数列专题复习资料（二）
——通项公式
解题思想：
将递推关系适当变形，转化为等差，等比数列进行来解决；
可以“先猜后正”：写出前几项，然后用数学归纳法进行求解.
常见模型：
公式法：利用等差数列的通项，或等比数列数列的通项，写出所求数列的通项.等差数列的等价定义是；等比数列的等价定义是.
公式变换法：
例1：已知，求.
简解：由题知①，②.①—②可得.
由于，所以即.因为，所以，故.
先猜后证法：先计算出数列的前几项（至少三项），观察出它们的规律，然后猜出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性.
例2：已知，求.
简解：先由递推关系写出前几项：，然后猜想，再用数学归纳法证明.
累加法：
例3：已知，求.
简解：
以上式子相加得到：
所以，所以
累乘法：
例4：已知，求.
简解：
以上式子相乘可得：
.
备注：若，则由可得：.此时数列为常数列，所以，所以.
待定系数法
类型一：
例5：已知，求.
简解：设，则，比较系数可得，即.
所以，即数列为以为首项，以3为公比的等比数列，
所以.解得.
推广：形如的递推关系都可以尝试用“广义待定系数法”求解数列通项，只不过此时待定的参数为的表达式并且结构形式上和相似.
例6：已知，求.
简解：设，则有.
比较系数可得，解得.所以.又知.所以，故.
备注：形如“”，其中为关于的多项式，则在运用待定系数法构造等比数列时，需要出现的最高次到零次的所有项.例如，.显然，，最高次数为2，所以设，然后比较系数，求出.
类型二：
例7：已知，求.（此时）
解法1（待定系数法）：设，则.
对比系数可得.所以.又知，所以，故
解法2（除幂变换法1）：由题知，等式两边同时除以，可得，接下来用待定系数法做.
解法3（除幂变换法2）：由题知，等式两边同时除以，可得，接下来累加法做.
例8：已知，求.（此时）
解法1（待定系数法）：
设，则.比较系数法可得，解得.所以，接下来用待定系数法做.
解法2（除幂法）：由题知，等式两边同时除以可得：，即.又知，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.
故，解得.
备注：显然，对于形如“”的递推关系，若，则用待定系数法会更加直接和简单一些；若，则用除幂法直接转化为等差数列，更加简单和直接一些.
类型三：
例9：已知，求.
简解：由题知.设，则有.
比较系数可得，解得.所以，所以数列为常数列，所以，即.设，则.比较系数可得，解得.所以.又知，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即.
倒数法：或者（分式形式，分子只有一项，分母有两项的形式）
例10：已知，求.
简解：
以下用累加法求得.
备注：1.形如“”的递推关系，实际上也可以用倒数变换法求解，等式两边同时除以，可得；
2.如果求得，要知道数列即为以为首项，以为公差的等差数列；
3.如果求得或者，则为型的递推关系，此时，用待定系数法构造等比数列进行求解.
对数变换法：.
例11：已知，求.
简解：因为，所以.由题知，等式两边去对数可得：，此时转化为形如型的递推数列，再用待定系数法求解.
不动点法：
解题方法：令，则有，即为函数的一个不动点.不妨设方程的两个根为.若，则数列为等比数列；，则数列为等差数列.
例12：已知，求数列的通项公式.
（根为，所以）
例13：已知，求数列的通项公式.
（根为，所以）
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