1．∵∠EAC=∠DAB，∴
．即∠BAC=∠DAE．……………………1分在△ABC和△ADE中，图1………………………3分∴△ABC≌△ADE
．……………………………………………………………4分∴BC=DE．……………………………………………………………………
5分①②19．解：由①，得．…………………………………………………………………2分由②，得．移项，合并，得．系
数化1，得．…………………………………………………………4分所以原不等式组的解集为．…………………………………………………
5分20．解：=……………………………………………………………2分=……………………………………………………………………
……3分=．………………………………………………………………………………4分当时，原式=．………………………………………………
………5分21．解：设普通列车的平均速度为x千米/时．……………………………………………1分则高铁的平均速度是2.5x千米/时
．依题意，得．……………………………………………………2分解得．……………………………………………………………………3分
经检验，是原方程的解，且符合题意．………………………………4分所以．答：高铁的平均速度是300千米/时.………………………
…………………………5分22．（1）证明：．……………………………………………………………………1分∵≥0，∴＞0．……
…………………………………………………………2分∴方程总有两个不相等的实数根．………………………………………3分（2）解：
∵是此方程的一个根，∴．整理得．解得，．………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小
题5分）23．（1）证明：∵，∴∥．……………………………………………………………1分∵BD垂直平分AC，垂足为F，
∴，AF=FC．又∵，∴．∴AE∥BD．∴四边形ABDE是平行四边形．…………………………………………2分（
2）解：如图2，连接BE交AD于点O．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠1．又∵，图2∴∠1=∠BAD．∴AB=BD
．………………………………3分∴ABDE是菱形．∵AB=5，AD=6，∴BD=AB=5，，．在Rt△中，．图3∵，
∴．解得．…………………………4分∵BD垂直平分AC，∴．……………………5分注：其他解法相应给分．24．解：（
1）补全扇形图如图3所示．…………………1分（2）2号线，52＜x≤72，22.2．（各1分）………………………………………
…4分图4（3）30．………………………………………5分25．解：（1）依题意，补全图形如图4．………………1分（2）．
……………………………………2分证明：如图5，连接BC，CD．∵直线l与直线MA关于直线MD对称，∴．………………………3
分∵AB为⊙O的直径，∴，即．又∵，图5∵，，∴MC=ME．又∵C，E两点分别在直线MA与直线l上，可得C，E两点
关于直线MD对称．∴．…………………4分又∵，∴．………………5分26．解：45．………………………………………
…………1分图6画图见图6．………………………………………3分45．…………………………………………………5分五、解答题（本题
共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）27．解：（1）∵二次函数的图象经过，两点，∴………………………………1
分解得…………………………………2分∴抛物线的函数表达式为．……………………………………3分图7（2）∵，∴抛
物线的顶点为．………………………………………………4分∴平移后抛物线的顶点为，它对应的函数表达式为．…5分（3）a≥（见
图7）．………………………………………………………………7分28．解：（1）90，．……………………………………………………………
…………2分（2）结论：，．证明：如图8，连接AD．∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形．∵D为BC的
中点，∴AD⊥BC．图8∴∠1+∠2=90°．又∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠2+∠C=90°．∴∠1=∠C=
60°．设AB=BC=k（），则，．∵F为DE的中点，∴，．∴，．∴．…………………………………………………………3分又∵
∠1=∠C，∴△ADF∽△BCE．…………………………………………………4分∴，…………………………………………………5
分∠3=∠4．又∵∠4+∠5=90°，∠5=∠6，∴∠3+∠6=90°．∴．………………………………………………………6分（3）．………………………………………………………………7分注：写或其他答案相应给分．29．解：（1）3，．（每空各1分）……………………………………………………2分（2）1．……………………………………………………………………………4分（3）①如图9，过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，则图形M为：y轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）．………………………………………………………………………………7分说明：（画图2分，描述1分）（图形M也可描述为：y轴正半轴，直线下方与直线下方重叠的部分（含边界））．…………………………………………………………………………8分图962015西城一模 |
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