数学实验(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
（一）椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F
2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。小结：椭圆的定义需要注意以下几点1.平面上----这是大前提2.动点M
到两定点F1，F2的距离之和是常数2a3.常数2a要大于焦距2C练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指
明a2、b2，写出焦点坐标3.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是
.例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭
圆形的物件呢？生活中的椭圆——仙女座星系星系中的椭圆——“传说中的”飞碟?动画演示：太阳系行星的运动思考1.在椭圆
形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，
绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?F2F1M(1)由于绳长固定，所以点
M到两个定点的距离和是个定值（2）点M到两个定点的距离和要大于两个定点之间的距离椭圆定义的文字表
述：椭圆定义的符号表述：(2a>2c)MF2F1思考：1.当2a>2c时,轨迹是（）椭圆
2.当2a=2c时,轨迹是一条线段,是以F1、F2为端点的线段．3.当2a<2c时,无轨迹,
图形不存在.4.当c=0时,轨迹为圆．yxOr设圆上任意一点P(x，y)以圆心O为原点，建立直角坐标
系两边平方，得?回忆在必修2中是如何求圆的方程的？求曲线方程的方法步骤是什么？建系设点列式
代换化简建立适当的直角坐标系；设M（x,y）是曲线上任意一点；由限制条件，列出几何等式，写出适合条件P的点M的集合P=
{M|P(M)}用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0，化简方程f(x,y)=0.?探讨建立平面直角坐标系的方案
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二
OxyMOxy解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)
，则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，限
制条件：代入坐标2.椭圆的标准方程的推导两边除以得由椭圆定义可知整理得两边再平方，得移项，
再平方总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM
12yoFFMx图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2
-b2MF1+MF2=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM两类
标准方程的对照表注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不
同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.答：在X轴
（-3，0）和（3，0）答：在y轴（0，-5）和（0，5）答：在y轴。（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点
在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。1.口答：下列方程哪些表示椭圆？
若是,则判定其焦点在何轴？并指明，
写出焦点坐标.?练习：03练习：1.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的范围是
.2.椭圆mx2+ny2=-mn(m.(0,4)变式：已知方程
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是.(0,4)(1,2)2、已
知椭圆的方程为：，请填空：(1)a=__，b=__，c=__，焦点坐标为________
___，焦距等于__.(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=___.
变题：若椭圆的方程为,试口答完成（1）.若方程
表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围;探究:若方程表示椭圆呢?5436(-3,0)、(
3,0)8例1、填空：(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=___
____，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则?F2CD的周
长为________例题543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的
准则：焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a练习1椭圆上一点P到一个焦点
的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A.5B.6C.4
D.10A2.已知椭圆的方程为，焦点在X轴上，则其焦距为（）A
2B2C2
D2A例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程12小结:先定位(焦点)再
定量(a,b,c)椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有两种情形,必须分类求出解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，
用F1、F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。∵2a=102c=8
∴a=5c=4b2=a2?c2=9,b=3因此这个椭圆的标准方程是：yoBCAx定义法求轨迹方程
。变题1:已知△ABC的一边BC固定，长为8，周长为18，求顶点A的轨迹方程。.解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x
轴建立直角坐标系。根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为：yoBCAx
∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为:注意
：求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都是符合题意。例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)a=4，b=1，焦点在x轴上；(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；(3)两个焦
点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P（-1.5，2.5）.解：因
为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为
∵c=2，且c2=a2-b2∴4=a2-b2……①
又∵椭圆经过点∴……②联立①②可求得：∴椭圆
的标准方程为(法一)xyF1F2P或(法二)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，
所以所求椭圆的标准方程为练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.答案：
(1)a=,b=1,焦点在x轴上;(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值. |
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